II.-Теория-поля (1109679), страница 39
Текст из файла (страница 39)
т.е. максимумы обладают, в пределе, бесконечно малой шириной, а полная интенсивность света в и-м максимуме есть В эгп (ппа)гг) 1'* =1е— 2а п2 3. Определить распределение интенсивности по направлениям ври ди- фракции света, падающего в нормальном направлении на круглое отверстие радиуса а. Р е ш е н и е. Введем цилиндрические координаты х, г, тг с осью 2, проходящей через центр отверстия перпендикулярно к его плоскости. Оче- видно,что дифракция симметрична относительно оси г,так что вектор ц имеет лишь радиальную компоненту а, = а = йВ. Отсчитывая угол 22 от направления 11и интегрируя в (61.1) по плоскости отверстия, находим 22 и = ис / / е '2 гтг1гггг1т = 2пис / уе(аг) гг1т, е о о где,1е — функция Бесселя нулевого порядка. С помощью известной формулы уе(йг) г г1г = — 11(ад) Ч имеем отсюда ит = 11(аа), 2п.иоа Я и согласно (61.4) находим окончательно интенсивность света, дифрагировавшего в элемент телесного угла гго: ,1, (айВ) ггВ где 1е — полная интенсивность света, падающего на отверстие.
) Прн х ~ 0 функция в левой части равенства равна нулю, а согласно формулам, известным из теории рядов Фурье, г (Г(1"',*2 ) = 1121 Отсюда видно, что свойства этой функции действительно совпадают со свойствами В-функции (см. примеч. на с. 103). ГЛАВА Ч111 ПОЛЕ ДВИхК х'ЩИХСЯ ЗАРЯДОВ й 62. Запаздывающие потенциалы В гл. Ъ мы изучали постоянное поле, создаваемое покоящимися зарядами, а в гл. Ъ'1 — переменное поле, но в отсутствие зарядов. Теперь мы займемся изучением переменных полей при наличии произвольно движущихся зарядов.
Выведем уравнения, определяющие потенциалы поля, создаваемого движущимися зарядами. Это удобно сделать в четырехмерном виде, повторив произведенный в конце з 46 вывод с той лишь разницей, что надо использовать уравнения Максвелла (30.2) дА' 1 дх —, = О, т. е. — — + йг А = О, дх' с д1 (62. 1) получим дА' 4хч дхх дх" с й (62.2) Это и есть уравнение, определяющее потенциалы произвольного электромагнитного поля. В трехмерном виде оно записывается в виде двух уравнений для А и для у: АА 1дА сг д12 1 д~<р Ьсс —— с~ д1~ 4х. 3 (62.3) (62.4) Для постоянного поля они сводятся к уже известным нам урав- нениям (36.4) и (43.4), а для переменного поля без зарядов-- к однородным волновым уравнениям.
с отличной от нуля правой частью. Такая же правая часть по- явится и в уравнении (46.8), и после наложения на потенциалы условия Лоренца 222 ПОЛЕ ДВИ1К1 ЩИХСЯ ЗАРЯДОВ ГЛ. УП1 Решение неоднородных линейных уравнений (62.3), (62.4) может быть представлено, как известно, в виде суммы решения этих же уравнений без правой части и частного интеграла уравнений с правой частью. Для нахождения этого частного интеграла разделим все пространство на бесконечно малые участки и определим поле, создаваемое зарядом, находящимся в одном из таких элементов объема. Вследствие линейности уравнений истинное поле будет равно сумме полей, создаваемых всеми такими элементами. Заряд 14е в заданном элементе объема является, вообще говоря, функцией от времени.
Если выбрать начало координат в рассматриваемом элементе объема, то плотность заряда р = = де(1)О(К), где К вЂ” расстояние от начала координат. Таким образом, нам надо решить уравнение 1А11р — —, — ~ = — 4х 11е(1)О(К). (62.5) Везде, кроме начала координат, б(К) = О, и мы имеем уравнение (62.6) Очевидно, что в рассматриваемом случае 1р обладает центральной симметрией, т.е. есть функция только от В. Поэтому, если написать оператор Лапласа в сферических координатах, то (62.6) приобретет вид 1 д2 Для решения этого уравнения сделаем подстановку 1р = 1~(Л,1)/В.
Тогда для 2Г мы получим д'х 1 д'х дй2 с2 д12 Но это есть уравнение плоских волн, решение которого имеет вид (см. з47) Х=Л( --')+Ь(1+-") Поскольку мы ищем только частный интеграл уравнения, то достаточно взять только одну из функций уг и ~з. Обычно бывает удобным выбирать ~з = 0 (см. об этом ниже). Тогда потенциал 1д везде, кроме начала координат, имеет вид Х11 — й/Г) 'Р = (62.7) 223 ЗАПАЗДЫВАЮ1ЦИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ Функция т в этом равенстве пока произвольна; выберем ее теперь так, чтобы получить верное значение для потенциала также и в начале координат.
Иначе говоря, мы должны подобрать 1с так, чтобы в начале координат удовлетворялось уравнение (62.5). Это легко сделать, заметив, что при  — » 0 сам потенциал стремится к бесконечности, а потому его производные по координатам растут быстрее, чем производные 1ю времени. Следовательно, 1 д~у при  — » 0 в уравнении (62.5) можно пренебречь членом— с2 д12 по сравнению с Ь~р. Тогда оно переходит в известное уже нам уравнение (36.9), приводящее к закону Кулона. Таким образом, вблизи начала координат формула (62.7) должна переходить в закон Кулона, откуда следует, что С(1) = с1е(с), т. е. Отсюда легко перейти к решению уравнения (62.4) для произвольного распределения зарядов р(х,у,г,с).
Для этого достаточно написать 11е = рсЛ' (1Л' †элеме объема) и проинтегрировать по всему пространству. К полученному таким образом решению неоднородного уравнения (62.4) можно прибавить еще решение уо этого же уравнения без правой части. Таким образом, общее решение имеет вид у(г,1) = с — р~ г,1 — — ~ 1Л' + 1ро, 11 /1 Н1 1 с (62.8) Н. = г — г', 1Л" = 11х'с1у'сЬ', ~ сЛ'+1ро, (62.9) где индекс показывает, что значение р надо брать в момент времени 1 — В,1с, а штрих у сЛТ опущен. Аналогичным образом имеем для векторного потенциала: А = — ' "~' сЛ'+ Ао, (62.10) где Ао — решение уравнения (62.3) без правой части. где г = (х,у, е), г' = (х',у', е'); В есть расстояние от элемента объема сЛТ' до «точки наблюдения», в которой мы ищем значение потенциала.
Мы будем писать это выражение коротко в виде 224 ПОЛЕ ДВИ1К1 ЩИХСЯ ЗАРЯДОВ ГЛ. УП1 Выражения (62.9), (62.10) (без 1ро и Ао) называются запаздывающими потенциалами. В случае неподвижных зарядов (т.е. не зависящей от времени плотности р) формула (62.9) переходит в известную уже нам формулу (36.8) для потенциала электростатического поля; формула же (62.10) в случае стационарного движения зарядов переходит (после усреднения) в формулу (43.5) для векторного потенциала постоянного магнитного поля.
Величины 1ро и Ао в (62.9), (62.10) определяются так, чтобы удовлетворить условиям задачи. Для этого, очевидно, было бы достаточно задать начальные условия, т.е. поле в начальный момент времени. Однако с такими начальными условиями обычно не приходится иметь дела. Вместо этого задаются условия на больших расстояниях от системы зарядов в течение всего времени.
Именно, задается падающее на систему внешнее излучение. Соответственно этому поле, возникающее в результате взаимодействия этого излучения с системой, может отличаться от внешнего поля только излучением, исходящим от системы. Такое исходящее от системы излучение на больших расстояниях должно иметь вид волны, распространяющейся по направлению от системы, т. е. в направлении возрастающих В. Но этому условию удовлетворяют именно запаздывающие потенциалы. Таким образом, последние представляют собой поле, исходящее от системы, а 1Ро и Ао наДо отожДествить с внешним полем, ДействУющим на систему. й 63. Потенциалы Лиенара — Вихерта Определим потенциалы поля, создаваемого одним точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории г = го(Г).
Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения Р(х, р, е) в момент времени 1 определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени 1, для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда го(1') в точку наблюдения Р как раз совпадает с разностью 1 — 1'.
Пусть К(1) = г — го(1) — радиус-вектор от заряда е в точку Р; вместе с го(Г) он является заданной функцией времени. Тогда момент г' определяется уравнением (63.1) с 225 потенциАлгялиенАРА.ВихеРтА Для каждого значения 1 зто уравнение имеет всего один корень 1' ') . В системе отсчета, в которой в момент времени 1' частица покоится, поле в точке наблюдения в момент 1 дается просто кулоновским потенциалом, т.е. сэ= —,, А=О. й(1') ' (63.2) Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой 4-вектор, который бы при скорости ч = 0 давал для 1р и А значения (63.2).
Замечая, что согласно (63.1) 1р из (63.2) можно написать также и в виде с(1 — Г ) находим, что искомый 4-вектор есть (63.3) А' = е Льи где и" — 4-скорость заряда, а 4-вектор )11" = ~с(1 — 1'), г — г'], причем х', у', л', 1' связаны друг с другом соотношением (63.1); последнее может быть записано в инвариантном виде как (63.4) Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, получим для потенциалов поля, создаваемого произвольно движушимся точечным зарядом, следующие выражения: 1п =, А =, (63.5) ( — ий.,~с) ' с(Л вЂ” РЩс) ' где К радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку наблюдения Р, и все величины в правые частях ') Это обстоятельство довольно очевидно само по себе, но в его справедливости можно убедиться и непосредственно.
Для этого выберем точку наблюдения Р и момент наблюдения 1 в качестве начала О четырехмерной системы координат и построим световой конус Я 2) с вершиной в О. Нижняя полость этого конуса, охватывающая область абсолютно прошедшего (по отношению к событию О), представляет собой геометрическое место мировых точек, таких, что посланный из них сигнал достигнет точки О. Точки же, в которых эта гиперповерхность пересекается мировой линией движения заряда, как раз и соответствуют корням уравнения (б3.1). Но поскольку скорость частицы всегда меньше скорости света, то ее мировая линия имеет везде меньший наклон к оси времени, чем наклон светового конуса. Отсюда и следует, что мировая линия частицы может пересечь нижнюю полость светового конуса только в одной точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
