II.-Теория-поля (1109679), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Рассеяние с изменением частоты называют некогерентным (или комбинационным) в противоположность когерентному рассеянию без изменения частоты. Предполагая поле падающей волны слабым, мы можем представить плотность тока в виде у = ус+а', где уо плотность тока в отсутствие внешнего поля, а З' изменение тока под влиянием падающей волны. Соответственно этому векторный потенциал (и другие величины) поля системы тоже будут иметь вид А = АО+ + А', где Ао и А' определяются точками уо и З', потенциал А' описывает рассеянную системой волну. Рассмотрим рассеяние волны, частота оу которой мала по сравнению со всеми собственными частотами системы.
Рассеяние будет состоять как из когерентной, так и из некогерентной части, но мы будем рассматривать здесь только когерентное рассеяние. 299 1 79 РАССЕЯНИЕ ВОЛН С МАЛЫМИ 1АСТОТАМИ сйс у (79.1) с с необходимо лишь, чтобы время гп'/с а/с было мало по сравнению со временем 1/1с; при достаточно малых а1 (ы « с/а) это условие выполняется независимо от величины скоростей частиц в системе. Первые члены разложения дают Н' = —,1[счи'] + [[Й'и']и']1, где д', пт' — части дипольного и магнитного моментов системы, которые создаются падающим на систему рассеиваемым излучением. Следующие члены разложения содержат производные по времени более высокого порядка, чем второго, и мы их опускаем.
Компонента Н1 спектрального разложения поля рассеянной волны с частотой, равной частоте падающего излучения, определится этой же формулой, в которой надо вместо всех величин подставить их компоненты Фурье: гэ = — 1с2с1', Е' = — 1с2т'. Тогда получаем Н' = —,([п'д']+ [п[гп' и']]1. (79.2) Следующие члены разложения поля дали бы величины, пропорциональные более высокой степени малой частоты. Если скорости всех частиц в системе малы (г « с), то в (79.1) можно пренебречь вторым членом по сравнению с первым, поскольку магнитный момент содержит отношение с/с. Тогда (79.3) Если полный заряд системы равен нулю, то при В1 -+ О д' и гп' стремятся к постоянным пределам (если бы сумма зарядов была отлична от нуля, то при и = О, т.е.
в постоянном поле, система начала бы двигаться как целое). Поэтому при малых 1с (ы « п/а) можно считать д' и гп не зависящими от частоты, так Для вычисления поля рассеянной волны, при достаточно малой частоте ш, всегда можно пользоваться тем разложением запаздывающих потенциалов, которое было произведено в ~ 67 и з71, даже если скорости частиц в системе и не малы по сравнению со скоростью света. Действительно, для законности указанного разложения интеграла Зоо ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х что поле рассеянной волны пропорционально квадрату частоты.
Интенсивность же ее, следовательно, пропорциональна оз~. Таким образом, при рассеянии волн с малой частотой сечение когерентного рассеяния пропорционально четвертой степени частоты падающего излучения') . й 80. Рассеяние волн с большими частотами Рассмотрим теперь рассеяние волн системой зарядов в обратном случае, когда частота о1 волны велика по сравнению с основными собственными частотами системы. Последние имеют поРЯДок величины о1о о/а, так что оз Должно УДовлетвоРЯть условию оз» озо (80.1) а Кроме того, мы будем предполагать, что скорости зарядов в системе малы (о « с).
Согласно условию (80.1) период движения зарядов в системе велик по сравнению с периодом волны. Поэтому в течение промежутков времени порядка периода волны движение зарядов в системе можно считать равномерным. Это значит, что при рассмотрении рассеяния коротких волн можно не учитывать взаимодействия зарядов в системе друг с другом, т. е. их люжно считать свободными. Таким образом, при вычислении скорости ч', приобретаемой зарядом в поле падающей волны, мы можем рассматривать каждый заряд системы в отдельности и писать для него уравнение движения в виде Гн — = еЕ = еЕое Цм' ~'), 1Й где 1с = о1п/с — волновой вектор падающей волны. Радиус-вектор заряда является, конечно, функцией времени. В показателе экспоненциального множителя в правой части этого уравнения скорость изменения первого члена со временем велика по сравнению со скоростью изменения второго (первая равна оз, а вторая-- порядка ке пп1,1'с « ш).
Поэтому при интегрировании уравнений движения можно считать в правой их части г постоянным. Тогда (80.2) 1ыт ) Этот результат фактически справедлив двя рассеяния света не только нейтральными атомами, но и ионами. Рассеянием, происходящим от движения иона как целого, благодаря большой массе ядра можно пренебречь. 301 2 80 РАССЕЯНИЕ ВОЛН С ВОЛЫПИМИ ЧАСТОТАМИ Для векторного потенциала рассеянной волны 1на больших расстояниях от системы) имеем согласно 179.1); А' = 21 (етг') с с где сумма берется по всем зарядам системы.
Подставляя сюда 180.2), находим 2 1 2 А = — ехр ~ — то2(1 — — )~ЕО Ау — е 180.3) 2СЛсь2 С т где с1 = 1с' — 1с есть разность между волновым вектором рассеянной 1с' = о2п'/с и волновым вектором падающей 1с = о2п/с волн') . Значение суммы в 180.3) должно браться в момент времени г' = 1 — Ла/с, так как изменением г за время гп'/с можно пренебречь ввиду предполагаемой малости скоростей частиц 1ицдекс 1', как обычно, для краткости опускаем). Абсолютная величина вектора с1 равна 22 .
д д = 2 — аш —, с 2 180.4) Е ио Н' =,' ехр ~ — тоз(г — — )~ — 2 е "1'. 1г80.5) Поток энергии в элемент телесного угла в направлении и' равен ЛО2 21о = ~п'Еа) ~~2 е 'ч" 21о. 82г 8тсзгп2 Разделив это на поток энергии С~ЕО~2/82г падающей волны и вводя угол д между направлением поля Е падающей волны и направлением рассеяния, находим окончательно сечение рассеяния в виде 2 2 г6т = ( 2) ~> е ш" ~ 81п Ог1о. 180.6) ) Строго говоря, волновой вектор 12' = 22'н'/с, где частота 22' рассеянной волны может отличатьсЯ от 22.
Разностью с2 — 22 22о можно, оДнако, пренебречь в рассматриваемом случае больших частот. где д — угол рассеяния. При рассеянии на атоме 1нли молекуле) в сумме в 180.3) можно пренебречь членами, соответствующими ядрам, ввиду большой величины их масс по сравнению с массами электронов. Ниже мы будем иметь в виду именно этот случай, соответственно чему вынесем множитель е /ш за знак суммы, понимая в нем под е и т зарцд и массу электрона.
Для поля Н' рассеянной волны находим согласно 166.3): 302 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х г 12 11сг = У ~,) з1п 011О, тс (80.7) т.е. рассеяние пропорционально квадрату числа Я электронов в атоме. Перейдем к случаю Л «а. В квадрате суммы в (80.6) наряду с равными единице квадратами модуля каждого из членов имеются произведения вида е"16п Ггг. При усреднении по движению зарядов, т.
е. по их взаимным расположениям в системе, разности г| — гг. пробегают значения в интервале поридка а. Поскольку д 1/Л, Л « а, то экспоненциальный множитель е'ч~сг является в этом интервале быстро осциллирующей функцией, и его среднее значение обращается в нуль. Таким образом, при Л « а сечение рассеяния равно 111Г = Я( — г) ап Ос~о, тс (80.8) т. е. пропорционально первой степени атомного номера. Заметим, что эта формула неприменима при малых углах рассеяния (д Л/а), так как в этом случае д д/Л 1/а и показатель Г1г невелик по сравнению с единицей.
Для определения сечения когерентного рассеяния мы должны выделить ту часть поля рассеянной волны, которая имеет частоту ы, Выражение (80.5) для поля зависит от времени через множитель е ' ~ и, кроме того, от времени зависит также сумма е 'ч'. Эта последняя зависимость и приводит к тому, что в поле рассеянной волны содержатся наряду с частотой ы еще и другие (хотя и близкие к ней) частоты. Та часть поля, которая обладает частотой Вг (т. е. зависит от времени только посредством множителя е ""'), получится, очевидно, если усреднить по времени сумму 2, е 'ч'. Соответственно этому выражение для сечения когерентного рассеяния Йт„сс отличается от полного сечения Йт Черта обозначает усреднение по времени, т.е.
усреднение по движению зарядов в системе; оно производится ввиду того, что рассеяние наблюдается в промежутки времени, достаточно большие по сравнению с периодом движения зарядов в системе. Для длины волны падающего излучения из условия (80.1) следует неравенство Л « ас/и. Что же касается относительной величины Л и а, то возможны оба предельных случая Л» а и Л «а. В обоих этих случаях общая формула (80.6) значительно упрощается. При Л» а в выражении (80.6) с1г « 1, поскольку 11 1/Л, Г а. Заменяя соответственно этому е'ч" единицей, имеем 808 ~ 80 РАСОЕЯНИЕ ВОЛН О БОЛЬШИМИ 1АС'ГО'ГАМИ Йтест = (,) 'т е "Р'~ 81п В до. 180.9) Полезно заметить, что это среднее значение суммы есть 1с точ- ностью до коэффициента) не что иное, как пространственная компонента Фурье от среднего распределения р(г) плотности электрического заряда в атоме: 180.10) При Л»а мы можем снова заменить е 'ч' единицей, так что с,г (тс 180.11) Сравнивая это с Гюлным сечением 180.7), мы видим, что йт„„, = = до, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
