II.-Теория-поля (1109679), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Последние не дают вклада в суммарную силу отдачи: сумма сил (75.5), действующих на частицы электрически нейтральной снсхемы, равна нулю. 263 ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА БЛИЗКИХ РАССТОЯНИЯХ йУА+ — — = О, 1 д~р с д1 наложенного на потенциалы. Подставляя в него (72.1) и интегрируя по времени, найдем 1Р = — с11У вЂ”. Й (72.2) Ло Постоянную интегрирования (произвольную функцию координат) мы не пишем, так как нас интересует только переменная часть гютенциала. Напомним, что в формуле (72.2), как и в (72.1), значение с1 должно браться в момент времени 1' = 1— — Ло/с') . Теперь уже не представляет труда вычислить электрическое и магнитное поле. По обычным формулам, связывающим Ж и Н с потенциалами, находим 1 11 Н = -го1 —, с Ло' (72.3) Е = кгад г11у — — —, —.
д 111 (72.4) Ло с' Ла' Выражение для Е можно переписать в другом виде, заметив, что Йг /Ло, как и всякая функция координат и времени вида — '~('- —.) удовлетворяет волновому уравнению 1д'а д с'дгг Л Ло ) Иногда вводят так называемый вектор Герца, определяемый как Е = — — д(1- — ). 1 Ло Ло с Тогда А = — — Е, 1Г = 111у Е. 1. с по-прежнему остается в силе, так как для ее вывода было использовано лишь то, что 1то велико по сравнению с размерами системы.
Однако поле нельзя рассматривать теперь, даже в небольших участках, как плоскую волну. Поэтому формулы (67.5) и (67.6) для электрического и магнитного полей уже неприменимы, и для их вычисления надо определить предварительно как А, так И 1Р. Формулу для скалярного потенциала можно получить из выражения для А непосредственно с помощью общего условия (62.1) 264 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Воспользовавшись также известной формулой го1 го$ а = 6гас) г))е а — Ьа, найдем, что 11 Е = го$ го1 —. ЛО (72.5) л — и«(1 — ЛВ/с) 1 — и«1-Р1ИЬЛВ «1«, Е = 1А„,Е Производя подстановку и сокращая на е ' ~, найдем Н = — гй го$ (Ʉ— ) = гй [6~~7 — ~, или, произведя дифференцирование, Н,„= гй[«1 и]( — — —,)е™, (72.6) где и — единичный вектор в направлении Нс.
Аналогичным образом из (72.4) найдем Е = й2«1 + (с1 T)т Ла Ла или, произведя дифференцирование, (72.7) На расстояниях, болыпих по сравнению с длиной волны (йЛО » 1), в формулах (72.6), (72.7) можно пренебречь членами с 1/Ло2 и 1/Л~с, и мы возвращаемся к полю «волновой зоны»: Е = — 1п~д п]]е'~л«, Н = — — ~«1 п]е'~л«.
ЛВ м ™ Ло Полученные формулы определяют поле на расстояниях, сравнимых с длиной волны. Во всех этих формулах нельзя, разумеется, выносить 1/Лс из-под знака дифференцирования по координатам, так как отношение членов, содержащих 1/Ле, к членам 2 с 1/Ло как раз порядка величины Л/Ло. Наконец, напишем формулы для фурье-компонент поля. Для определения Нэ подставляем в формулу (72.3) вместо Н и «1 их монохроматические составляющие, т.е. соответственно Ные ™ и «1ые л. Надо, однако, помнить, что величины в правой части равенств 172.1Н72.5)) берутся в момент времени Ф' = 1 — Ло/с. Поэтому мы должны подставить для «1 выражение 265 ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА БЛИЗКИХ РАССТОЯНИЯХ На расстояниях же, малых по сравнению с длиной волны ()сВо « 1), пренебрегаем членами с 1/Вд и 1/ВО2 и полагаем ег Ле — 1; тогда Е = —,(Зп(11 и) — С1 1, что соответствует статическому дипольному электрическому полю 1240); магнитное поле в этом приближении, естественно, отсутствует.
Задачи 1. Определить потенциалы поля квадрупольного и магнитно-диполыюго излучений на близких расстояниях. Р е ш е н и е. Предполагая, для краткости, что дипольное излучение вообще отсутствует, имеем (ср. вычисления, произведенные в 171): l'. Ю' 1 Г 11-Е,1. А= '„, е,, - ~'(гу) — а.,Д,. ./ -'Л ./ Л. где разложение подынтегрального выражения производится по степеням г = = Вс — В..
В противоположность тому, что мы делали в 1 71, множитель 1/Ле нельзя выносить теперь из-под знака дифференцирования. Выносим последний из-под знака интеграла и переписываем формулу в тензорных обозначениях: А = — — ~ А" сдХЕ / Ле (Хэ обозначают компоненты радиус-вектора Не) Переходя от интеграла к сумме по зарядам, находим 1 д (~ ес„тэ)1 дХ, Л. Тем же способом, что и в 171, это выражение разделяется на квадрупольную и магнитно-дипольную части.
Соответствующие скалярные потенциалы вычисляются по векторному потенциалу подобно тому, как это сделано в тексте. В результате получаем для квадрупольного излучения: А 1 д В-Ф 1 д' В-В бсдХБ Ла 6дХ дХЛ Ле и для магнитно-дипольного излучения: А=гоС вЂ”, Со=О ш Ле (все величины в правых частях равенства берутся, как обычно, в момент времени С' = С вЂ” Ле/с). Напряженности поля магнитно-дипольного излучения: 1 т ш Е = — — гоС вЂ”, Н = гоС гоС вЂ”. с Ле' Ле' Сравнивая с (72.3), 172.б), мы видим, что Н и Е в магнитно-дипольном случае выражаются через т так же, как соответственно Е и — Н выражаются через Й в электрическом дипольном случае.
266 ИЭЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Спектральные компоненты потенциалов квадрупольного излучения: ~г г гЪ 1 1 д е'" ' г г 1 г г д е'" ' 6 ЕдХЕ Ве 6 ЕдХ дХЕ Ве Выражения для поля мы не выписываем здесь ввиду их громоздкости. 2. Найти скорость потери момента импульса системой зарядов при дипольном излучении ею электромагнитных волн. Р е ш е н и е. Согласно (32.9) плотность потока момента электромагнитного поля дается пространственными компонентами 4-тензора х*У" — х" Тг'. Переходя к трехмерным обозначениям, вводим трехмерный вектор момента с компонентами е е Метгг2; плотность его потока дается грехмерным тензором 1 2 — — е„е„(хеотг — хтнгм) = — е етхеотг, где о Е = — Т ~ — трехмерный максвелловский тензор напряжений (а все индексы пишем внизу соответственно трехмерным обозначениям).
Полный момент, теряемый системой в единипу времени, равен потоку момента поля излучения через сферическую поверхность радиуса Ве: 11М Ж = ~ е„етхентгпг г)7, где г(7' = В~~1(о, а п единичный вектор в направлении В.е. С тензором о„е из (33.3) получим 11М В б = — / ([НК)(НК) -> (НН)(пН) ) г(о. (1) Ж 4х Применяя эту формулу к полю излучения на больших расстояниях от системы, нельзя, однако, ограничиться членами 1ггВс, в этом прибли- жении пК = пН = О, так что подынтегральное выражение обращается в нуль. Эти члены (даваемые (67.5), (67.6) достаточны лишь для вычис- ления множителей (пЕ) и (пН]; продольные же компоненты полей пЕ и пН возникают от членов 1ггВе (в результате подынтегральное выражение 2 в (1) становится 11В3, и расстояние Ве, как и следовало, выпадает из ответа).
В дипольном приближении длина волны Л РР а, и надо различать члены, содержащие (по сравнению с (67.5), (67.6) лишний множитель ЛгВо или аггВо, достаточно оставить лишь первые. Именно зти члены можно получить из (72.3) и (72.5); вычисление с точностью до второго порядка по 11Ве дает ') 1 Еп= п11, Ни=О. 2 (2) сВе Подставив (2) и (67.6) в (1), получим г(М 1 Р— — ( (псЦпбдо. ж г/ наконец, написав подынтегральное выражение в виде е е пег) пгг(э и усреднив по направлениям п, найдем окончательно: 0М 2 = — — (1Ы). 41 3сз 1 ) Отличное от нуля значение Нп получилось бы лишь при учете членов высшего порядка по а,1Ве.
267 1 73 излучение выстРО движущегося 3АРядА Отметим, что для линейного осциллятора (д = 11с сов ггг с вещественной амплитудой до) выражение (3) обращается в нуль: потери момента при излучении не происходит. 3 73. Излучение быстро движущегося заряда Рассмотрим теперь заряженную частипу, движущуюся со скоростью не малой по сравнению со скоростью света. Формулы 267, выведенные в предположении н « с, неприменимы к этому случаю непосредственно.
Мы можем, однако, рассматривать частиву в той системе отсчета, в которой она в данный момент покоится; в этой системе отсчета упомянутые формулы, очевидно, применимы (обращаем внимание на то, что это возможно сделать лишь в случае одной движущейся частицы; для нескольких частиц не существует, вообще говоря, системы отсчета, в которой бы все они одновременно покоились). Таким образом, в указанной системе отсчета частица излучает в течение времени г17 энергию 2 г г1о' = —,гойе (73.1) Зс (согласно формуле (67.9)), где иг — ускорение частицы в этой же системе.
Полный же излучаемый ею импульс в рассматриваемой системе отсчета равен нулю дР = О. (73.2) Действительно, излучение импульса определяется как интеграл от плотности потока импульса в поле излучения по замкнутой поверхности, охватывающей частипу. Но в силу свойств симметрии дипольного излучения импульсы, уносимые в противоположных направлениях, одинаковы по величине и противоположны по направлению; поэтому указанный интеграл обращается тождественно в нуль.
Для перехода к произвольной системе отсчета перепишем формулы (73.1) и (73.2) в четырехмерном виде. Легко видеть, что «излучение 4-импульса» с1Р' должно быть записано как 2е йиь Е1ие 1 2е йи" 11иь г1Р' = — — — — 11е' = — — — — и'сЬ. (73.3) Зс да ое Зс де йв Действительно, в системе отсчета, в которой частица покоится, пространственные компоненты 4-скорости и' равны нулю, йи 1гиг Ю а — — ~ = — А, поэтому пространственные компоненты сгР' сЬ йе с обращаются в нуль, а временная дает равенство (73.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
