II.-Теория-поля (1109679), страница 40
Текст из файла (страница 40)
З Л.д. Ландау и Е.М. Лифтциц. тои П 226 ПОЛЕ ДВИ1К1 ЩИХСЯ ЗАРЯДОВ ГЛ. УП1 1 дА Е = — — — — йтас1 1р, Н = го1 А с дг надо дифференцировать 1р и А по координатам х, у, е точки и моменту 1 наблюдения. Между тем формулы (63.5) выражают потенциалы как функции от 1' и лишь через соотношение (63.1)— как неявные функции от х, у, з, 1.
Поэтому для вычисления искомых производных надо предварительно вычислить производные от 1'. Дифференцируя соотношение Л(1 ) = с(1 — 1 ) по 1, имеем дсс дАГ ду 1ЕР ду / ду 1 д1 дб де и д1 1 д1( (значение дЛ/д1' получается дифференцированием тождества Л = К и подстановкой дК(1~)/дг= — ч(1'); знак минус здесь связан с тем, что К есть радиус-вектор от заряда е в точку Р, а не наоборот). Отсюда дд 1 (63.6) дг 1 — Рк/лс' Аналогично, дифференцируя то же соотношение по координа- там, найдем 1 1 ГдЛ, К1 йга11 1 = — - йга11 Л(1 ) = — - [ —, йгас1 1 + — ~, с с дд л.) ' откуда йгас11 =— с(н — — ) (63Л) С помощью этих формул не представляет труда вычислить поля Е и Н. Опуская промежуточные вычисления, приведем получающийся результат: Е = е, (К вЂ” — Л) +, [К [ (К вЂ” — Л) Ф1 ~, с с (63.8) Н = — [КЕ).
Н (63.9) равенств должны бьггь взяты в момент времени 1', определяющийся из (63.1). Потенциалы поля в виде (63.5) называются потенциалами Лиенара — Вихерти Для вычисления напряженностей электрического и магнитного полей по формулам 227 ПОТЕНЦИАЛЫ ЛИВНАРА — ВИХИРТА Здесь Ф = дтс/д1', все величины в правых частях равенств берутся в момент 1'.
Интересно отметить, что магнитное поле оказывается везде перпендикулярным к электрическому. Электрическое поле (63.8) состоит из двух частей различного характера. Первый член зависит только от скорости частицы (но не от ее ускорения) и на больших расстояниях меняется как 1/Вг.
Второй член зависит от ускорения, а при больших Л меняется как 1,1ть. Мы увидим ниже (9 66), что этот последний член связан с излучаемыми частицей электромагнитными волнами. Что касается первого члена, то, будучи независимым от ускорения, он должен соответствовать полю, создаваемому равномерно движущимся зарядом.
Действительно, при постоянной скорости разность ч о Ко — — Во — — Ко — ч(1 — 1 ) с есть расстояние Ко от заряда до точки наблюдения в самый момент наблюдения. Легко также убедиться непосредственной проверкой в том,что Лр — -Врв = Во — —,[ИК1]г = Ло 1 — '— ,з(п до г 2 с с с где Оо — угол между Кг и зо. В результате первый член в (63.8) оказывается совпадающим с выражением (38.8). Задача Вывести потенциалы Лиенара — Вихерта путем интегрирования в формулах (62.9), (62.10).
Р е ш е н и е. Напишем формулу (62.6) в виде оо(г,о) = у1у1 ', б т — 1+ — ]г — г ]) бтЛ' 1/ р(г',т) т 1 ]г — г] с (и аналогично для А(г,г)), введя в иее лишнюю б-функцию и тем самым избавившись от неявных аргументов в функции р. Для точечного заряда, движущегося по заданной траектории г = го($), имеем р(г', т) = еб]г' — го(т)]. Подставив зто выражение и произведя интегрирование по ПР'', получим сгт о 1 1о(г,1) = е / б т — 1+ -]г — го(т)]~.
у ]г-г.(т)] [ Интегрирование по сгт производится с помощью формулы б[Г(т)] = ]го(1')] (где 6 — корень уравнения Е(С') = О) и приводит к формуле (63.5). 228 ПОЛЕ ДВИ1К1 1ЦИХСЯ ЗАРЯДОВ ГЛ. УП1 й 64. Спектральное разложение запаздывающих потенциалов — (1 — Я/ ) В Сокращая на е ™ и вводя абсолютную величину волнового век- тора Й = Я1/с, имеем АЯ 'Рю = / Ры '~'. В (64.1) Аналогично, для А,„получим МЯ сн (64.2) Заметим, что формула (64.1) представляет собой обобщение решения уравнения Пуассона на более общее уравнение вида А1РИ + Й 1РЯ = — 47ГР„ (64.3) (получающееся из уравнения (62.4) при р, 1Р, зависящих от времени посредством множителя е ' 1). При разложении в интеграл Фурье компонента Фурье плотности заряда есть р = ре'~ сМ.
Подставляя это выражение в (64.1), получим / / Р 19 11-РЩ~ 1 41 (64.4) Поле, создаваемое движущимися зарядами, можно разложить на монохроматические волны. Потенциалы отдельной монохроматической компоненты поля имеют вид 1Р„е ™м, А е ' 1. Плотности заряда и тока создающей поле системы тоже можно подвергнуть спектральному разложению.
Ясно, что за создание определенной монохроматической компоненты поля ответственны соответствующие компоненты от р и ). Для того чтобы выразить спектральные компоненты поля через компоненты плотностей заряда и тока, подставляем в (62.9) вмЕСтО 1Р и р СООтвЕтСтвЕннО 1Р Е ЯЛ и р Е 1ЫГ. Мы нахОдим тогда: З 64 Опвктгллг пОи газложвпив зАпАздь|вАющих пОтвпциАлОв 229 Здесь надо еще перейти от непрерывного распределения плотно- сти зарядов к точечным зарядам, о движении которых фактиче- ски идет речь. Так, если имеется всего один точечный заряд, то полагаем р = ед~г — ге(1)] где ге(1) радиус-вектор заряда, являющийся заданной функцией времени.
Подставляя это выражение в (64.4) и производя интегрирование по Л' (сводящееся к замене г на го(1)), получим * )'+ЯП)И Ж / В(4) (64.5) где теперь В(1) — расстояние от движущейся частицы до точки наблюдения. Аналогичным образом, для векторного потенциала получим е 1 «~4) е.»)ь, ЯП)(с) Ц (64.6) с / В(4) где « = ге(1) скорость частицы.
Формулы, аналогичные (64.5), (64.6), могут быть написаны и в случае, когда спектральное разложение плотностей заряда и тока содержит дискретный ряд частот. Так, при периодическом (с периодом Т = 24г/шо) движении точечного заряда спектральное разложение поля содержит лишь частоты вида позе и соответствующие компоненты векторного потенциала , 1„~~>),а.й,„,,),с)„ сТ / В(г) о (64.7) (и аналогично для ~рп). В обоих случаях (64.6), (64.7) компонен- ты Фурье определены в соответствии с з 49. С другой стороны,из "~2т)з Задача Разложить поле равномерно и прямолинейно движущегося заряда на плоские волны.
Р е ш е н и е. Поступаем аналогично тому, как делалось в з 51. Плотность заряда пишем в виде р = еб(г — «4), где «скорость частицы. Взяв компоненту Фурье от уравнения Оу = — 4тед(г — «4), находим (Пу)а = — 4хе е 230 ПОЛЕ ДВИ1К1 ЩИХСЯ ЗАРЯДОВ ГЛ. УП1 имеем г д'р, (с)р)в = — й )св —— с' дг' Таким образом, + Рв= гге е * ' д'рк йг 4, -цк-)~ с д4 откуда окончательно е * — Цк )1 ьг ()гч,)с) 2 ' Отсюда видно, что волна с волновым вектором и обладает частотой гг = )сч. Аналогично находим для векторного потенциала: 41ге че АА =— с Й вЂ” (еч,)с) Наконец, для поля имеем 11)сч) — А'+ (ггч)ч)с~ цг,„), Ег, = — йс1Р1, -)- АА = 14яе г е ™ с lг — (ггч)гс) Н = гр А ) .41ге [къ) е 'гк")1 С гг (~~) й 65.
Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка В обычной классической механике систему взаимодействующих друг с другом частиц можно описывать с помощью функции Лагранжа, зависящей только от координат и скоростей этих частиц (в один и тот же момент времени). Возможность этого в конечном итоге обусловлена тем, что в механике скорость распространения взаимодействий предполагается бесконечной.
Мы уже знаем, что благодаря конечной скорости распространения взаимодействий поле надо рассматривать как самостоятельную систему с собственными «степенями свободы». Поэтому если мы имеем систему взаимодействующих частиц (зарядов), то для ее описания мы должны рассматривать систему, состоящую из этих частиц и поля. В связи с этим при учете конечной скорости распространения взаимодействий невозможно строгое описание системы взаимодействующих частиц с помощью функции Лагранжа, зависящей только от координат и скоростей частиц и не содержащей никаких величин, связанных с собственными чстепенями свободы» поля. Однако если скорости и всех частиц малы по сравнению со скоростью света, то систему зарядов можно описывать некоторой приближенной функцией Лагранжа.
ГГри этом оказывается ~ 65 ФУНКЦИЯ ПАГРАНжА О ТОННООТЬГО ДО !ЛЕНОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 231 возможным ввести функцию Лагранжа, описываюгцую систему не только при пренебрежении всеми степенями н ььс (классическая функция Лагранжа), но и с точностью до величин порядка гг ььс~. 2 2 Последнее обстоятельство связано с тем, что излучение электромагнитных волн движущимися зарядами (и, тем самым, возникновение «самостоятельного» поля) появляется лишь в третьем приближении по и ьс (см.
ниже, 867) ') . Предварительно заметим, что в нулевом приближении, т.е. при полном пренебрежении запаздыванием потенциалов, функция Лагранжа для системы зарядов имеет вид г (66.1) 2 ~-~гьь а е>Ь (суммирование производится гю зарядам, входящим в состав системы). Второй член есть потенциальная энергия взаимодействия, какой она была бы для неподвижных зарядов. Для получения следующего приближения поступим следующим образом. Функция Лагранжа для заряда е, находящегося во внешнем поле, есть )Г г Г, е, 1,, = — т с ~) 1 — —, — е,се+ — Ач .
с с (65.2) Рь -Н1 11 г А 3'-нзь Если скорости всех зарядов малы по сравнению со скоростью света, то распределение зарядов не успевает сильно измениться ) Для системы, состоящей из частиц, у которых отношения зарядов к массам одинаковы, появление излучения отодвигается до пятого приближения по е/с; в таком случае существует функция Лагранжа и с точностью до членов порядка (и(с) . (См. Вагкег В. М., 0'Соппе1 В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
