II.-Теория-поля (1109679), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Р.О Сапаг1. 3. Рйуз. 1980. Ъ'. 58. Р. 1659). Выбрав какой-либо один из зарядов системы, мы определим потенциалы поля, создаваемого всеми остальными зарядами в точке, где находится первый, и выразим их через координаты и скорости зарядов, создающих это поле (как раз это можно сделать только приближенно: ьо с точностью до членов порядка П2ььс2, а А до членов порядка и/с). Подставляя полученные таким образом выражения для потенциалов в (65.2), мы получим функцию Лагранжа для одного из зарядов системы (при данном движении остальных). Отсюда уже без труда можно найти Ь для всей системы. Будем исходить из выражений для запаздывающих потенциалов: 232 ГЛ.
РШ ПОЛЕ ДВИ1КЪ 1ЦНХОЯ ЗАРЯДОВ с/ тс (65.4) (мы подставили 3 = рч). Предположим сначала, что поле создается всего одним точечным зарядом е. Тогда имеем из (65.3), (65.4)1 е Р д!1 ев У= В+22 дз где  †расстоян от заряда. Выберем вместо 1с и А другие потенциалы 1с' и А', т.е.произведем калибровочное преобразование (см. 6 18)! !р = !!з — — —, А = А+ ягаг)/, ! 1дУ ! с дФ причем в качестве / выберем функцию е д!т У= — —. 2с д1 Тогда мы получим') А = — + — т7 —.
! еев е д!т сй 2с д1 ! е л' ) Эти потенциалы уже не удовлетворяют условию Лоренца (62.1), а потому и уравнениям (62.3), (62.4). За ВрЕМя )т/С. ПОЭтОМу МЫ МОЖЕМ раЗЛОжИтЬ рс Л/с И 3! — Л/с В ряд по степеням )т/с. Для скалярного потенциала находим, таким образом, с точностью до членов второго порядка: , = /' /',(Л1,, ('В,(Л1 ГрЛ; 1д 1 д' „1 й дг / 2се д1г / 1р без индексов есть р в момент времени 1; знаки дифференцирования по времени могут, очевидно, быть вынесены из-под знака интеграла). Но ) р 111! есть постоянный полный заряд системы.
Поэтому второй член в полученном выражении равен нулю, так что д2 Г (65.3) 2сз д11 Аналогично можно поступить с А. Но выражение для векторного потенциала через плотность тока содержит уже само по себе 1/с, а при подстановке в функцию Лагранжа умножается еще раз на 1/с. Поскольку мы ищем функцию Лагранжа только с точностью до членов второго порядка, .то в разложении А достаточно ограничиться только первым членом, т.
е. Ь 65 ачнкция ЛАГРАН1КА О ТОННООТЬ1О ДО 1ЛЕНОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 233 еч е А = — + — и. сй 2с Далее пишем: д (К) й. Влг Но производная ее при заданной точке наблюдения есть скорость ч заряда, а производную тт легко определить, дифференцируя тождество Л = К, т. е. написав Таким образом, — ч+ п(пч) и В Подставляя это в выражение для А', находим окончательно: е, е)ч+ (чп)п] й 2сй (65.6) Если поле создается не одним, а несколькими зарядами, то надо, очевидно, просуммировать эти выражения по всем зарядам. Подставляя их затем в (65.2), найдем функцию Лагранжа Ь, заряда е (при заданном движении всех остальных зарядов).
При этом нужно первый член в (65.2) тоже разложить по степеням н 11с, оставляя члены до второго порядка. Таким образом, мы находим г 4 — 1 Ь еь + г,~ ~1ЧаЧЬ + (ЧаиаЬ)(ЧЪИВЬ)] ь (суммирование производится по всем зарядам, за исключением е; и ь--единичный вектор в направлении между еь и е ). Отсюда уже не представляет труда найти функцию Лагранжа для всей системы. Легко сообразить, что эта функция равна дЛ д Для вычисления А' заметим, что '7 — = — ~7Л.
Операция т7 дЬ дЬ означает здесь дифференцирование по координатам точки наблюдения, в которой ищется значение А'. Поэтому градиент 17Л равен единичному вектору и, направленному от заряда е к точке наблюдения, так что 234 ПОЛЕ ДВИькь 1ЦИХСЯ ЗАРЯДОВ ГЛ. УП1 не сумме 1 для всех зарядов, а имеет вид '=Е;"'+Е™;; -Е". + а а а>6 +,Ь 1 ]тгатгЬ + (Х1анаь)(хгьнаЬ)] (55 7) а>Ь Действительно, для каждого из зарядов при заданном движении всех остальных эта функция Т переходит в приведенную выше Т .
Выражение (65.7) есть искомая функция Лагранжа системы зарядов с точностью до членов второго порядка (С. С. Ваггоьп, 1922). Наконец, определим еще функцию Гамильтона системы зарядов в том же приближении. Это можно было бы сделать по общим правилам нахождения Ж по Т; однако проще поступить следующим образом. Второй и четвертый члены в (55.7) представляют собой малую поправку к Т ® (65.1). С другой стороны, из механики известно, что при небольшом изменении Т и Ж малые добавки к ним равны по величине и противоположны по знаку (причем изменение Т рассматривается при заданных координатах и скоростях, а изменение Ж--при заданных координатах и импульсах; см.1, 240).
Поэтому мы можем сразу написать РЬ', вычтя из ~~,(еь ~ р + ~~-~ че,еь 2т Вь а а>6 те же второй и четвертый члены из (65.7), предварительно заменив в них скорости на импульсы с помощью соотногпений первого приближения ть, = р,/т . Таким образом, ~раРЬ + (Ранаь)(РЬПЕЬ)] (55 8) 2с ГаагаьЛ ь а>6 Задачи 1.
Определить (с точностью до членов второго порядка) центр инерции системы взаимодействующих частиц. Р е ш е н и е. Наиболее просто задача решается с помощью формулы ~:~...+) Иг,16 е", + ) И'1Л' 1 66 ььтнкция ллгглнжл с точностью до члкнов втогого погядкл 235 (ср. (14.6)), где 4' — кинетическая энергия частицы (включая ее энергию покоя), а И' — плотность энергии создаваемого частицами поля.
Поскольку 4" содержат большие величины т с, то для получения следующего прнбли- 2 жения достаточно учесть в 4 и И лишь члены, не содержащие с, т. е. нерелятивистскую кинетическую энергию частиц и энергию электростатического поля. Имеем ИгггЛг = — 11 Я гНЪ' = — 11 ('7ьс) ггдг = =Г' =Г' Вк l Вк,/ = — 1 ~сй' т — 1г — — 1 т — г1Ъ' — — ~1 грГьгр ггЬ'; Вк,/ 2 Вк,/ 2 Вк l интеграл по бесконечно удаленной поверхности исчезает, второй интеграл также преобразуется в поверхностный и тоже исчезает, а в третьем подставляем Ьсг = — 4кр и получаем 1 Г 1 ИггЛг = — / рЬсгг11г = — ~ ~е ьь,г„ 2l 2 где Эг потенциал, создаваемый и точке г всеми зарядами, за исключением е ).
Окончательно находим Н= — ~ .( ..'+ ", — "~ — ") 4' 2т 2 В ь (суммирование по всем 8, кроме б = а), где 4'=~(т,с + -~-~ ) >ь — полная энергия системы. Таким образом, в рассматриваемом приближении координаты центра инерции действительно могут быть выражены через величины, относящиеся только к самим частицам. 2. Написать функцию Гамильтона во втором приближении для системы из двух частиц, исключив из нее движение системы как целого. Р е ш е н и е. Выбираем систему отсчета, в которой сумма импульсов обеих частиц равна нулю.
Написав импульсы как производные от действия, имеем аЯ а8 рг т рз = — -~- — = О. дгг дг Отсюда видно, что в рассматриваемой системе огсчета действие является функцией разности г = гэ — гь радиус-векторов обеих частиц. Поэтому имеем рз = — рг = р, где р = дя,Гдг есть импульс относительного движения частиц. Функция Гамильтона равна ( ) 2 ( 3 э) 2 ~р (р ) 2 ть тз г Вес тзг т3 2тгттс~г ) Исключение собственного поля частиц соответствует упомянутой в примеч, на с. 130 ьперенормировкеь масс. ГЛАВА 1Х ИЗЛУх1БНИБ ЭЛБКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 8 66. Поле системы зарядов на далеких расстояниях Л = )Ко — г) = Ло — пг. Подставим это в формулы (62.9), (62.10) для запаздывающих потенциалов.
В знаменателе подынтегральных выражений можно пренебречь гп по сравнению с Ло. В аргументе же ~ — Л/с этого пренебрежения, вообще говоря, сделать нельзя; возможность такого пренебрежения определяется здесь не относительной величиной Ло/с и гп/с, а тем, насколько меняются сами р и 1 за время гп/с. Учитывая, что при интегрировании Ло является постоянной и потому может быть вынесено за знак интеграла, находим для потенциалов поля на большом расстоянии от системы зарядов следующие выражения: 1 ~р = ( Р~ — Но(с-~-тп!свг~ па г.
А = — ~ 1, .н,~,~.,„1,4К сК> / (66.1) (66.2) На достаточно больших расстояниях от системы поле в малых участках пространства можно рассматривать как плоскую волну. Для этого надо, чтобы расстояния были велики не только по сравнению с размерами системы, но и по сравнению с длиной излучаемых системой электромагнитных волн. Об этой области поля говорят как о волновой зоне излучения. Рассмотрим поле, создаваемое системой движущихся зарядов на расстояниях, больших по сравнению с ее собственными размерами. Выберем начало координат О где-либо внутри системы зарядов.
Радиус-вектор из О в точку наблюдения поля Р обозначим через Ко, а единичный вектор в этом направлении через п. Радиус-вектор элемента заряда пе = рп"г' пусть будет г, а радиус-вектор от де в точку Р обозначим как К; очевидно, что К. = К.о — г. На больших расстояниях от системы Ло » г и приближенно имеем 1 66 ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ 237 Н = -[Аи], Е = -[[Аи]и].
[66.3) Отметим, что поле на далеких расстояниях оказывается обратно пропорциональным первой степени расстояния Ло от излучающей системы. Следует также заметить, что время 1 входит в выражения [66.1) — (66.3) везде в комбинации 1 — Ле/с с расстоянием Ле. Для излучения, создаваемого одним произвольно движущимся точечным зарядом, бывает удобно пользоваться потенциалами Лиенара — Вихерта.
На далеких расстояниях можно заменить в формуле (63.5) переменный радиус-вектор К постоянной величиной Во, а в условии [63.1), определяющем 1', надо положить Л = ЛΠ— геи [ге(1) — радиус-вектор заряда). Таким образом'), еч(1 ) пч($') ) ' [66.4) где 1~ определяется из равенства 1 — — го[с )и = 1 — —. с с (66.5) Излучаемые системой электромагнитные волны уносят с собой определенную энергию.
Поток энергии дается вектором Пойнтинга, равным в плоской волне Лз Б = с — и. 4я ) Эту формулу легко проверить в данном случае также и непосредственным вычислением ротора выражения (66.2), причем члены с 1/В~~ должны быть отброшены по сравнению с членом 1/Во. ) Формула Е = — А,~с (см. (47.3)) здесь неприменима, так как потенциалы 1с, А не удовлетворяют тем дополнительным условиям, которые были наложены на них в 6 47. ) В формуле (63.8) для электрического поля рассматриваемому приближению соответствует пренебрежение первым членом по сравнению со вторым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
