II.-Теория-поля (1109679), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Мы интересуемся распределением интенсивности вблизи точки О касания луча ОО с каусти- О,'д кой; длина О отрезка ЯО луча предпо- 'х лагается достаточно больпюй. Обозна- 11 О чим расстояние от точки О вдоль нормали к каустике буквой х, причем бу- Рис. 10 дем считать положительными значения х для точек, лежащих на нормали по направлению к центру кривизны. 1!одынтегральное выражение в (59.2) есть функция от расстояния Рг от произвольной точки О~ на волновой поверхности до точки Р.
По известному 210 РАспРостРАнение светА ГЛ. 1'П свойству эволюты сумма длины отрезка Я~О касательной в точке О~, и длины дуги ОО' равна длине ЯО касательной в точке О. Для близких друг к другу точек О и 0' имеем 00 = Вр (р радиус кривизны каустики в точке О). Поэтому длина Я~О = Π— Вр.
Расстояние же Я~О (по прямой) равно приближенно (угол В предполагается малым): 3 Я 0 Я 0 +рвшВ = Π— Вр+р31п  — —, Р Р рВ' 6 Наконец, расстояние К = Я'Р равно Н 32'0 — хсйпВ О'0 — ЕВ, т.е. 1 3 В Ю вЂ” х — — рВ. 6 Подставляя это выражение в (59.2), найдем и1» / ехр ( — «лх — — В ) сЫ = 2 у1 сов ( кхд+ — В ) а1В 1й '1 Г в„Ф х'— где Ф(3) есть так называемая функция Эйрн ) . 1) Функция Эйри Ф(1) определяется формулой Ф(3) = — / соэ( — + 63) оС р ~3 (1) , х l 3 а (см, том 1П, «Квантовая механикаь, 3Ь). При больших положительных значениях $ функция Ф(1) экспоненциально убывает по асимптотическому закону Ф(1) —, ехр ( — — 1313) .
При больших по абсолютной величине отрицательных значениях 1 функция Ф13) осциллирует с убывающей амплитудой по закону Ф(1) — эш — ( — 8)31 -~-— (3) ( — 3)'1~ [3 4 ~ Функция Эйри связана с функцией Макдональда (модифицированной функцией Ганкеля) порядка 1/3: Ф(1) — 1 К113 ( 1 ) . (4) )1 3«г 3 Формула (2) соответствует асимптотическому выражению функций К (1)1 (2) К (1)ш, — е ')1 23 (медленно меняющийся множитель 1/О в подынтегральном выражении не существен по сравнению с экспоненциальным множителем, и мы считаем его постоянным).
Вводя новую переменную интегрирования б = (йр/2)~1~В, получим 211 100 ДИФРАКЦИЯФРЕНЕЛЯ Для интенсивности 1 ~пг ~ напишем 2 (о выборе постоянного множителя см. ниже). При больших положительных значениях х имеем отсюда асимптотическую формулу А 4х322 ) 2ьз 1 ехр ( — ») — ), 2»гх 3 1/ Р т. е. интенсивность экспоненциально убывает (область «тени» ) . При больших же по абсолютной величине отрицательных значениях х имеем т.е.интенсивность быстро осциллирует; усредненное по этим осцилляциям значение равно — А ьг — х Отсюда выясняется смысл постоянной А — она определяет интенсивность вдали от каустики, которая получилась бы из геометрической оптики без учета явлений дифракции.
Наиболыпее значение, равное 0,949, функция Ф(1) имеет при 1 = — 1,02; соответственно этому наибольшая интенсивность достигается при х(2Ь~/р)П~ = — 1,02 и равна 1 = 2 ОЗАЬПз -Пе (в самой же точке касания луча с каустикой, х = О, имеем 1=0,89Акн~р П", так как Ф(0) = 0,629). 'Хаким образом, вблизи каустики интенсивность пропорциональна к~~~, т.
е. Л 222 (Л вЂ” длина волны). При Л э 0 интенсивность, как и следовало (ср. Э 54), стремится к бесконечности. 9 60. Дифракция Френеля Коли источник света и точка Р, в которой мы ищем интенсивность света, находятся на конечном расстоянии от экрана, то для определения интенсивности в точке Р играет роль лишь небольшой участок волновой поверхности, по которой происходит интегрирование в (59.2), участок, лежащий вблизи прямой, соединяющей источник с точкой Р. Действительно, поскольку отклонения от геометрической оптики слабы, то интенсивность света, приходящего в Р из различных точек волновой поверхности, очень быстро падает по мере удаления от указанной прямой.
Дифракционные явления, в которых играют роль лишь небольшие участки волновой поверхности, носят название дифракции Френеля. 212 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА ГЛ. РП Рис. 11 и ехр 1е у2+ е~+ (Р + у1йа)~ В интеграле (59.2) для Л надо теперь подставить Л= у +(.— 1)2+(Р— у1й )2. Рассмотрим дифракцию Френеля от какого-нибудь экрана.
Благодаря указанному свойству при этом играет роль (при заданной точке Р) только небольшой участок края экрана. Но на 1 достаточно малых участках край У экрана можно всегда считать прямолинейным. Ниже под краем экрана будет поэтому подразуме- 111 11Р " ваться именно такой неболыпой о. прямолинейный участок. рез источник света ГА (рис.
11) и Выберем в качестве плоскости лу плоскость, проходяшую чечерез линию края экрана. Перпендикулярную к ней плоскость хе выбираем так, чтобы она прошла через точку Я и точку наблюдения Р, в которой мы ищем значение интенсивности света. Наконец, начало координат О выбираем на линии края экрана, после чего положение всех трех осей вполне определено. Обозначим расстояние от источника света Я до начала координат символом Ре, х-координату точки наблюдения Р— символом .Рр, а ее е-координату, т. е.
расстояние до плоскости ху, символом д. Согласно геометрической оптике свет мог бы попасть только в точки, лежащие над плоскостью ту; область же под плоскостью еу есть область, где согласно геометрической оптике была бы тень (область геометрической тени). Мы определим теперь распределение интенсивности света за экраном вблизи границы геометрической тени, т.е. при малых (по сравнению с Р и Ре) значениях 11. Отрицательное 11 означает, что точка Р находится в области геометрической тени. В качестве поверхности интегрирования в (59.2) выберем полуплоскость, проходящую через линию края экрана перпендикулярно к плоскости лу.
Координаты я и у точек этой поверхности связаны друг с другом соотношением х = у1ясГ (ГГ угол между линией края экрана и осью у), а координата е положительна. Поле волны, исходящей из источника ГР, на расстоянии Ле от него пропорционально множителю ехр(1ййе). Поэтому поле и на поверхности интегрирования пропорционально 213 1 во ДИФРАКЦИЯФРЕНЕЛЯ В подынтегральном выражении медленно изменяющиеся мно- жители не существенны по сравнению с экспоненциальным мно- жителем. Поэтому мы можем считать 1,1Л постоянным, а вместо ф„писать пусЬ. Мы находим тогда, что поле в точке Р— о + 1 дд сЬ.
(60.1) —.0т+ +у(яо, У -~Е 2ВА (Арр — у(яа) +у +(е — д) — Х)р+ — у(яо. 2 2 2 Р +(~ ) 2Ц* Подставим это в (60.1). Поскольку нас интересует поле толь- ко как функция от расстояния Й, то постоянный множитель ехр ~гй(1рр+ Пт)) опускаем; интеграл по Ну тоже дает выражение, не содержащее д, которое мы также опустим. Мы находим тогда: ир ехр г)с( г + (г — д) ( сЬ. / 1 2 1 2~ 2Рр 2РР о Это выражение можно написать и в таком виде: Н' 1 1 (.
(1~2)((1~РР -~ 1~Р,~р — 4РР) 1 (60.2) Интенсивность света определяется квадратом поля, т. е. квадратом модуля )ир~ . Поэтому для нахождения интенсивности 2 стоящий перед интегралом множитель не существен, так как при умножении на сопряженное выражение он дает единицу. Очевидной подстановкой интеграл приводится к виду Г,„ ир ( е" Й), (60.3) Как мы уже говорили, в точку Р попадает свет главным образом из точек плоскости интегрирования, близких к О. Поэтому в интеграле (60.1) играют роль малые (по сравнению с Рт и Рр) значения у и е. Мы можем написать ГЛ, РП 214 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА где 'ИРд ю=д 2РР(РА -(- Рр) 160.4) Таким образом, интенсивность 1 в точке Р равна где /2 Г С(е) = ~/ — / сок г( Й(1, Б('е) = ~( — ~ зшп Йг( О О 1а 1 = —,.
4ТШ~ 160.7) так называемые интегралы Френеля. Формула 160.5) решает поставленную задачу, определяя интенсивность света как функцию от д 1О есть интенсивность в освещенной области в точках, достаточно удаленных от края тени, т.е.при ю » 1 1в пределе ю — + оо имеем С(оо) = Я(со) = 1/2). Области геометрической тени соответствуют отрицательные Ю. ЛЕгкО выяСнить аеимптОтичЕСкий вид функции т1Ю) при больших по абсолютной величине отрицательных значениях ю. Для этого поступим следующим образом.
Интегрируя по частям, имеем Ор ОО Г ,2 1;,„1 /,,21О еьч д(1 = — е' + — / е 21('ю~ 21 1 О (Е~ Интегрируя в правой части равенства еще раз по частям и продолжая этот процесс, получим ряд по степеням 1/(ю~ 1 еьч й1 = е' ( —, +, —...). (г60.6) 21((р( 4(ю(~ ю) Хотя бесконечный ряц такого вида и не является сходящимся, но ввиду того, что при больших ~ю~ величина его последовательных членов быстро падает, уже первый его член дает хорошее представление стоящей слева функции при достаточно болыпих (ю~ 1ряды такого рода называются асимптотическими). Таким образом, для интенсивности 1(ш) 160.5) получим следующую асимптотическую формулу, пригодную для больших отрицательных значений ю: 215 1 во ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ Мы видим, что в области геометрической тени, вдали от ее края интенсивность стремится к нулю обратно пропорционально квадрату расстояния от края тени.
Рассмотрим теперь положительные значения и, т. е. область выше плоскости ту. Пишем Г ега сЬ~ = еса Й) — е'" Йг) = (1+ г) — — есл Йг). 'у2 / сил Й~ = (1+ г) — + — е* у 2 2ии (60.8) Подставляя это выражение в (60.5), получим 1 ЕШ(ш~ — и/4) (60.9) Таким образом, в освещенной области, вдали от края тени, интенсивность имеет неограниченный ряд максимумов и минимумов, так что отношение 1(1о колеблется в обе стороны от Рис. 12 единицы. Размах этих колебаний уменьшается с ростом и обратно пропорционально расстоянию от края геометрической тени, а места максимумов и минимумов постепенно сближаются друг с другом. При небольших в функция 1(ю) имеет качественно тот же характер (рис. 12).
В области геометрической тени интенсивность спадает монотонно при удалении от границы тени (на самой этой При достаточно больших ы можно воспользоваться асимпто- тическим представлением стоящего в правой части равенства интеграла, и мы будем иметь 216 РАЕПРОотРАнение светА Гл. Рп границе 1(10 = 1/4). При положительных и1 интенсивность имеет чередующиеся максимумы и минимумы. В первом, наиболыпем из максимумов, 1(10 = 1,37. й 61. Дифракция Фраунгофера Особый интерес для физических применений имеют дифракционные явления, возникающие при падении на экраны плоскопараллельного пучка лучей. В результате дифракции пучок теряет параллельность и появляется свет, распространяющийся в направлениях, отличных от первоначального.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
