II.-Теория-поля (1109679), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Р е ш е н и е. С выражением (70.Ц для дипольного момента имеем для полной интенсивности излучения: Зс тг тг Зс тг тг г причем мы воспользовались уравнением движения рг = — аг!г~. Координату г выражаем через ш согласно уравнению орбиты (70.2), а интегрирование по времени с помощью равенства Ж = рг Ыт/М заменяем интегрированием г по углу цг (от 0 до 2т). В результате находим для средней интенсивности: 2272 ~ ег ег )2рз72оз~й~зуг ~ 2~Й~М2~ 7'У Зсз т М рп о 9 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифгоиц. том П 258 ИЗЛХ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х 2.
Определить полное излучение гхе" при столкновении двух заряженных частиц. Р е ш е н и е. В случае притяжения траекторией является гипербола 170.11), а в случае отталкивания — 170.23). Асимнтоты гиперболы образуют с ее осью угол гра, определяемый из х сов Ч1е = 1ГЕ, а угол отклонения частиц 1в системе координат, в которой центр инерции покоится) есть 1г = ~х — 2зге ~. Вычисление производится так же, как и в задаче 1 (интеграл по 4гр берется в пределах между — гре и ре). В результате находим в случае притяжения: З 4 з' 1г ег ее 44е = " 46 — ~(х -Р 1г) (1 -1- 3 сй — ) -> 6 гя — ~ ( — — — ), зсэ 2 2 тг тз в случае отталкивания: 3 4 04' = ",'" 164 ~ (1х — 1С) (1 + 316' ~) — 616 ~) ( —" — — ") .
3сзгг 2 2 тг тэ В обоих случаях под т понимается положительный угол, определяемый из соотношения А' Реор 2 н При лобовом столкновении отталкивающихся зарядов переход к пределу р э О, 1г -э гг дает 8р~т4 ( ег ез )з 3. Определить полное эффективное излучение при рассеянии потока частиц в кулоновом поле отталкивания.
Р е ш е н и е. Искомая величина есть 2 44= ~ ~ 14412хрггр= э ( — — — ) 2х ~ ~ 4 осрор. тг тт а— а— Интегрирование по времени заменяем интегрированием по 41Г вдоль траектории заряда, написав 41 = 4Г,Ги„где радиальная скорость с, = г выражается через г по формуле Интегрирование по ганг производится в пределах от бесконечности до ближайшего к центру расстояния ге = ге1р) гточка, в которой с„= О), и затем от ге снова к бесконечности; это сводится к удвоенному интегралу от ге до оо. Вычисление двойного интеграла удобно производить, переменив порядок интегрирования сначала по 11р, а затем по 4г.
В результате получим 9 С тг тз 4. Определить угловое распределение полного излучения при пролете одного заряда мимо другого, если скорость настолько велика 1хотя и мала по сравнению со скоростью света), что отклонение от прямолинейности движения можно считать малым. Р е ш е н и е. Угол отклонения мал, если кинетическая энергия рс~,г2 велика по сравнению с потенциальной энергией,норядок величины которой есть гг/р (рс~ >> О,Гр).
Выберем плоскость движения в качестве плоскости ху г 71 кВАдгъ ПОльнОе и МАГнитнО-дипОльнОе излч гения 259 с началом координат в центре инерции и с осью х вдоль направления скорости. В первом приближении траектория есть прямая х = сй у = р. В следующем приближении уравнения движения дают о х ос1 О у ар 2 г ~ ру 2 3' Г Г г г Гг причЕм г = Ч'хг + уг Чгрг + с212. С помощью формулы 167.7) имеем НЮ„=д~ ( — ' — — 1 ( [х +у — (хп,+уп„) ]Ж, 4тс гтг тгг у где и — единичный вектор в направлении Ыо. Выражая подынтегральное выражение через 1 и производя интегрирование, получим 2 32ссгР2 гтг тг' й 71. Квадрупольное и магнитно-дипольное излучения Рассмотрим теперь излучение, обусловленное следующими членами разложения векторного потенциала по степеням отношения а/Л размеров системы к длине волны, по-прежнему пред- полагающегося малым.
Хотя зти члены, вообще говоря, малы по сравнению с первым (дипольным), они существенны в тех случаях, когда дипольный момент системы равен нулю, так что дипольное излучение вообще отсутствует. Разлагая в (66.2) 1 / .)Н-~-гп/с с~~ еле,/ подынтегральное выражение по степеням гп/с и сохраняя теперь два первых члена, находим 1 д А = ( .)н сй'+ г —, ~ 1гп)), г11Г. ° /' Подставляя сюда 1 = рч и переходя к точечным зарядам, получим 1 1 д А = ~ еч +, — ~ еч(гп). 171.1) сйс с~не дс 2 Здесь и ниже (как и в 2 67) мы для краткости опускаем индекс 1 у всех величин в правой части равенства.
Во втором слагаемом пишем: ч(гп) = — — г(пг) + -ч1пг) — -г(пч) = — — г1пг) + — ~~гч]п1. 1 д 1 1 1д 1 2 де 2 2 2 де 2 260 излт 1ение электРОмАГнитных ВОлн ГЛ. 1Х Мы находим тогда для А выражение а 1 д' 1 А = — +, —, ~1 ег[пг) + — [итп], [71.2) сЛа 2с~Ла д1' сло 1 где 11 — дипольный момент системы, а пт = — 2 е[гч] ее маг2с нитный момент. Для дальнейшего преобразования заметим, что к А можно прибавить, не изменяя поля, любой вектор, пропорциональный п,--в силу формул [66.3) Е и Н при этом не изменятся. Поэтому вместо [71.2) с тем же правом можно написать; А = — +, —, ~~1 е[ЗГ[пг) — пт ] + — [птп]. д 1 д' 1 сЛо бс~Ла де~ сЛа Но стоящее под знаком д~/д1~ выражение есть произведение, НВР я, вектоРа и на тензоР квадРУпольного момента Р 6 е[Зяохд — 5 зт~) [см. 2 41).
Вводя вектор Р с компонентами Р = Р дпя, находим окончательное выражение для векторного потенциала: [71.4) ') Укажем удобный способ усреднения произведений компонент единичного вектора. Тензор н„пе, будучи симметричным, может выражаться только через единичный тензор 6 В. Учитывая также, что его след равен 1, имеем 1 п„пз = — 6 В. 3 А = — +, Р+ — [щп]. б [71.3) сЛо бсоЛа сЛа Зная А, мы можем теперь определить поля Н и Е с помощью общих формул [66.3): Н =, ([с1п]+ — [Пп]+ [[птп]п]~, Е =, ([[с1п]п] + — фп]п] + [пп1]~. Интенсивность 111 излучения в телесный угол 11О определя- ется согласно [66.6).
Мы определим здесь полное излучение, т. е. энергию, излучаемую системой в единицу времени по всем направлениям. Для этого усредним 111 по всем направлениям п; полное излучение равно этому среднему, умноженному на 4я. При усреднении квадрата магнитного поля все взаимные произ- ведения первого, второго и третьего членов в Н исчезают, так что остаются только средние квадраты каждого из них. Несложные вычисления') дают в результате [71.5) з 71 КВАДГУПОЛЬНОЕ И МАГНИТНО-ДИПОЛЬНОВ ИЗЛУ ГЕНИЯ 261 Задачи 1. Вычислить полное эффективное излучение при рассеянии потока заряженных частиц одинаковыми с ними частицами.
Р е ш е н и е. Дипольное (а также магнитно-дипольное) излучение при столкновении одинаковых частиц отсутствует, так что надо вычислить квадрупольное излучение. Тензор квадрупольного момента системы из двух одинаковых частиц (относительно их общего центра инерции) равен е г Р е = — (Зх хв — г б н), 2 где х„— компоненты радиус-вектора г между частицами. После трехкратного дифференцирования Р В выражаем первую, вторую и третью производные по времени от координат х через относительную скорость частиц с„ согласно т „ е х 2 дх = — т'„= 2 Гг т... ге г — Зх„е, — х„=е 2 Г4 х = с ) где е = угас- радиальная компонента скорости (второе равенство есть уравнение движения заряда, а третье получается дифференцированием второго).
Вычисление приводит к следующему выражению для интенсивности: 1= 4Р Л вЂ” г 4 4(с +11ст) 1 —.г 2е 1 г 1аесг 1бтгсг Г4 (е = е„-~- с„,); с и е„выражаем через г с помощью равенств 2 2 2 г г 4е 2 =се ) тг Среднее же значение произведения четырех компонент равно 1 п ивитиг = — (6 вб,4+ 6,бег + б гбвт).
15 Правая часть составляется нз единичных тензоров как тензор четвертого ранга, симметричный по всем индексам; общий коэффициент определяется затем путем свертывания по двум парам индексов, которое должно дать в результате 1. Таким образом, полное излучение состоит из трех независимых частей; они называются соответственно дипольным, квадрупольным и магнитно-дипольным излучениями. Отметим, что магнитно-дипольное излучение фактически во многих случаях отсутствует. Так, оно отсутствует у системы, в которой отношение заряда к массе у всех движущихся частиц одинаково (в этом случае отсутствует и дипольное излучение, как уже было отмечено в 267). Действительно, у такой системы магнитный момент пропорционален механическому моменту импульса (см.
244), и потому, в силу закона сохранения последнего, Й = О. По той же причине (см. задачу к 244) магнитнодипольное излучение отсутствует у всякой системы, состоящей всего из двух частиц (чего, однако, нельзя сказать о дипольном излучении). 262 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Интегрирование по времени заменяем интегрированием по 42г подобно тому, как это было сделано в задаче 3 к 3 70, т.е.написав 41г Йг 2 2 1 2 "а тлг В двойном интеграле (по 41г и 11р) производим сначала интегрирование по 12р, а затем по 41г. В результате вычислений получается следующий результат: 4 2 тса 2.
Найти силу отдачи, действующую на излучающую систему частиц, совершающих стацнонарное фнннтное движение. Р е ш е н н е. Искомая сила Р вычисляется как потеря импульса системой в единицу времени, т.е. как поток импульса, уносимого испускаемыми системой злектромагнитнымн волнами; Г' = ~о В 121В = / о Впэйо12о; интегрирование производится по сферической поверхности большого радиуса На.
Тензор напряжений дается формулой (33.3), а поле К и Н берем нз (71.4). Ввиду поперечностн этих полей интеграл сводится к 1 У Р = — — 1 2Н ийа йо. 821 ./ Усреднение по направлениям и производится с помощью формул, приведенных в примеч. на с. 2бо (пронзведения же нечетного числа компонент и обращаются в нуль). В результате получим ') 1г1-.-2-.. Е, = — — ) — Т2 В11В+ — (41ш)„ с 15с 3 5 72. Поле излучения на близких расстояниях Формулы дипольного излучения были выведены нами для поля на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны (и тем более по сравнению с размерами излучающей системы). В этом параграфе мы будем по-прежнему считать, что длина волны велика по сравнению с размерами системы, но будем рассматривать поле на расстояниях, хотя и больших по сравнению с последними, но сравнимыми с длиной волны. Формула (67.4) для векторного потенциала А= с1 (72.1) сйа ') Отметим, что эта сила в более высокого порядка по 1/с,чем лоренцевы силы трения (375).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
