II.-Теория-поля (1109679), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Первые два члена этого ряда: Но = рх -~- — п(х)т, 1 г 2 (2) 200 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА Гл. Рп где ) 2ср еН1 к = — — с$к еН 2ср ЕП ' еН Е1п 2ср $ 57. Отображение широкими пучками лучей Рассмотренное в предыдущем параграфе отображение предметов с помощью тонких пучков лучей является приближенным; оно тем точнее (т. е. резче), чем уже эти пучки.
Перейдем теперь к вопросу об отображении предметов пучками лучей произвольной ширины. В противоположность отображению предметов тонкими пучками, которое можно осуществить с любой оптической системой, обладающей аксиальной симметрией, отображение широкими пучками возможно только с помощью определенным образом построенных оптических систем. Даже с этим ограничением возможно, как уже указывалось в 256, отображение далеко не всех точек пространства. Дальнейшие выводы основаны на следующем существенном замечании. Пусть все лучи, выходящие из некоторой точки О и проходящие через оптическую систему, вновь пересекаются в некоторой точке 01.
Легко видеть, что оптическая длина пути одинакова для всех этих лучей. Действительно, вблизи каждой из точек О, О' волновые поверхности для пересекающихся в них лучей являются сферами с центрами соответственно в О и О' и в пределе, при приближении к О и О', вырождаются в эти точки. Но волновые поверхности являются поверхностями постоянной фазы, и поэтому изменения фазы вдоль разных лучей между точками их пересечения двух определенных волновых поверхностей одинаковы. Из сказанного следует, что одинаковы (для разных лучей) и полные изменения фазы между точками О и О'. Выясним условия, необходимые для осуществления отображения широкими пучками малого отрезка прямой; изображение представляет собой при этом тоже малый отрезок прямой.
Выберем направления этих отрезков за направления осей (назовем их с и ~') с началами О и О' в каких-либо соответствующих друг другу точках предмета и изображения. Пусть г)1 есть оптическая длина пути для лучей, выходящих из О и приходящих в 01. Для лучей, выходящих из бесконечно близкой к О точки с координатой д~ и сходящихся в точке изображения с координатой д~', ') Значение у дано с правильным знаком, определение которого, однако, требует дополнительного исследования. 201 ОТОБРАЖЕНИЕ Н1ИРОКИМИ ПУ 1КАМИ ЛУ 1ЕЙ оптическая длина пути есть ф + 1хф, где пф = — ПС + —, ПС . д4~ дф д4 д~' Введем «увеличениеа при отображении Йф = (С1~П~ — Пх) П(. Как и для всякой пары соответствующих друг другу точек пред- мета и изображения, оптическая длина пути ф+ 11ф должна быть одинаковой для всех лучей, выходящих из точки с координатой 11С и приходящих в точку 11('.
Отсюда получаем условие: 1 а~ПР— Пх = СОПЕВ . (57.1) Это и есть искомое условие, которому должен удовлетворять ход лучей в оптической системе при отображении широкими пучками малого отрезка прямой. Соотношение (57.1) должно выполняться для всех лучей, выходящих из точки О. Применим теперь полученное условие к отображению с помощью аксиально-симметричной оптической системы.
Начнем с отображения отрезка прямой, лежащего на оптической оси системы (ось т); из соображений симметрии очевидно, что изображение будет тоже лежать на оси. Луч, идущий вдоль оптической оси (и = 1), в силу аксиальной симметрии системы не меняет своего направления при прохождении через нее, т.е. и' = 1. Отсюда следует, что сопз1 в (57.1) равна в рассматриваемом случае ох — 1, и мы можем переписать (57.1) в виде 1 — п = 1тх. Обозначая через 0 и д' углы, образуемые лучами с оптической осью в точках предмета и изображения, имеем 1 — и = 2з1п х 2 1 — пх = 1 — созд = 2з1п 2 В как отношение длины ПЕ элемента изображения к длине отображаемого элемента 11С. В силу малости отображаемого отрезка увеличение а можно считать величиной, постоянной вдоль его длины.
Написав так же, как обычно, дф/д( = — пх, дф,1дС1 = (п~, п~ косинусы углов между направлениями луча и соответственно осями С и С'), получим 202 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА ГЛ. РП Таким образом, получим условие отображения в виде В1п(В/2) = СОПЯ1 = А/а,. (57.2) В1п(В'/2) Далее, рассмотрим отображение малого участка плоскости, перпендикулярной к оптической оси аксиальпо-симметричной системы; изображение будет, очевидно, тоже перпендикулярно к этой оси. Применяя (57.1) к любому отрезку, лежащему в отображенной плоскости, получим о, яш 0~ — яш д = сопя1, где и' и й' — по-прежнему углы между лучом и оптической осью.
Для лучей, вышедших из точки пересечения изображаемой плос- кости с оптической осью в направлении этой оси (д = 0), должно быть, в силу симметрии, и п1 = О. Поэтому сопят = О, и мы получаем условие отображения в виде —, = СОПЯ1 = СГ„. (57.3) В1пв~ Что касается отображения широкими пучками трехмерных предметов, то легко видеть, что оно невозможно даже при малом объеме тела, поскольку условия (57.2) и (57.3) несовместимы друг с другом. й 58. Пределы геометрической оптики По определению плоской монохроматической волны ее амплитуда везде и всегда одинакова. Такая волна бесконечна по всем направлениям в пространстве и существует на протяжении всего времени от — оо до +ос. Всякая же волна с не везде и не всегда постоянной амплитудой может быть лишь более или менее монохроматической.
Мы займемся теперь выяснением вопроса о степени немонохромага11чносгаи волн. Рассмотрим электромагнитную волну с амплитудой, являющейся в каждой точке пространства функцией времени. Пусть а1о есть некоторая средняя частота волны. Тогда поле волны (например электрическое) в данной точке имеет вид Ео(Г)е НРВГ. Это поле, не являющееся, конечно, само монохроматическим, можно, однако, разложить на монохроматические компоненты, т. е. в интеграл Фурье. Амплитуда компоненты этого разложения с частотой ш пропорциональна интегралу -Рпо Ео11)ей~ ~')'ГЫ.
203 ПРЕДЕЛЫ ГЕОМЕТРИЧЕОКОЙ ОПТИКИ 8 58 Множитель ей~ ~'д является периодической функцией, среднее значение которой равно нулю. Если бы ЕО было вообще постоянным, то интеграл был бы в точности равен нулю при всех щ ф ше. Если же Ее(г) переменно, но почти не меняется на протяжении промежутков времени порядка 1/~ы — мо~, то интеграл почти равен нулю, тем точнее, чем медленнее меняется ЕО.
Для того чтобы интеграл был заметно отличен от нуля, необходимо, чтобы Ее(г) заметно менялось на протяжении промежутка времени порядка 1/~п~ — ые~. Обозначим через Ы порядок величины промежутка времени, в течение которого амплитуда волны в данной точке пространства заметно меняется. Из приведенных соображений следует теперь, что наиболее отличающиеся от ыо частоты, входящие в спектральное разложение этой волны с заметными интенсивностями, определяются из условия 1/~ы — ыв~ Ь1. Если обозначить через Ьы интервал частот (вокруг средней частоты мо) в спектральном разложении, то, следовательно, имеет место соотношение (58.1) Мы видим, что действительно волна тем более монохроматична (т. е.
Ьм тем меныпе), чем больше Ьг, т. е. чем медленнее меняется в каждой точке пространства ее амплитуда. Соотношения, аналогичные (58.1), легко вывести и для волнового вектора. Пусть Ьх, Ьу, Ье — порядки величин расстояний вдоль осей л, у, е, на которых заметно меняется амплитуда волны. В данный момент времени поле волны как функция от координат имеет вид ЕО (г) е'~0 где 1го--некоторое среднее значение волнового вектора. Совершенно аналогично выводу (58.1) можно найти интервал,ЫГ значений, имеющихся в разложении рассматриваемой волны в интеграл Фурье: Ьй Ьт 1, КИ„Ьд 1, Ьй, Ье 1. (58 2) Рассмотрим, в частности, волну, излучавшуюся в течение некоторого конечного интервала времени.
Обозначим через Глг порядок величины этого интервала. Амплитуда в данной точке пространства во всяком случае заметно изменяется за время Ь1, в течение которого волна успеет целиком пройти через эту точку. На основании соотношения (58.1) мы можем теперь сказать, что «степень немонохроматичностиР такой волны Ьм во всяком случае не может быть меньше, чем 1/Ь1 (но может, конечно, быть 204 РАЕПРОстРАнение светА ГЛ. РП и больше) (58.4) Из этих формул следует, что если мы имеем пучок света конечной ширины, то направление распространения света в таком пучке не может быть строго постоянным.
Направляя ось х по направлению (среднему) света в пучке, мы получаем В > Л "- Ь~Лр Лр' (58.5) где др порядок величины отклонения пучка от среднего направления в плоскости ху, а Л вЂ” длина волны. С другой стороны, формула (58.5) дает ответ на вопрос о предельной резкости оптических изображений. Пучок света, все лучи которого согласно геометрической оптике должны были бы пересечься в одной точке, в действительности дает изображение не в виде точки, а в виде некоторого пятна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
