II.-Теория-поля (1109679), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В первом случае роль и играет полный дипольный момент ротатора, а во втором случае — проекция дипольного момента волчка на плоскость, перпендикулярную к оси его прецессии (т.е. направлению полного момента вращения). 244 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Ввиду монохроматичности этих функций излучение тоже монохроматично с частотой ы = П. По формуле (67.7) найдем для углового распределения среднего (по периоду вращения) излучения: онз П4 111 = я (1+ соа д) бо, бхс где д — угол между направлением п излучения и осью к Полное излучение — 211едй~ Зс Поляризация излучения определяется направлением вектора (41п) = ьн~(п41].
Проецируя его на направления в плоскости пя и перпендикулярно к ней, найдем, что излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин полуосей, равным и, = сояд;в частности, излучение в направлении оси я поляризовано по кругу. 2. Определить угловое распределение излучения движущейся как целое (со скоростью ч) системой зарядов, если известно распределение в системе отсчета, в которой система как целое покоится. Р е ш е н и е.
Пусть 411' = /(соя В', 1н') бо', 11о' = б(соя В') йр' есть интенсивность излучения в системе отсчета К, связанной с движущейся системой зарядов (В~, 1р~ — углы сферических координат с полярной осью вдоль направления движения системы). Излучаемая в течение времени 141 в неподвижной (лабораторной) системе отсчета К энергия 444 связана с излучением энергии ббл в системе К' формулой преобразования бб' — Ъ' бР 1 — (И/с) соя В (импульс излучения, распространяющегося в заданном направлении, связан с его энергией соотношением ~ВР~ = 1(е /с).
Полярные углы В, В~ направления излучения в системах К и К' связаны формулами (5.6) (азимуты 1р = 1р'). Н, 4' К' 4 = 4Р1 'à — КЧН в системе К. В результате для интенсивности 41 = (114В/Ж) 41о в системе К найдем (1 — Ъ'и/с ) / соя — 1к/с (1 — (ч'/с) соя В)Я 4,1 — (1к/с) соя В,/ 'как, для диполя, движущегося в направлении своей оси, / = сопя1 ° Гйп В~, и с помощью полученной формулы находим 111 = сопя1 „41о. (1 — (И/с) соя В)" $ 68.
Дипольное излучение при столкновениях В задачах об излучении при столкновениях (его называют Гпормозным излучением) редко представляет интерес излучение, сопровождающее столкновение двух частиц, движущихся дипОльнОе излу 1ение пги стОлкнОвениях 245 э 68 по определенным траекториям. Обычно приходится рассматривать рассеяние целого пучка параллельно движущихся частиц, и задача состоит в определении полного излучения, отнесенного к единице плотности потока частиц. Если плотность потока частиц в пучке равна единице (т.
е. в единипу времени через единицу площади сечения пучка проходит одна частица), то число частиц в пучке, имеющих чприцельное расстояние» между р и р+11р, равно 21гр 11р (площадь кольца, ограниченного окружностями радиусов р и р + др). Поэтому искомое полное излучение получится умножением полного излучения Ье одной частицы (с заданным значением прицельного расстояния) на 2яр 61р и интегрированием по 11р от 0 до оо. Определенная таким образом величина имеет размерность произведения энергии на площадь. Мы будем называть ее эффективным излучением и будем обозначать буквой»г1): (68.1) »г= ЬО' 2яр11р. о Аналогичным образом можно определить эффективное излучение в определенный элемент 1»о телесного угла, в определенном интервале пго частот--п') .
Выведем обшую формулу, определяющую угловое распределение излучения при рассеянии пучка частиц в центрально- симметричном поле, предполагая излучение дипольным. Интенсивность излучения (в каждый момент времени) отдельной частицей определяется формулой (67.7), в которой с1 есть дипольный момент частицы относительно рассеивающего центра') . Прежде всего усредняем это выражение по всем направлениям вектора с1 в плоскости поперечного сечения пучка. Поскольку ~снап)~ = стз — (пс1), то усреднению подлежит лишь величина (пд)~. В силу центральной симметрии рассеивающего поля и параллельности падающего пучка частиц рассеяние (а вместе с ним и излучение) обладает аксиальной симметрией 1 ) Отношение и к энергии излучающей системы называют сечением потери энергии на излучение.
г ) Если интегрируемое выражение зависит от угла, под которым расположена проекция дипольного момента частицы в плоскости поперечного сечения потока, то оно должно быть предварительно усреднено по всем направлениям в этой плоскости и лишь затем умножено на 2ярор и проинтЕгрировано. )Фактически обычно речь идет о дипольном моменте двух частиц рассеиваемой и рассеивающей — относительно их общего центра инерции. 246 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ.
1Х относительно оси, проходящей через центр. Выберем эту ось в качестве оси х. Из соображений симметрии очевидно, что пер- вые степени 11ю 11, НРи УсРеДнении Дают нУль, а посколькУ и: усреднением не затрагивается, то г.д'„= Ы.А = О. Средние же значения от д„и 11, равны друг другу, так что "2 "2 '12 12 1 [ ']2 )2 ) Имея все это в виду, без труда найдем [Йп]2 = -(Й + и'. ) + -(Г1 — Зд ) соз О, 4В ( З ' — 1) НРГВ = 4есз 2 (68.2) где А / г~й(И 2хрйр, В = — (с]~ — 31~0) ГИ2тгрйр З4 У З4 о- (68.3) Второй член в (68.2) написан в таком виде, чтобы давать нуль при усреднении по всем направлениям, так что полное эффективное излучение АГ = А/сз.
Обратим внимание на то, что угловое распределение излучения симметрично относительно плоскости, проходящей через рассеивающий центр перпендикулярно к пучку выражение (68.2) не меняется при замене В на х — д. Это свойство специфично для дипольного излучения и теряется при переходе к более высоким приближениям по о/с. Интенсивность тормозного излучения можно разделить на две части: интенсивность излучения, поляризованного в плоскости испускания, проходящей через ось х и направление и (назовем ее плоскостью ху),и интенсивность излучения,поляризованного в перпендикулярной плоскости хе. Вектор электрического поля имеет направление вектора ~п[по]~ = п(пй) — Й где д — угол между направлением и излучения и осью л. Интегрируя интенсивность по времени и по всем прицельным расстояниям, получим следующее окончательное выражение, определяющее эффективное излучение в зависимости от направления: 247 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛЕЧЕНИЕ МАЛЫХ ЧАОТОТ (см.
(67.6)). Компонента этого вектора в направлении, перпендикулярном к плоскости ху, есть — Н„а проекция на плоскость ху равна ~япд д — совд с~у~ (последнюю удобнее определить по равной ей е-компоненте магнитного поля, имеющего направление ~с1п)).
Возводя Е в квадрат и усредняя по всем направлениям вектора Й в плоскости уе, мы прежде всего видим, что произведение проекций поля на плоскость ху и перпендикулярно к ней обращается в нуль. Это значит, что интенсивность действительно может быть представлена в виде суммы двух независимых частей: интенсивностей излучения, поляризованного в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Интенсивность излучения с электрическим вектором, перпендикулярным к плоскости ху, определяется средним квадратом 2 Г 2 от д, = — (Й вЂ” д,). Для соответствующей части эффективного излучения получим выражение с~и„= —, — / (с1~ с~д) Ж 2яр йр.
(68.4) 4хс 2~ оОтметим, что эта часть излучения оказывается изотропной по направлениям. Выписывать выражение для эффективного излучения с направлением электрического поля в плоскости ху нет необходимости, так как очевидно, что д~~и + ~Ьс„= дАТН. Аналогичным образом можно получить выражение для углового распределения эффективного излучения в определенном интервале частот: ~Кипи = з ~А(ы) + В(Ц 1 —, (68.5) де А(ы) = — ~442ярйр, В(ы) = — (д~ — Зс~й )2хрйр.
(68.6) $ 69. Тормозное излучение малых частот Рассмотрим низкочастотный «хвост» спектрального распределения тормозного излучения: область частот, малых по сравнению с той частотой (обозначим ее через ыо), в области которой 248 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х сосредоточена основная часть излучения: (69.1) В1 « ыо. При этом мы не будем предполагать скорости сталкивающихся частиц малыми по сравнению со скоростью света, как это делалось в предыдущем параграфе; следующие ниже формулы справедливы при произвольных скоростях. В нерелятивистском случае 1со )~т, где т — порядок величины продолжительности столкновения; в ультрарелятивистском случае 1со пропорциональна квадрату энергии излучающей частицы (см.
ниже ~ 77). В интеграле Н,„= Не'~~И поле излучения Н заметно отлично от нуля только в течение промежутка времени порядка 1/1со. Поэтому при соблюдении условия (69.1) мы можем считать, что под интегралом 1с1 « 1, так что можно заменить е' единицей; тогда Н = Н11Г. Н = — [(Аз — А1)п], (69.2) где Аг — А1 — изменение векторного потенциала поля, создаваемого сталкивающимися частицами, за время столкновения. Полное излучение (с частотой 1с) за время столкновения получится подстановкой (69.2) в (66.9): 114' = —, [(Аз — А1)п] до 1йс. 4сх~ (69.3) Для векторного потенциала можно воспользоваться его выраже- нием в форме Лиенара — Вихерта (66.4), и мы получим 4х~с (~-' '1 1 — (1/с)пес 1 — (1/с)нъ1 ! 1 где чг и чз — скорости частицы до и после рассеяния, а сумма Подставляя сюда Н = [Ап]/с и производя интегрирование по времени, получим 249 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ МАЛЫХ ЧАОТОТ берется по обеим сталкивающимся частицам.
Обратим внимание на то, что коэффициент при г1пг оказывается не зависящим от частоты. Другими словами, при малых частотах (условие (69.1)) спектральное распределение излучения не зависит от частоты, т. е. гЮ„м/г4ог стремится к постоянному пределу при о» вЂ” + 0') . Если скорости сталкивающихся частиц малы по сравнению со скоростью света, то (69.4) переходит в 1 / »2 гаям =,, ~ ~ е~ч2 — чпн)) дог1о».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
