II.-Теория-поля (1109679), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В каждом неболыпом участке пространства можно говорить о направлении распространения волны, нормальном к волновой поверхности. При этом можно ввести понятие лучей— линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны. Изучение законов распространения волн в этом случае составляет предмет геометрической оптики. Геометрическая оптика рассматривает, следовательно, распространение электромагнитных волн, в частности света, как распространение лучей, совершенно отвлекаясь при этом от их волновой природы.
Другими словами, геометрическая оптика соответствует предельному случаю малых длин волн, Л вЂ” э О. Займемся теперь выводом основного уравнения геометрической оптики — уравнения, определяющего направление лучей. Пусть г' есть любая величина, описывающая поле волны (любая из компонент Е или Н). В плоской монохроматической волне у имеет вид г" = аехр [г(1гг — ю1+ о)] = вехр ~г( — Цх'+ а)] (53.1) (мы опускаем знак Ке; везде подразумевается вещественная часть).
184 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА ГЛ. РП Напишем выражение для поля в виде 1 = ае'~. (53.2) Ф=Фо+г — +1— ду1 д111 дг д~ (начало координат и начало отсчета времени выбраны в рассмат- риваемом участке пространства и интервале времени; значения производных берутся в начале координат). Сравнивая это выра- жение с (53.1)1 мы можем написать: 1с = — = йга11~, д1Р дг (53.3) в соответствии с тем, что в каждом небольшом участке простран- ства (и в небольших интервалах времени) волну можно рассмат- ривать как плоскую.
В четырехмерном виде соотношения (53.3) напи1путся как к;= — —,, д1г дх* (53.4) где Й; — волновой 4-вектор. Мы видели в 3 48, что компоненты 4-вектора е' связаны соотношением Цк' = О. Подставляя сюда (53.4), находим уравнение — —,. =О. д4 д1г (53.5) дх1 де1 Это уравнение, называемое уравнением эйконала, является основным уравнением геометрической оптики. Уравнение эйконала можно вывести также и непосредственным предельным переходом Л вЂ” + О в волновом уравнении.
Поле 1 удовлетворяет волновому уравнению дУ1=0. де,де1 В случае, .когда волна не плоская, но геометрическая оптика применима, амплитуда а является, вообще говоря, функцией координат и времени, а фаза 4, называемая также эйконалом, не имеет простого вида, как в (53.1). Существенно, однако, что эйконал ф является большой величиной. Это видно уже из того, что он меняется на 21Г на протяжении длины волны, а геометрическая оптика соответствует пределу Л -+ О.
В малых участках пространства и интервалах времени эйконал Г)1 можно разложить в ряд; с точностью до членов первого порядка имеем 185 ГЕОМЕТРИЧЕОКАЯ ОПТИКА Подставляя сюда 1 = ае'~, находим д' д д д2 ,е""+2г — —,е'Е+т/' ", — — —,)'=О. (53.6) де,д* д*, д' дх,дх' дх, дх' дд Р= Сравнивая эти формулы с формулами (53.3), мы видим, что волновой вектор волны играет в геометрической оптике роль импульса частицы в механике, а частота -- роль функции Гамильтона, т.е.
энергии частицы. Абсолютная величина е волнового вектора связана с частотой посредством формулы А = и/с. Это соотношение аналогично соотношению р = О /с между импульсом и энергией частицы с массой, равной нулю, и скоростью, равной скорости света. Для частиц имеют место уравнения Гамильтона д,М' дг ' дМ' ч=г= др Ввиду указанной аналогии мы можем непосредственно написать подобные уравнения для лучей: 1с= — —, г= —. дм . дм (53.
7) дг' д1 В пустоте ы = ск, так что к = О, ч = сп (и — единичный вектор вдоль направления распространения), т.е., как и следовало, в пустоте лучи являются прямыми линиями, вдоль которых свет распространяется со скоростью с. Но эйконал ф, как было выше указано, есть большая величина; поэтому можно пренебречь здесь тремя первыми членами по сравнению с четвертым, и мы приходим снова к уравнению (53.5) Укажем еще некоторые соотношения, которые, правда, в применении к распространению света в пустоте приводят лишь к заранее очевидным результатам.
Существенно, однако, что в своей общей форме эти выводы применимы и к распространению света в материальных средах. Из формы уравнения эйконала вытекает замечательная аналогия между геометрической оптикой и механикой материальных частиц. Движение материальной частицы определяется уравнением Гамильтона — Якоби (16.11). Это уравнение, как и уравнение эйконала, является уравнением в частных производных первого порядка и второй степени. Как известно, действие О' связано с импульсом р и функцией Гамильтона,Ж' частицы соотношениями 186 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА ГЛ.
Рп Аналогия между волновым вектором волны и импульсом частицы в особенности ясно проявляется в следующем обстоятельстве. Рассмотрим волну, представляющую собой наложение монохроматических волн с частотами, лежащими в некотором небольшом интервале, и занимающую некоторую конечную область пространства (так называемый волновой пакет). Вычислим 4-импульс поля этой волны, воспользовав1пись формулой (32.6) с тензором энергии-импульса (48.15) (для каждой моно- хроматической компоненты).
Заменяя в этой формуле й' некоторым его средним значением, получим выражение вида Р' = Ай', (53.8) где коэффициент пропорциональности А между двумя 4-векторами Р' и й' есть некоторый скаляр. В трехмерном виде это соотношение дает Р = А1с, 4' = А1В. (53.9) Таким образом, мы видим, что импульс и энергия волнового пакета преобразуются от одной системы отсчета к другой соответственно как волновой вектор и частота. Продолжая аналогию, можно установить для геометрической оптики принцип, аналогичный принципу наименьшего действия в механике. Однако его при этом нельзя будет написать в гамильтоновой форме, В ) ЬЖ = О, так как оказывается невозможным ввести для лучей функцию, аналогичную функции Лагранжа для частиц. Действительно, функция Лагранжа А частицы связана с функцией Гамильтона Рг' посредством Х = рдЖ/др — Ж.
Заменяя функцию Гамильтона частотой ы, а импульс волновым вектором 1с, мы должны были бы написать для функции Лагранжа в оптике Кдп1/дй — ы, Но это выражение равно нулю, поскольку ш = сй. Невозможность введения функции Лагранжа для лучей видна, впрочем, и непосредственно из указанного выше обстоятельства, что распространение лучей аналогично движению частиц с массой, равной нулю. Если волна обладает определенной постоянной частотой ы, то зависимость ее поля от времени определяется множителем вида е '~Г. Поэтому для эйконала такой волны мы можем написать: где фо — функция только от координат. Уравнение эйконала (53.5) принимает теперь вид (8гас1 Фо) (53.11) 187 1 54 ИНТЕНСИВНОСТ1 Волновые поверхности являются поверхностями постоянного эйконала, т.
е. семейством поверхностей вида 1ро(т, у, е) = сопз1. Лучи же в каждой точке нормальны к соответствующей волновой поверхности: их направление определяется градиентом ~фо. Как известно, в случае, когда энергия постоянна, принцип наименьшего действия для частицы можно написать также и в виде так называемого принципа Мопертюи: Во=6 рд1=0, где интегрирование производится по траектории частицы между двумя заданными ее положениями. Импульс предполагается при этом выраженным как функция от энергии и координат частицы.
Аналогичный принцип для лучей называется принципом Ферма. В этом случае мы можем написать по аналогии: (53.12) б1р = 6 141И = О. В пустоте 14 = — и, и мы получаем (и 411 = Ж)1 с (53.13) д 111=0, что и соответствует прямолинейному распространению лучей. й 54. Интенсивность Таким образом, в геометрической оптике световую волну можно рассматривать как пучок лучей. Лучи, однако, сами по себе определяют лишь направление распространения света в каждой точке; остается вопрос о распределении интенсивности света в пространстве. Выделим на какой-либо из волновых поверхностей рассматриваемого пучка бесконечно малый элемент.
Из дифференциальной геометрии известно, что всякая поверхность имеет в каждой своей точке два, вообще говоря, различных главных радиуса кривизны. Пусть ас и бд (рис. 7) — элементы главных кругов кривизны, проведенные на данном элементе волновой поверхности. Тогда лучи, проходящие через точки а и с, пересекутся друг с другом в соответствующем центре кривизны Ом а лучи, проходящие через 6 и д, пересекутся в другом центре криВизны О2.
188 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА ГЛ. РП При данных углах раствора лучей, исходящих из ОГ и Оз, длины отрезков ас и 511 пропорциональны соответствующим радиусам кривизны ВГ и Вз (т.е. длинам ОГО и ОзО); площадь элемента поверхности пропорциональна произведению длин ас и Ы, т. е. пропорциональна В1 В2. Другими словами, если рассматривать элемент волновой поверхности, ограниченный определенным рядом лучей, то при движении вдоль них площадь этого элемента будет меняться пропорционально В1 Вз.
С другой стороны, интенсивность, т. е. плотность потока энергии, обратно пропорциональна площади поверхности, через А Г Г" Рис. 7 которую проходит данное количество световой энергии. Таким образом, мы приходим к выводу, что интенсивность СОПВГ Л1111 (54.1) (54.2) где в фазовом множителе е' под В может подразумеваться как Вы так и Вз, величины е'т~а1 и е'~л' отличаютсЯ ДРУГ от ДРУга Эту формулу надо понимать следующим образом. На каждом данном луче (АВ на рис. 7) существуют определенные точки 01 и Оз, являющиеся центрами кривизны всех волновых поверхностей, пересекающих данный луч.
Расстояния 001 и ООз от точки О пересечения волновой поверхности с лучом до точек ОГ и 02 являются радиусами кривизны В1 и В2 волновой поверхности в точке О. Таким образом, формула (54.1) определяет интенсивность света в точке 0 на данном луче как функцию от расстояний до определенных точек на этом луче. Подчеркнем, что эта формула непригодна для сравнения интенсивностей в разных точках одной и той же волновой поверхности. Поскольку интенсивность определяется квадратом модуля поля, то для изменения самого поля вдоль луча мы можем написать: 189 8 54 ИНТЕНСИВНОСТЬ только постоянным (для данного луча) множителем, поскольку разность Л4 — Лз, расстояние между обоими центрами кривизны, постоянна. Если оба радиуса кривизны волновой поверхности совпадают, то 154.1) и (54.2) имеют вид сопвг НВВВ4,ЬЛ (54.3) Л~ Л Это имеет место, в частности, всегда в тех случаях, когда свет испускается точечным источником (волновгяе поверхности являются тогда концентрическими сферами, а Л вЂ” расстоянием до источника света).
Из 154.1) мы видим, что интенсивность обращается в бесконечность в точках Л4 = О, Лз = О, т.е. в центрах кривизны волновых поверхностей. Применяя это ко всем лучам в пучке, находим, что интенсивность света в данном пучке обращается в бесконечность, вообще говоря,на двух поверхностях геометрическом месте всех центров кривизны волновых поверхностей. Эти поверхности носят название каустик.
В частном случае пучка лучей со сферическими волновыми поверхностями обе каустики сливаются в одну точку (фокус). Отметим, что, согласно известным из дифференциальной геометрии свойствам геометрического места центров кривизны семейства поверхностей, лучи касаются каустик. Надо иметь в виду, что (при выпуклых волновых поверхностях) центры кривизны волновых поверхностей могут оказаться лежащими не на самих лучах, а на их продолжениях за оптическую систему, от которой они исходят. В таких случаях говорят о миимььт карстикал (или мнимых фокусах). Интенсивность света при этом нигде не обращается в бесконечность. Что касается обращения интенсивности в бесконечность, то в действительности, разумеется, интенсивность в точках каустики делается болыпой, но остается конечной (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
