II.-Теория-поля (1109679), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(69.5) 4»г с Это выражение соответствует дипольному излучению, векторный потенциал которого дается формулой (67.4). Интересный случай применения полученных формул представляет излучение, возникающее при испускании новой заряженной частицы (например, при вылете ):»-частицы из ядра). При этом процесс надо рассматривать как мгновенное изменение скорости частицы от нуля до ее заданного значения (ввиду симметрии формулы (69.5) по отношению к перестановке ч1 и ч2 возникающее в этом процессе излучение совпадает с излучением, которое сопровождало бы обратный процесс мгновенную остановку частицы).
Существенно, что поскольку «время» данного процесса т — » О, то условию (69.1) фактически удовлетворяют все вообще частоты') . Задача Определить спектральное распределение полного излучения, возникающего при испускании заряженной частицы, движущейся со скоростью е. Р е ш е н и е. Согласно формуле (бэ.4), в которой полагаем чг = ч, чг = = О, имеем гз / е~с~ Г з1п В г 2я зш 0 Ю.
4я~с ./ (1 — (сггс) сов В)~ е 1 ) Интегрируя по предельным расстояниям, можно получить аналогичный результат для эффективного излучения при рассеянии пучка частиц. Надо, однако, иметь в виду, что этот результат несправедлив для эффективного излучения при кулоновом взаимодействии сталкивающихся частиц в связи с тем, что интеграл по др оказывается расходящимся (логарифмически) при больших р. Мы увидим в следующем параграфе, что в этом случае эффективное излучение при малых частотах зависит логарифмически от частоты, а не остается постоянным. ) Применимость формул, однако, ограничена квантовым условием малости ггьг по сравнению с полной кинетической энергией частицы.
250 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Вычисление интеграла приводит к результату ): 11е' = — ( — !п — 2) 11ы. хс с с — с При о « с эта формула переходит в 2е~с~ з '~~" Зкс что можно получить н непосредственно нз (69.6). 9 70. Излучение при кулоновом взаимодействии а=, е= 1— о 2)й'(М 2)й'! доз (70.3) ) Хотя условие (69.1) ввиду «мгновенности» процесса выполняется, как уже было указано, для всех частот, но получить полное излучение энергии путем интегрирования выражения (1) по 11ы нельзя, — интеграл расходится при больших частотах.
Помимо нарушения условия классичности при больших частотах, в данном случае прнчнна расходнмостн лежит н в некорректности самой постановки классической задачи, в которой частица имеет в начальный момент бесконечное ускорение. В этом параграфе мы выведем для справочных целей ряд формул, относящихся к дипольному излучению системы из двух заряженных частиц; предполагается, что скорости частиц малы по сравнению со скоростью света. Равномерное движение системы как целого (т.е.
движение ее центра инерции) не представляет интереса, так как не приводит к излучению; поэтому мы должны рассматривать только относительное движение частиц. Выберем начало координат в центре инерции. Тогда дипольный момент системы с1 = егг1 + + езг2 напишется в виде (70.1) тг+ тз хт1 тэ 1 где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, г = г1 — г2 есть радиус-вектор между ними, а )А = (т1т2)1(т1+ т2)— приведенная масса. Начнем с излучения, сопровождающего эллиптическое движение двух притягивающихся по закону Кулона частиц. Как известно из механики (см. 1, 915), это движение может быть описано как движение частицы с массой )А по эллипсу, уравнение которого в полярных координатах имеет вид 1+ есов1р = (70.2) г где большая полуось а и эксцентриситет е равны 251 1 70 ИЗЛУ ГЕНИЕ ПРИ КУЛОНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ Здесь 6' есть полная энергия частиц (без энергии покоя!), отрицательная при финитном движении; ЛХ = 7лг Гр — момент коли- 2 чества движения; лг — постоянная закона Кулона: лг = (еле2).
Зависимость координат от времени может быть записана в виде параметрических уравнений г = а(1 — есоес), ~ = ~ (с — ее1пс). (70.4) О дному полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра ~ от нуля до 277; период движения равен Т= 277 Определим компоненты Фурье дипольного момента. Ввиду периодичности движения речь идет о разложении в ряд Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-вектору г, то задача сводится к вычислению компонент Фурье от координат х = г соз ГЛГ и у = г гйп Гр.
Зависимость х и у от времени определяется параметрическими уравнениями х = а(соз~ — е), у = а~/1 — е2 зш(, Егер = ~ — е е1п(. (705) Здесь введена частота 2гг / О (2ф~)~г~ Т ~/ Лга ОЛГ Вместо компонент Фурье от координат удобнее вычислять компоненты Фурье от скоростей, воспользовавшись тем, что Х„= — ЛПГЕПХ„, у„= — иНЕПуп. ИМЕЕМ т — и гоп мяпт / о Но мгле = дх = — аз1п~д(; переходя от интегрирования по Глг к интегрированию по Г1(, имеем, таким образом: 2гг лп1л — гвплл ° ~ 1~ 2еп о Аналогичным образом находим 2гг 2е лплл — ея!плл ги гп ~ е лп(л — ля!пл) ц 2еп / 27ГПЯ е о 252 ИЗЛР 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ.
1Х (при переходе от первого интеграла ко второму в подынтеграль- 1'1 1 ном выражении пишем совС = (созС вЂ” -) + —; тогда интеграл Е Е от первого члена берется и притом тождественно обращается в нуль). Наконец, воспользуемся известной формулой теории функций Бесселя: — е'("1 *м" А1ИС = — сов(пС вЂ” хз1п() 11С =,У„(х), (70.6) 2Е 1 Х 1 где 7„(х) — функция Бесселя целочисленного порядка и. В результате окончательно получаем следующие выражения для искомых компонент Фурье: х„= — ~1 (пе), у„= 1„(пе) (70,7) (штрих у функции Бесселя обозначает дифференцирование по ее аргументу). Выражение для интенсивности монохроматических компонент излучения получается подстановкой х„ и у„ в формулу (см.
(67.11)). Выразив при этом а и шо через характеристики частиц, получим окончательно: Выпишем, в частности, асимптотическую формулу для интенсивности очень высоких гармоник (большие п) при движении по близкой к параболе орбите (е близко к 1). Для этого используем асимптотическую формулу Я„(пе) — — ( — ) Ф [( — ) (1 — е~)~, (70.9) п»1, 1 — е«1, 254 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ.
1Х метрическими уравнениями г = а(есЬС вЂ” 1), 1 = (ЕЕЬС вЂ” С), (70.13) т = а(е — сЬ ~), у = а~11ез — 1 ЕЬ С. (70.14) Вычисление компонент Фурье (речь идет теперь о разложении в интеграл Фурье) производится в точности аналогично предьстущему случаю. В результате получаем где Н, — функция Ганкеля 1-го рода ранга «м и введено обозна- Р) чение (70.16) «1 О11 Р= Ауо7ра' рве 1пе относительная скорость частиц на бесконечности; энергия 4' = )Апе~/2). При вычислении использована известная фор- мула ,М-'* Млс;,.д-Н)~,,) р (70.17) Подставляя (70.15) в формулу (см. (67.10)), получим') 1 1 ( ) ( ~771Р 111' ~)) 1 ~~1Р 11 Е)1 ) 1~а1 ' (70.18) Болыпой интерес представляет «эффективное излучениеа при рассеянии пучка параллельно движущихся частиц (см.
З 68). ) Напомним, что функция Н~„~(1РЕ) часто мнима, а ее производная (и н„(1гие) ве1цествснна. М' где параметр с пробегает значения от — оо до +со. Для координат х, у имеем 255 1 70 ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ КУЛОНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ Для его вычисления умножаем йй' на 2ярдр и интегрируем по всем р от нуля до бесконечности. Интегрирование по др заменяем интегрированием по Ж (в пределах от 1 до со), воспользовавшись тем, что 277Рдр = 2яазе де; это соотношение получается из определений (70.12), в которых момент ЛХ и энергия е' связаны с прицельным расстоянием р и скоростью сс посредством Получающийся интеграл берется с помощью формулы где Яр(е) — любое решение уравнения Бесселя порядка р') .
Имея в виду, что при е -э со функция Ганкеля Н, (гие) обращается в (7) нуль, получим в результате следуюшую формулу: Рассмотрим особо предельные случаи малых и больших частот. В интеграле (70.20) определяющем функцию Ганкеля, существенна только та область значений переменной интегрирования (, в которой экспонента имеет порядок величины единицы. При малых частотах (и «1) существенна поэтому область больших (. Но при больших с имеем ЕЬс » с. Таким образом, приближенно Н; (им) те — — е ' 1сК = Но (ги).
Аналогичным образом найдем, что Н~,) (й ) Но ) (т). ) Эта формула является непосредственным следствием уравнения Бесселя 256 гл. |х ИЗЛЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Воспользовавшись, наконец, известным из теории функций Бес- селя приближенным выражением (при малых т) гНО (гх) — — 1п— (1) . 2 2 л' те (у = ес, где С постоянная Эйлера; у = 1,781...), получим следующее выражение для эффективного излучения при малых частотах: 3 200 ', т Н Оно зависит от частоты логарифмически. При больших частотах (и» 1) в интеграле (70.20) существенны, напротив, малые С. Соответственно этому разлагаем экспоненту подынтегрального выражения по степеням ~ и имеем приближенно: Этот интеграл подстановкой 1М~З/6 = и приводится к Г-функ- ции, и в результате получается Н; (ги) — — ( ) Г( ). Аналогичным образом найдем Наконец, воспользовавшись известной формулой теории Г-функций Г(т)Г(1 — и) = В1В ГЕ получим для эффективного излучения при больших частотах: з 3 000 ГВ1 7Л2 О т.
е. выражение, не зависящее от частоты. Перейдем теперь к тормозному излучению при столкновении двух отталкивающихся по закону У = а(т (а > О) частиц. 257 ИЗЛЪ'ЧЕНИЕ ПРИ КУЛОНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 1 70 Движение происходит по гиперболе 2 — 1+ есоеег = (70.23) г х = а(е+ СЬ~), у = а~4~ — 1ЕЬ~ 8 = 1/ — (ееЬ~+ ~) у и (70.24) (а и е — из (70.12)). Все вычисления для этого случая непосредственно приводятся к произведенным выше, так что нет необходимости производить их заново. Действительно, интеграл для компоненты Фурье координаты х подстановкой ( — з зп— — ~ приводится к такому же интегралу для случая притяжения, умноженному на — е ~~; то же самое имеет место для р . Таким образом, выражения для компонент Фурье х,„, у,„в случае отталкивания отличаются от соответствующих выражений для случая притяжения множителями е .
В формулах же для излучения появятся, следовательно, лишние множители е 2 '. В частности, для малых частот получается прежняя формула (70.21) (так как при и «1: е '2 — 1). Для больших частот эффективное излучение имеет вид 1бта " ег ег А ' 2тогох 2 / А2 рсо з г12с = ~ — — — ) ехр ~ — — з) йг при ш >> —. (70.25) З~~~ее~с т т рсез О Оно убывает экспоненциально с увеличением частоты. Задачи 1. Определить полную среднюю интенсивность излучения при зллиптическом движении двух притягивающихся зарядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
