II.-Теория-поля (1109679), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В плоской волне поля Е и Н связаны друг с другом соотношением [47.4) Е = [Ни]. Поскольку Н = го1А, то для полного определения поля в волновой зоне достаточно вычислить только векторный потенциал. В плоской волне имеем Н = [Аи]/с [ср. (47.3)), где точка над буквой означает дифференцирование по времени ') . Таким образом, зная А, найдем Н и Е по формулам') 238 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Поскольку поле Н обратно пропорционально Ло, то мы видим, что количество энергии, излучаемой системой в единицу времени в элемент телесного угла 11о, одинаково для всех расстояний (при одинаковых для них значениях разности ~ — Ло/с). Так, разумеется, и должно быть, поскольку излучаемая системой энергия распространяется в окружающем пространстве со скоростью с, нигде не накопляясь и не исчезая. Выведем формулы для спектрального разложения излучаемых системой волн.
Они могут быть получены непосредственно из формул 364. Подставляя в (64.2) Л = Ло — гп (причем в знаменателе подынтегрального выражения можно ограничиться подстановкой Л = Ло), получим для компоненты Фурье векторного потенциала: г СЛО (66.7) (где 1с = йп). Компоненты Н и Е определяются по формулам (66.3). Подставляя в них вместо Н, Е, А соответственно Н,„е ""', Е,„е "л, А е "" и сокращая затем на е '"'~1 получим Н = 1~1сА ), Е = — ~1с~А 1с)). (66.8) Говоря о спектральном распределении интенсивности излучения, необходимо различать разложения в интеграл и ряд Фурье.
С разложением в интеграл Фурье приходится иметь дело для излучения, сопровождающего столкновения заряженных частиц. При этом представляет интерес полное количество энергии, излученной за время столкновения (и соответственно потерянной сталкивающимися частицами). Пусть д4, есть энергия, излученная в элемент телесного угла по в виде волн с частотами в интервале дю.
Согласно общей формуле (49.8) доля полного излучения, приходящаяся на интервал частот йл/2х, получается из обычного выражения для интенсивности заменой квадрата поля на квадрат модуля его компоненты Фурье и одновременным умножением на 2. Поэтому имеем вместо (66.6) Дг ~Н ~2Л2 до Ж" (66.9) Интенсивность 111 излучения в элемент телесного угла 11О определяют как количество энергии, протекающей в единицу времени через элемент ф = Ло до шаровой поверхности с центром в нача- 2 ле координат и с радиусом Ле.
Это количество равно плотности потока энергии Я, помноженной на цГ, т. е. Н2 И = с — Ландо. (66.6) 4к 1 66 полк систкмы злгядов нл дллкких глсстояниях 239 Если заряды совершают периодическое движение, то поле излучения должно быть разложено в ряд Фурье. Согласно общей формуле (49.4) интенсивность отдельной компоненты разложения в рнд Фурье получается из обычного выражения для интенсивности заменой поля на его компоненту Фурье и одновременным умножением на 2. Таким образом, интенсивность излучения с частотой ш = пшо в элемент телесного угла Йо равна (66.10) Наконец, выпишем формулы, определяющие компоненты Фурье поля излучения непосредственно по заданному движению излучающих зарядов.
При разложении в интеграл Фурье имеем Подставляя это в (66.7) и переходя затем от непрерывного распределения токов к точечному заряду, движущемуся по траектории ге = го(6) (ср. 264), получим к*лкО А 1 (6)64~ — и оЯ,Ц снв (66.11) Поскольку ч = дго/~й, то чох = арго, и эту формулу можно написать также и в виде контурного интеграла, взятого вдоль траектории заряда: кФлВО А = е еды~ — кто)с1г . (66.12) Компонента Фурье магнитного поля, согласно (66.8), имеет вид Ны = е™ ей~~ ~в~(пдго]. (66.13) с'Л~ Если заряд совершает периодическое движение по замкнутой траектории, то поле разлагается в ряд Фурье. Компоненты разложения получаются заменой в формулах (66.11)-(66.13) интегрирования по всему времени усреднением по периоду Т движения (см.
определения в 249). Так, для компоненты Фурье 240 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х магнитного поля с частотой аг = гксв = 2яп]Т имеем т Н е хгпе ~ едпгоог Ео12)) [птг(1)] 111— от 11, о = е егйвхог- ~го) )и 11го]. (66.14) с Т Лс Во втором интеграле интегрирование производится по замкну- той орбите частицы. Задача Получить четырехмерное выражение для спектрального разложения излучаемого 4-импульса при движении заряда по заданной траектории. Р е пг е н и е.
Подставив (66.8) в (66.9) и учитывая, что в силу условия Лоренца (62.1) Ьу„= 11А„, находим 44о = — (й']А ]' — ]1ГА ЦЯд 11о — = 22г 2гг = — Ь (]А ) — ]го ] )Вог2о — = — — Ь А, А„'*Яо 11о —. С 2 2 2 2 Ггх С 2 * 2 Ггос 2х 2х 21г 2я Представив 4-потенциал А, в виде, аналогичном (66.12),получим 2 2 11е = ХХ "гге 42го где х' обозначает 4-вектор Х* = / ехр ( — 21огх ) 11х', в котором интегрирование производится вдоль мировой линии частицы.
Наконец, переходя к четырехмерным обозначениям (в том числе к элементу 4-объема в е-пространстве, ср. (10.1 а)) получим для излучаемого 4-импульса следующее выражение: 21 г АР1 = —, Х*Х*йй-й'")4 й. 22гос 8 67. Дипольное излучение Временем гп/с в подынтегральных выражениях запаздывающих потенциалов (66.1), (66.2) можно пренебречь, если за это время распределение зарядов мало меняется.
Легко найти условия осуществления этого требования. Пусть Т означает порядок величины времени, в течение которого распределение зарядов в системе меняется заметным образом. Излучение этой системы будет, очевидно, обладать периодом порядка Т (т.е. частотой 241 дипольное излх»ение порядка 1(Т). Обозначим далее буквой а порядок величины размеров системы. Тогда время гп/с а»»с. Для того чтобы за это время распределение зарядов в системе не успело значительно измениться, необходимо, чтобы п»»с « Т. Но сТ есть не что иное, как длина волны Л излучения.
Таким образом, условие а «сТ можно написать в виде а « Л, (67.1) т. е. размеры системы должны быть малы по сравнению с длиной излучаемой волны. Заметим, что условие (67.1) можно получить и из (66.7). В подынтегральном выражении г пробегает значения в интервале порядка размеров системы, так как вне системы 3 равно нулю. Поэтому показателы1сг мал, и им можно пренебречь для тех волн, у которых»»а «1, что эквивалентно (67.1). Это условие можно написать еще и в другом виде, заметив, что Т а/»», так что Л са»»»», если с есть порядок величины скорости зарядов. Из а « Л находим тогда (67.2) и « с, т.
е. скорости зарядов должны быть малы по сравнению со скоростью света. Будем предполагать,что это условие выполнено,и займемся изучением излучения на расстояниях от излучающей системы, больших по сравнению с длиной волны (а следовательно, во всяком случае болыпих по сравнению с размерами системы). Как было указано в З 66, на таких расстояниях поле можно рассматривать как плоскую волну, и потому для определения поля достаточно вычислить только векторный потенциал. Векторный потенциал (66.2) имеет теперь вид (67.3) где время г' = 1 — ЛО,»с и уже не зависит от переменных интегри- рования.
Подставляя 3 = рч, переписываем (67.3) в виде А = — (~» ет»), где суммирование производится по всем зарядам системы; для краткости мы будем опускать индекс 1' — все величины в правых частях равенств берутся в момент времени ~'. Но 242 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х где д — дипольный момент системы. Таким образом, А= с1.
1 свс С помощью формул (66.3) находим, что магнитное поле равно Н=,' [йп], (67.5) а электрическое поле Е =, Цйп]п]. (67.6) Отметим, что в рассматриваемом приближении излучение определяется второй производной от дипольного момента системы. Такое излучение называется дипольным. Поскольку й = 2; ег, то й = 2;еФ. Таким образом, заряды могут излучать, только если они движутся с ускорением. Равномерно движущиеся заряды не излучают. Это следует, впрочем, и непосредственно из принципа относительности, так как равномерно движущийся заряд можно рассматривать в такой инерциальной системе, где он покоится, а покоящиеся заряды не излучают.
Подставляя (67.5) в (66.6), получим интенсивность дипольного излучения: Ы- з1~-] Ь- 1аш Ы., 4есз 4есз (67.7) где Й вЂ” угол между векторами сз и и. Это есть количество энергии, излучаемой системой в единицу времени в элемент телесного угла ио; отметим, что угловое распределение излучения дается множителем взп О.
Подставив до = 2згззпддд и интегрируя по дд от 0 до л, получим полное излучение: з с' Зс (67.8) Если имеется всего один движущийся во внепгнем поле заряд, то д = ег и сз = еззз, где ~ч — ускорение заряда. Таким образом, полное излучение движущегося заряда 2с~зс~ зсз Отметим, что замкнутая система, состоящая из частиц, у которых отношения зарядов к массам одинаковы, не может излучать дипольно.
Действительно, для такой системы дипольный 243 дипольное изля 1ение момент д = ~~~ ег = ~> — гпг = сопв1 ~ тпг, гп где сопз$ есть одинаковое для всех частиц отношение заряда к массе. Но 2, тг = К 2, т, где К вЂ” радиус-вектор центра инерции системы (напоминаем, что все скорости и « с, так что применима нерелятивистская механика). Поэтому с1 пропорционально ускорению центра инерции, т.
е. равно нулю, так как центр инерции движется равномерно. Наконец, выпишем формулы для спектрального разложения интенсивности дипольного излучения. Для излучения, сопровождаюгцего столкновение, вводим количество де энергии, излученной за все время столкновения в виде волн с частотами в интервале дш/2п (ср. з 66). Оно получится заменой в (67.8) вектора с1 его компонентой Фурье с1 и одновременным умножением на 2: с1о' = —,)д )~ —.
По определению компоненты Фурье, имеем ,12 с1 е ' ~ = — (д е ™) = — ш~с1 е ™, ~гг~ откуда с1„= — со2с1„. Таким образом, получаем (67.10) При периодическом движении частиц аналогичным образом найдем интенсивность излучения с частотой щ = пгно в виде вьюн ~ 1 ~2 (67.11) Задачи 1. Определить излучение диполя й, вращающегося в одной плоскости с постоянной угловой скоростью Й ). 1 Р е ш е н и е. Выбирая плоскость вращения в качестве плоскости ху, имеем и = пе соз Йй пя — пе я1п ЙК ') Сюда относится излучение обладающих днпсльным моментом ротатора и симметричного волчка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
