II.-Теория-поля (1109679), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Поставим задачу об определении распределения по направлениям интенсивности дифрагированного света на болыпих расстояниях позади экрана (такая постановка вопроса отвечает так называемой дифракции Фрау11гофера). При этом мы снова ограничиваемся случаем малых отклонений от геометрической оптики, т.е. предполагаем малыми углы отклонения от первоначального направления лучей (углы дифракции).
Поставленную задачу можно было бы решить, исходя из общей формулы (59.2), переходя в ней к пределу бесконечно удаленных от экрана источника света и точки наблюдения. Характерной особенностью рассматриваемого случая является при этом то обстоятельство, что в интеграле, определяющем интенсивность дифрагированного света, существенна вся волновая поверхность, по которой производится интегрирование (в противоположность случаю дифракции Френеля, когда важны лишь участки волновой поверхности вблизи края экрана) ') .
Проще, однако, рассмотреть поставленный вопрос заново, не прибегая к помощи обшей формулы (59.2). Обозначим через ие то поле позади экранов, которое имелось бы при строгом соблюдении геометрической оптики. Оно представляет собой плоскую волну, в поперечном сечении которой, ) Критерии дифракции Френеля и Фраунгофера легко получить, вернувшись к формуле (60.2) и применив ее, например, к щели ширины а (вместо края изолированного экрана). Интегрирование по дз в (60.2) должно производиться при этом в пределах от 0 до о.
Дифракции Френеля соответствует ситуация, когда в экспоненте подынтегрального выражения существен член с з и верхний предел интеграла может быть заменен на оо. Для этого г должно быть Аа ( — т — ) »1. Напротив, если в этом неравенстве стоит обратный знак, член с э~ может быть опущен; этому соответствует случай дифракции Фраунгофера. 217 1 61 ДИФРАКДИЯ ФРАУНГОФЕРА однако, имеются участки (отвечающие «тениь непрозрачных экранов) с равным нулю полем. Обозначим буквой Я ту часть плоскости поперечного сечения, на которой поле ио отлично от нуля;поскольку каждая такая плоскость является волновой поверхностью плоской волны, то ис = соп66 вдоль всей площади Я. В действительности, однако, волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть строго плоской (см. 658).
В ее пространственное разложение Фурье входят компоненты с волновыми векторами различных направлений, что и является источником дифракции. Разложим поле ио в двумерный интеграл Фурье по координатам у, з в плоскости поперечного сечения волны. Для компонент Фурье имеем ис — — иое ч' ду ~Ь, (61.1) Ю у,=-В,. с (61.2) При малом отклонении от геометрической оптики компоненты разложения поля ио можно считать совпадающими с компонентами истинного поля дифрагированного света, так что формула (61.1) решает поставленную задачу. Распределение интенсивности дифрагированного света опре- ДелаетсЯ кваДРатом ~ич~ как фУнкЦией вектоРа 61.
Количествен- 2 ная связь с интенсивностью падающего света устанавливается формулой ивзйуГЬ = ~и )~ ~У ~' (61.3) (ср. (49.8)). Отсюда видно, что относительная интенсивность дифракции в элемент телесного угла йо = дд„йд, дается величиной ~ич~ ИдуйГЬ ( м ) ~ич ~~ (61.4) где 61 постоянный вектор в плоскости ув; интегрирование производится фактически лишь по той части Я плоскости уз, на которой ио отлично от нуля. Если 1с есть волновой вектор падающей волны,то компоненте поля иФе'ч' отвечает волновой вектор к' = 1с + Г1. Таким образом, вектор Г1 = 1с' — 1с определяет изменение волнового вектора света при дифракции.
Поскольку абсолютные значениЯ к = к' = ы/с, то малые Углы ДифРакЦии дю д, в плоскостях ху и хз связаны с составляющими вектора с1 соотношениями 218 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА ГЛ. ЕП Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от двух экранов, являющихся «дополнительными» по отношению друг к другу: первый экран имеет отверстия там, где второй непрозрачен, и наоборот.
Обозначим через и(1) и и(2) поле света, дифрагировавшего на этих экранах (при одинаковом в обоих случаях падающем свете). Поскольку ич и ич выражаются интегралами (61.1), (1) (2) взятыми по площадям отверстий в экранах, а отверстия в обоих экранах дополняют друг друга до целой плоскости, то сумма ич + ич есть компонента Фурье поля, получающегося при от- (Г) (2) сутствии экранов, т.е. просто падающего света. Но падающий свет представляет собой строго плоскую волну с определенным направлением распространения, поэтому ич + ич — — 0 при (1) (2) всЯком отличном от нУлЯ с1. Таким обРазом, имеем ич — — — ич (1) (2) или, для соответствующих интенсивностей, )ич ! =)ич ) пРис(фО.
(61.5) Это значит, что дополнительные экраны дают одинаковые распределения интенсивности дифрагированного света (так называемый приицип Бабане). Упомянем здесь об одном интересном следствии принципа Бабине. Рассмотрим какое-нибудь черное тело, т.е. тело, полностью поглощающее весь падающий на него свет. Согласно геометрической оптике при освещении такого тела за ним образовалась бы область геометрической тени, площадь сечения которой была бы равна площади сечения тела в направлении, перпендикулярном к направлению падения света.
Наличие дифракции приведет, однако, к частичному отклонению света от первоначального направления. В результате на большом расстоянии позади тела тени не будет, а наряду со светом, распространяющимся в первоначальном направлении, будет также и некоторое количество света, распространяющегося под небольшими углами к своему первоначальному направлению.
Легко определить интенсивность этого, как говорят, рассеянного света. Для этого замечаем, что согласно принципу Бабине количество света, отклонившегося вследствие дифракции на рассматриваемом теле, равно количеству света, отклоняющегося при дифракции от прорезанного в непрозрачном экране отверстия, форма и площадь которого совпадают с формой и площадью поперечного сечения тела. Но при дифракции Фраунгофера от отверстия происходит отклонение всего проходящего через отверстие света. Отсюда следует, что полное количество света, рассеянного на черном теле, равно количеству света, падающего на его поверхность и поглощаемого им.
219 ДИФГАКЦИЯ ФРАУНГОФЕГА Задачи 1. Определить дифракцию Фраунгофера при нормальном падении плоской волны на бесконечную щель (ширины 2а) с параллельными краями, прорезанную в непрозрачном экране. Р е ш е н и е, Выберем плоскость щели в качестве плоскости ух с осью 2 вдоль длины щели (рис. 13 представляет разрез экрана). При нормальном падении света плоскость щели является одной из волновых поверхностей, которую мы возьмем в качестве поверхности интегрирования в (61.1).
Ввиду бесконечности длины щели свет отклоняется только в плоскости ху (интеграл (61.1) обращается в нуль при у, ф 0). Поэтому разложение поля ио должно производиться лишь по координате у: — — — —,— — — — у ,В' 2ио ид = ио / е 'д" Йу= — впуа. Ч О Рис. 14 х-1 — 2 Хдэ гх -г,дз,1 — е ид = ид г е ' = ид 1 — е =-о где о( = а + Ь, а и' есть результат интегрирования по одной щели.
Воспользовавшись результатами задачи 1, получим 1оа 1 яп Х611121 эгпаа12 1о 1 яп1гйВа12 вп йаВ ) 2 Жх эш уд уа 11" хай вп йВ11 В (1о -- полная интенсивность света, проходящего через все щели). При большом числе щелей (11' — г оо) эту формулу можно написать в ином виде. При значениях а = хп)о1 (и — целое числа) Ы)сй1 имеет макси- Интенсивность дифрагированного света в интервале углов 12В есть 1о и, 116 1о яп йаВ „ 2 2 х г 11В Рис. 13 2а ио 2х оай Вг где й = ог)с, а 1о — полная интенсивность света, падающего на щель.
Ы)21В как функция угла дифракции имеет вид, изображенный на рис. 14. При увеличении В в ту или другую сторону от В = О интенсивность пробегает г ряд максимумов с быстро убывающей высотой. Максимумы разделены в точках В = = их)йа (и — -целые числа) минимумами, в которых интенсивность обращается в нуль. 2. То же при дифракции от решетки —- плоского экрана с прорезанным в нем рядом одинаковых параллельных щелей (ширина щели 2а, ширина непрозрачного экрана между соседними щелями 2Ь, число щелей 12'). Р е ш е н и е.
Выберем плоскость решетки в качестве плоскости ух с осью 2, параллельной щелям. Дифракция снова происходит лишь в плоскости ху, и интегрирование в (61.1) дает 220 РАспРостРАнение светА Гл. Еп мумы; вблизи такого максимума (т.е. при аг4 = пп+ е, е мало) 1 юп аа12 зш Же д1 = 1еа( 2 аа и№ Но при Х вЂ” > оо имеет место формула ) г Рйп Хх тг11Гх Поэтому вблизи каждого максимума имеем аг1 = 1е — ( ) В(е) Ве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
