II.-Теория-поля (1109679), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для ширины А«этого пятна имеем, согласно (58.5), (58.6) где й — угол раствора пучка. Эту формулу можно применить не только к изображению, но и к предмету. Именно, можно утверждать, что при наблюдении исходящего из светящейся точки пучка света эту точку нельзя отличить от тела размера Л/й. Соответственно этому формула (58.6) определяет предельную разрешающую силу микроскопа. Минимальное значение гл, достигающееся при д 1, есть Л, в полном согласии с тем, что пределы геометрической оптики определяются длиной волны света. Задача Найти порядок величины наименьшей ширины светового пучка, получающегося от параллельного пучка света на расстоянии 1 от диафрагмы.
Р е ш е н и е. Обозначив размер отверстия диафрагмы через 11, имеем из (58.8) для угла отклонения лучей («угла дифракции») значение Лч», Л откуда ширина пучка порядка д -Ь вЂ” й Наименьшее значение этой величи- 11 ны 11Л5 ЬО1 > —. (58.3) г.'г~ ' Аналогично, если Ьх, Ьу, газ порядки величины размеров волны в пространстве, то для интервалов значений компонент волнового вектора, входящих в разложение волны, находим 205 э 59 диФРАкцин й 59. Дифракция Законы геометрической оптики строго точны лишь в идеальном случае, когда длину волны можно рассматривать как бесконечно малую.
Чем хуже выполнено это условие, тем сильнее проявляются отклонения от геометрической оптики. Явления, наблюдающиеся в результате этих отклонений, носят название явлений дифракции. Явления дифракции можно наблюдать, например, если на пути распространения света') находятся препятствия непрозрачные тела (будем называть их экранами) произвольной формы или, например, если свет проходит через отверстия в непрозрачных экранах. Если бы законы геометрической оптики строго выполнялись, то за экранами находились бы области тени, резко отграниченные от областей, куда свет попадает. Дифракция же приводит к тому, что вместо резкой границы между светом и тенью получается довольно сложная картина распределения интенсивности света.
Эти явления дифракции тем сильнее выражены, чем меньше размеры экранов и отверстий в них или чем больше длина волны. Задача теории дифракции заключается в том, чтобы при данном расположении и форме тел (и расположении источников света) определить распределение света, т.е. электромагнитное поле во всем пространстве. Точное разрешение этой задачи возможно только путем решения волнового уравнения с соответствующими граничными условиями на поверхности тел, зависящими еще к тому же и от оптических свойств материала. Такое решение обычно представляет большие математические трудности. Однако во многих случаях оказывается достаточным приближенный метод решения задачи о распределении света вблизи границы между светом и тенью. Этот метод применим в случаях слабого отклонения от геометрической оптики.
Тем самым предполагается, во-первых, что все размеры велики по сравнению с длиной волны (это относится как к размерам экранов или отверстий в них, так и к расстояниялг от тел до точек испускания и наблюдения света); во-вторых, рассматриваются лишь небольшие отклонения света от направления лучей, определяемых геометрической оптикой. Рассмотрим какой-нибудь экран с отверстием, через которое проходит свет от данных источников. Рисунок 9 изображает ) Мы будем говорить для определенности о свете; все нижеследующее относится, конечно, к любым электромагнитным волнам.
206 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА ГЛ. РП этот экран в разрезе (жирная линия); свет идет слева направо. Будем обозначать буквой и любую из компонент поля Е или Н. При этом под и мы будем подразумевать поле как функцию только от координат, т.е. без множителя е ™, определяющего зависимость от времени. Нашей задачей является определение интенсивности света, т.е, поля и в любой точке наблюдения Р за экраном. При приближенном решении этой задачи в случаях, когда отклонения от геометрической П оптики малы, можно считать, что в точках отверстия поле таково, каким оно было бы при отсутствии вообще какого-либо экрана. Другими словами, значения поля здесь те, которые следуют из геометрической Рис.
9 оптики. Бо всех же точках, находящихся непосредственно за экраном, поле можно положить равным нулю. При этом, очевидно, свойства самого экрана (материала, из которого он сделан) вообще не играют роли. Очевидно также, что в рассматриваемых случаях для дифракции существенна только форма края отверстия и не существенна форма непрозрачного экрана. Проведем какую-нибудь волновую поверхность, закрывающую отверстие в экране и ограниченную его краями (разрез такой поверхности на рис. 9 изображен штриховой линией).
Эту поверхность разобьем на участки с площадью ф,малые по сравнению с размерами отверстия, но большие по сравнению с длиной волны света. Мы можем тогда рассматривать каждый из этих участков, до которых дошла световая волна, так, как будто бы он сам делается источником световой волны, распространяющейся во все стороны от этого участка. Поле в точке Р мы будем рассматривать как результат наложения полей, исходящих из всех участков ГГГ поверхности, закрывающей отверстие (так называемый принцип Гюйгенса). Поле, создаваемое участком с1Г в точке Р, пропорционально значению и поля в самом участке 1ГГ (напоминаем, что поле в с1Г" мы предполагаем таким, каким оно было бы при отсутствии экрана.
Кроме того, оно пропорционально проекции 11Г„ площади 11г на плоскость, перпендикулярную к направлению н луча, пришедшего из источника света в с1Г. Это следует из того, что какой бы формой ни обладал участок 1ГГ", через него будут проходить одинаковые лучи, если только его проекция Г1Г"„будет неизменной, а потому и его действие на поле в точке Р будет одинаковым. 207 1 09 ДИФРАКЦИЯ Таким образом, поле, создаваемое в точке Р участком ау, пропорционально и а1„. Далее, надо еще учесть изменение амплитуды и фазы волны при ее распространении от ф к точке Р.
Закон этого изменения определяется формулой (54.3). Поэтому иф„ надо умножить еще на (1/В)е'" (где  — расстояние от ф до Р, а й абсолютная величина волнового вектора света), и мы находим, что искомое поле равно Фйв аи а1„, Л где а есть неизвестная пока постоянная. Полное же поле в точке Р, являющееся результатом наложения полей, создаваемых все- ми ф, есть Г ие* ир = а/ а1„, Л (59.1) и (59.1) дает -~-00 .~- 00 ир = аи ехр 1Й вЂ” ду ехр гй — Йя, где и — постоянная (поле в плоскости дя); в множителе 1/В можно положить 1т' — т = сопв1. Стоящие здесь интегралы где интеграл распространен по поверхности, ограниченной краем отверстия. Этот интеграл в рассматриваемом приближении не зависит, конечно, от формы этой поверхности. Формула (59.1) применима, очевидно, и к дифракции не от отверстия на экране, а от экрана, вокруг которого свет может свободно распространяться.
В этом случае поверхность интегрирования в (59.1) простирается во все стороны от края экрана. Для определения постоянной а рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х; волновые поверхности параллельны плоскости уг. Пусть и есть значение поля в плоскости уг. Тогда в точке Р, которую мы выберем на оси т, поле равно ир = = ие'~*. С другой стороны, поле в точке Р можно определить, исходя из формулы (59.1) и выбрав в качестве поверхности интегрирования, например, плоскость уя. При этом ввиду малости угла дифракции в интеграле существенны только точки плоскости уг, близкие к началу координат, т.
е. точки, в которых у, г « « х (х -- координата точки Р). Тогда гл, чп 208 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА подстановкой у = ~ „/2х/й приводятся к виду -~-оо -~-оо -~-оо 1 е'~ д~ = сов~ Ы~+ г э1п( г1~ = г — (1+ 2), у 2 и мы полУчаем: ир = аие"* 222г/И. С ДРУгой стоРоны, ир = ие™х и, следовательно, и = Й/12яг). Подставляя это в (59.1), находим окончательное решение поставленной задачи в виде ир= 1 — е гУ„.
Ье РЬЛ / 222 гЛ (59.2) где В1 и В2 радиусы кривизны. Расстояние же В от точки волновой поверхности с координатами Х, у, х до точки Р с координатами х, О, 0 есть уг/1 1 А 222'1 1 А В= (х — Х)'+у'+ет=х+ — — — — + — — — — . 2 х Л; 2 ~х Лг При выводе формулы (59.2) источник света предгюлагался, по существу, точечным, а самый свет строго монохроматическим.
Случай реального протяженного источника, испускающего немонохроматический свет, не нуждается, однако, в особом исследовании. Вследствие полной независимости (некогерентности) света, испускаемого различными точками источника, и некогерентности различных спектральных компонент испускаемого света суммарный результат дифракции сводится просто к сумме распределений интенсивности, получающихся от дифракции каждой из независимых компонент света. Применим формулу (59.2) для решения вопроса об изменении фазы при прохождении луча через точку его касания с каустикой (см.
конец 2 54). Выберем в качестве поверхности интегрирования в (59.2) какую-либо волновую поверхность и будем определять поле ир в точке Р, лежащей на некотором данном луче на расстоянии х от точки его пересечения с выбранной волновой поверхностью (эту точку выберем в качестве начала координат О, а в качестве плоскости ух в плоскость, касательную к волновой поверхности в точке О). При интегрировании в (59.2) существен только небольшой участок волновой поверхности вблизи точки О. Если плоскости ху и хе выбраны совпадающими с главными плоскостями кривизны волновой поверхности в точке О, то вблизи этой точки уравнение поверхности есть Д Х= — + —, 2Лг 2Лг 209 5 59 диФРАкция Вдоль волновой поверхности поле и можно считать постоянным; то же касается и множителя 1,1й. Поскольку мы интересуемся только изменением фазы волны, то коэффициент опускаем и пишем просто: ир — 1 Е дУ„ г„.
1 (59.3) Центры кривизны волновой поверхности лежат на рассматриваемом луче в точках х = Л1 и х = гь2; это и есть точки касания лучом обеих каустик. Пусть гс2 < Л1. При х < Л2 коэффициенты при з в показателях подынтегральных выражений в обоих интегралах положительны, и каждый из этих интегралов содержит множитель 1+ 1. Поэтому на участке луча до касания первой каустики имеем ир е™х. При Л2 < х < В1, т.е. на отрезке луча между двумя точками касания, интеграл по ду содержит множитель 1+ г, а интеграл по гЬ множитель 1 — г, так что их произведение вовсе не содержит г.
Таким образом, имеем здесь: ир — ге™х = е'~ьх х1 ), т.е. при прохождении луча вблизи первой каустики фаза дополнительно меняется на — и/2. Наконец, при х ) В1 имеем ир — е'"* = ейь* к), т.е. при прохождении вблизи второй каустики фаза еще раз меняется на — и/2. Задача Определить распределение интенсивности света вблизи точки касания луча скаустикой. Р е ш е н и е. Для решения задачи пользуемся формулой (59.2), производя в ней интегрирование по какой-либо волновой поверхности, достаточно удаленной от рассматриваемой точки Ь касания луча с каустикой. На рис. 10 аЬ есть сечение этой волновой поверхно- ! Р сти, а а Ь вЂ” сечение каустики; а Ь есть а эволюта кривой аЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
