II.-Теория-поля (1109679), страница 47
Текст из файла (страница 47)
268 ГЛ. 2Х ИЗЛЕ 4ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН (73.4) Зс „1 4Ь ЗЕ Перепишем эту формулу в другом виде, выразив 4-ускорение 41и4/41В через тензор внешнего электромагнитного поля с помощью уравнений движения 123.4): НЕЕ С тс — = -рыи . 42 с Мы получим тогда 2с4 ЬР' = —,, / 1Гыи~)1г ь и ) дх'. Зт с (73.5) Временная компонента уравнения 173.4) или 173.5) дает полное излучение энергии 4АО. Подставляя для четырехмерных величин их выражения через трехмерные величины, получим Зс / (1 — с'/с') ~ (73.6) 1эе = ТГ ускорение частицы), или, через внешние электрическое и магнитное поля: 1 22 1 4 (К+ ~,Н)1 —,1К,)' 2 2 2 2 173.7) Выражения для полного излучения импульса отличаются лишним множителем ч под знаком интеграла.
Из формулы 173.7) видно, что при скоростях, близких к скорости света, полное излучение энергии в единицу времени зависит от скорости в основном как 11 — и /с ), т. е. Нропорциональ- 2 2 — 1 но квадрату энергии движущейся частицы. Исключение представляет только движение в электрическол4 поле параллельно направлению поля. В этом случае множитель 11 — и /с ), стоящий 2 2 в знаменателе, сокращается с таким же множителем в числителе, и излучение оказывается не зависящим от энергии частицы. Наконец, остановимся на вопросе об угловом распределении излучения быстро движущейся частицы.
Для решения этой задачи удобно воспользоваться лиенар-вихертовским выражением Полное излучение 4-импульса за время пролета частицы через данное электромагнитное поле равно интегралу от выражения 173.3), т. е. 269 1 73 излучВние ВыстРО дВи1кущегося 3АРядА (1 — с~/с )(пуе) 1 с(о. (1 — уп/с) ег ) 2(ИАУ)(УАУ) Аез 4з.с ) с(1 — уп/с) (1 — уп/с) (73.9) Если же мы хотим определить угловое распределение полного излучения за все время движения заряда, то надо проинтегрировать интенсивность по времени.
При этом следует помнить, что интегрируемое выражение является функцией 1'; поэтому надо писать (1= — ", (1'= (1 — — ) (1' (73. 10) дб 1, с/ (см. (63.6)), после чего интегрирование производится непосредственно по 4111. Таким образом, имеем следующее выражение для полного излучения в элемент телесного угла с(о: е' 1 ) 2(пуу)(ув4) В4' (1 — се/се)(ВАР)з 1 — З 44Гс 4 ) с(1 — уп/с) (1 — уп/с) (1 — уп/с) 4 + 3 Б (73.11) Как видно из (73.9), угловое распределение излучения в общем случае довольно сложно. В ультрарелятивистском случае (1 — В/с « 1) оно обладает характерной особенностью, связанной с наличием высоких степеней разности 1 — Згп/с в знаменателях различных членов этого выражения.
Именно, интенсивность велика в узком интервале углов, в котором мала разность 1 — уп/с. Обозначив буквой д малый угол между и и у, имеем Ю ве 1 — — созд = 1 — — + —; с с 2 эта разность мала ( 1 — В/с) при 0 ~/1 — В/с или, что то же, (73.12) для поля (63.8), (63.9). На больших расстояниях мы должны сохранить в нем только член с более низкой степенью 1/44 (второй член в формуле (63.8)). Вводя единичный вектор и в направлении излучения (В, = пЛ), получим формулы Е= —,~ ., ), Н=(пЕ], (73.8) с 44 (1 — пу/с) где все величины в правых частях равенств берутся в запаздывающий момент времени 1' = 1 — 411/с.
Интенсивность излучения в телесный угол с(о равна 411 с = —.Е2ГГ2 по. Раскрывая квадрат Е2, найдем 4Я 270 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Таким образом, ультрарелятивистская частица излучает в основном в направлении своего движения в интервал углов (73.12) вокруг направления скорости. Укажем также,что при произвольных скорости и ускорении частицы всегда имеются такие два направления, в которых интенсивность излучения обращается в нуль.
Это те направления, в которых вектор и — чг'с параллелен вектору и1 и потому поле (73.8) обращается в нуль (см. также задачу 2 в конце параграфа). Наконец, выпишем более простые формулы, в которые переходит (73.9) в двух частных случаях.
Если скорость и ускорение частицы параллельны, то е [ген) с Й (1 — чп/с)~ и интенсивность 2 2 2 е ю згп В 4хсг (1 — (с/с) сов В)е (73.13) Она, естественно, симметрична вокруг совместного направления ч и иг и обращается в нуль в направлениях по (д = О) и против (д = гг) скорости. В ультрарелятивистском случае интенсивность как функция от 0 имеет резкий двойной максимум в области (73.12) с «провалом» до нуля при д = О.
Если же скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, то из (73.9) имеем И = д (73 14) 4ггс ~(1 — (г/с) сов В)~ (1 — (е/с) сов В)е Задачи 1. Определить полное излучение релятивистской частицы с зарядом ег, пролетающей на прицельном расстоянии р в кулоновом поле неподвижного центра (потенциал ч1 = ег!Г). Р е ш е н и е.
При пролете через поле релятивистская частица почти не отклоняется') . Поэтому в (73.7) можно считать скорость ч постоянной, ) Пря о с отклонение на заметный угол может иметь место лишь при прицельных расстояниях р е гтс, которые вообще не допускают 2 2 классического рассмотрения. где д по-прежнему угол между и и тг, а пг азимутальный угол вектора и с плоскостью, проходящей через тг и иг. Эта интенсивность симметрична лишь относительно плоскости хгче и обращается в нуль в двух направлениях в этой плоскости, образующих угол В = атосов (и/с) со скоростью.
271 з 74 мхгнито-тогмознон излучение соответственно чему поле в точке нахождения частицы Езт Езт 3 )рз + с242)212 причем х = сй у = р. Произведя в (73.7) интегрирование по времени, получим )ге,ез 4с — с 4 2 2 2 12т2сзрзе с2 е2 2. Определить направления, в которых обращается в нуль интенсивность излучения движущейся частицы. Р е )п е н и е. Из геометрического построения (рис.
15) находим, что искомые направления и лежат в плоскости, проходящей через у и ш, и образуют с направлением и) угол у, определяющийся из соотношения е сйп у = — зшо, с где О в угол между у и щ. 3. Определить интенсивность излучения заряженной частицей, стационарно движущейся в поле циркулярно-поляризованной плоской электромагнитной волны.
Р е ш е н и е. Согласно результатам задачи 3 8 48 частица движется по окружности, причем ее скорость в каждый момент времени параллельна полю Н и перпендикулярна полю Е. Ее кинетическая энергия тс = ° УР4 ь*= Рис. 15 42: *7* )~ ж ). з '» ))3.)) ность излучения: 4 Е2 2 4Е2 4. То же в поле линейно поляризованной волны.
Р е ш е н и е. Согласно результатам задачи 2 г 48 движение происходит в плоскости ху, проходящей через направление распространения волны (ось х) и направление поля Е (ось у);поле Н направлено по осн 2 1причем Н, = Е, ). По (73.7) находим 2е4Е' (1 — е .))с)2 Зт с 1 — с~)с Усреднение по периоду движения, задаваемого полученным в указанной задаче параметрическим представлением, приводит к результату 3 74. Магнито-тормозное излучение Рассмотрим излучение заряда, движущегося с произвольной скоростью по окружности в постоянном однородном магнитном поле; такое излучение называют магнита-тормозным.
272 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Радиус орбиты Г и циклическая частота движения В2н выражаются через напряженность поля Н и скорость частицы и формулами (см. 2 21) тси и еН и2 Г= 22Н = — = — 1 1 — —,. (74.1) = .н, Г=Р7н =, = .,'1 Полная интенсивность излучения по всем направлениям определяется по формуле (73.7), в которой надо положить Е = 0 иН121: 2е Неи (74.2) 2 5(1 2 1 2)' Мы видим,что полная интенсивность пропорциональна квадрату импульса частицы. Если же мы интересуемся угловым распределением излучения, то надо воспользоваться формулой (73.11).
Интерес представляет интенсивность, усредненная по периоду движения. Соответственно этому будем интегрировать в (73.11) по времени обращения частицы по окружности и разделим результат на величину периода Т = 22с/2сн. Выберем плоскость орбиты в ка- Е честве плоскости ту (начало координат в центре окружности), а плоскость уг проводим через направление излучения )с (рис. 16). Магнитное поле будет направлено в отрицательном Рис. 16 направлении оси е (изображенное на рис. 16 направление движения частицы отвечает положительному заряду е). Пусть, далее, д — угол между направлением излучения 1с и осью у, а 22 = В2н1 угол между радиус-вектором частицы и осью х. Тогда косинус угла между направлением к и скоростью ч равен сов 0 сов 122 (вектор ч лежит в плоскости ху и в каждый момент времени перпендикулярен к радиус-вектору частицы).
Ускорение частицы ее выражаем через поле Н и скорость хс согласно уравнению движения (см. (21.1)): Еи = — 1 1 — — 2(21Н]. те у с 273 в 74 МАГНЕТО-ТОРМОЗНОЕ ИЗЛЕЧЕНИЕ После простого вычисления получим 2з — еАКгег ог 5 71 ог!сг)згпгВ+Го!с — созВсоз72)2 5П= о 2 25~0 — — 2 5 Т 8егтгс5 с2 / 11 — (ег5с) сов В соз ~В) О 174.3) 1интегрирование по времени заменено интегрированием по Жр = = огкг15). Процесс интегрирования элементарен, хотя выкладки довольно громоздки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
