II.-Теория-поля (1109679), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Сравнивая оба полученных выражения, находим 4 ге Уь — — „2 (51.3) Эта формула и решает поставленную задачу. член разложения поля не удовлетворяет этому уравнению. Отсюда следует, что для плоских волн, на которые можно разложить поле зарядов, не выполняется соотношение Й = ы /с, которое имеет место для плоских монохроматических электромагнитных волн. В частности, если формально представить электростатическое поле в виде наложения плоских волн, то «частота» этих волн будет равна нулю, так как рассматриваемое поле не зависит от времени; волновые же векторы, конечно, отличны от нуля.
Рассмотрим поле, создаваемое точечным зарядом е, находящимся в начале координат. Потенциал 22 этого поля определяется уравнением (см. 236) ООБственные кОлеБАния пОля Аналогично потенциалу гр можно разложить и напряженность: Э ее Йсг 12е)' (51.4) С помощью (51.2) имеем Е = — ягаг1 глье — = — з з1сгргге зебр 1 431 Г2,.)з / (2„)з' Сравнивая с (51.4), находим . 4ггей Ей = — з1сгре = — з' (51.5) Отсюда видно, что поле волн, на которое мы разложили кулоно- во поле, направлено по волновому вектору. Поэтому эти волны можно назвать продольными.
й 52. Собственные колебания поля А «~ ~А йгг (52.1) Суммирование производится здесь по всем возможным значениям вектора 1г, компоненты которого пробегают, как известно, значения 2з.п, 2епз 2л.п, (52.2) где и,, п„, пз — положительные или отрицательные целые числа. Рассмотрим свободное (без зарядов) электромагнитное поле, находящееся в некотором конечном объеме пространства. Для упрощения дальнейших вычислений мы предполагаем, что этот объем обладает формой прямоугольного параллелепипеда со сторонами, равными соответственно А, В, С.
Мы можем тогда разложить все величины, характеризующие поле в этом параллелепипеде, в тройной ряд Фурье (по трем координатам). Напишем это разложение 1например, для векторного потенциала) в виде 178 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Р! В силу вещественности А коэффициенты разложения (52.1) связаны друг с другом равенствами А» = А~. Из уравнения г11Р А = О следует, что для каждого 1« (52.3) 1«А» = О, т. е. комплексные векторы А» «поперечны» к соответствующим волновым векторам 1«.
Векторы Аи являются, конечно, функциями времени; в силу волнового уравнения (46.7) каждый из них удовлетворяет уравнению Аз»+ сзйзАи = О. (52.4) Если размеры А, В, С выбранного объема достаточно велики, то соседние значения й., йю й, очень близки друг к другу. Можно говорить тогда о числе возможных значений й, йю й, в небольших интервалах Ьй», Ьйю Ьй,. Поскольку соседние значения, скажем й, соответствуют значениям п, отличающимся на единипу, то число Ьп возможных значений й в интервале Ьй равно просто соответствующему интервалу значений п,.
Таким образом, находим Ьп» Ьй»! Ьпк Ьйе! Ьп» Ьй» 2»г " 2»г " 2к Полное число Азп значений вектора 1« с компонентами в заданных интервалах равно произведению Ьп = Ьп, Ьп„Ьп, = — »Ьй Ьйе Ьй„(52.5) )з где И = АВС объем поля. Легко определить отсюда число значений волнового вектора с абсолютной величиной в интервале Ьй и направлением в элементе телесных углов»ло. Для этого надо перейти к сферическим координатам в «1с-пространстве» и написать вместо Ьй АйеЬй, элемент объема в этих координатах. Таким образом, (52.6) з !2„)з Заменив здесь Ьо на 4я, получим число значений 1«с величиной в интервале Ьй и любыми направлениями: Ьп = 'Р"йзззгй,г'2я». Вычислим полную энергию поля — (Е +Н )г11Г 179 ООБОтвенные кОлеБАния пОля выразив ее через величины Асс.
Для электрического и магнитно- го полей имеем Е = — -А = — — су А1 е скг С С Б = го$ А = г ~с ~1сА~,]е'"". (52.7) А Г ехр (г — п,х) с1т а с целым отличным от нуля пе равен нулю. В членах же с 1с' = = — 1г экспоненциальные множители выпадают и интегрирование по Л' дает просто объем Ъ'. В результате найдем 6' = — сс ( —,А„А~ + ~~сА„][1сА~]~. Но ввиду (52.3) имеем ~1сАз,] ~1сА,*,] = й~А~,А,*„ так что 6' =, ~ ~А~,А~, + йзсзА~,А~,). (52.8) Каждый член этой суммы соответствует одному из членов разложения (52.1).
В силу уравнения (52.4) векторы Аь являются гармоническими функциями времени с частотами юь = се, зависящими только от абсолютной величины волнового вектора. В зависимости от выбора этих функций члены разложения (52.1) могут представлять собой стоячие или бегущие плоские волны. Представим разложение поля в таком виде, чтобы его члены изображали бегущие волны.
Для этого запишем его в форме А = ~ (аие'"'+а~с '~') (52.9) явным образом выражающей вещественность А, причем каждый При вычислении квадратов этих сумм замечаем, что все произведения членов с волновыми векторами 1г и 1с (1с ~ — 1с), дают нуль при интегрировании по всему объему. Действительно, такие 1с 1со члены содержат множители еде ' ~ ", а интеграл, например, 180 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Р1 из векторов аь зависит от времени по закону ай же ' ", юь = сй.
(52.10) Тогда каждый отдельный член в сумме (52.9) будет функцией только от разности 1сг — юьФ, что соответствует волне, распространяющейся в направлении 1с. Сравнив разложения (52.9) и (52.1), находим, что их коэффициенты связаны равенствами Аи = ай+ а*ю а в силу (52.10) производные по времени Ай = -гсй(а~, — а~,). Подставив это в (52.8), выразим энергию поля через коэффициенты разложения (52.9). Члены с произведениями вида аьа и или а~а*~ взаимно сокращаются; заметив также, что суммы 2; аьа~ и 2; а ьа* к отличаются лишь обозначением переменной суммирования и потому совпадают друг с другом, получим окончательно: 6'= ,'«,4к, 4 = — а1а1,. й'Ъ' (52.11) 2л Таким образом, полная энергия поля выражается в виде суммы энергий 6~„связанных с каждой из плоских волн в отдельности.
Аналогичным образом можно вычислить полный импульс поля: — Я ~ДГ = — ~ЕН] ЛГ, причем получается (52.12) Этот результат можно было ожидать заранее ввиду известного соотношения между энергией и импульсом плоских волн (см. ~ 47). Разложением (52.9) достигается описание поля посредством дискретного ряда переменных (векторы аь) вместо описания непрерывным рядом переменных, каковым по существу является описание потенциалом А(х,у, В, 1), задаваемым во всех точках пространства. Мы произведем теперь преобразование переменных а1„в результате которого окажется возможным придать уравнениям поля вцд, аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) механики.
181 ООБОТБЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЯ Введем вещественные «канонические переменные» Яе и Ре согласно соотношениям Чи = —,(ак+ а1,), Ри = — гыь, —.,(а~, — а1,) = Я~,. (52.13) П 4ес» Функция Гамильтона поля получается подстановкой этих выражений в энергию (52.11): Ж = ~) .Жи = ~~> — (Р~~ + ю~»Я~~). (52.14) и При этом уравнения Гамильтона дЖ/дРе = Яе совпадают с равенствами Р» = Яи, которые, таким образом, действительно оказываются следствием уравнений движения (это достигнуто надлежащим выбором коэффициента в преобразовании (52.13)). Уравнения же дЖ/дЯе = — Ре приводят к уравнениям Я~, + ыЯ~, = О, (52.15) т. е.
тождественны с уравнениями поля. Каждый из векторов Яе и Р» перпендикулярен к волновому вектору 1с, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направление этих векторов определяет направление поляризации соответствующей бегущей волны. Обозначив две компоненты вектоРа (~е (в плоскости, пеРпенДикУлЯРной 1г) посРеДством Яе;з у = 1,2, имеем Я~~ = '> Я~~~з и аналогично для Ри. Тогда 3 (52.16) 2 Мы видим, что функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Я~,~, Р, .
Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией. При этом,Ж~ имеет вид функции Гамильтона одномерного «осциллятора», совершающего простые гармонические колебания. Поэтому о полученном разложении говорят иногда как о разложении поля на осцилляторы. Выпишем формулы, выражающие в явном виде поле через переменные Рю Я~,. Из (52.13) имеем аи = — ~ — (Р~, — ыу,Я~,), а1, — — — — ~ — (Р~, + гол~,). (52.17) 182 электРОмАГнитные ВОлны А = — ~ — (сйЯ1, сов 1сг — Р1, в1п1сг). 4Е 1 (52.18) Для электрического и магнитного полей получим Е=- /~~[,ЬЦ„.; Ь,~Р„.Ь,), Н = — 1:" ~~ -(сй(Щ~,) в|п1сг+ (АР~,] сов 1сг).
;(, й (52.19) Подставляя эти выражения в (52.1), найдем векторный потенци- ал поля: ГЛАВА ЛгП РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА я 53. Геометрическая оптика Плоская волна отличается тем свойством, что направление ее распространения и амплитуда везде одинаковы. Произвольные электромагнитные волны этим свойством, конечно, не обладают. Однако часто электромагнитные волны, не являющиеся плоскими, тем не менее таковы, что их можно рассматривать как плоские в каждом небольшом участке пространства.
Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление волны почти не менялись на протяжении расстояний порядка длины волны. Если выполнено это условие, то можно ввести так называемые волновые поверхности, во всех точках которых фаза волны в данный момент времени одинакова (для плоской волны это плоскости, перпендикулярные к направлению ее распространения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
