II.-Теория-поля (1109679), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Вращение происходит в направлении по или против направления винта, ввинчиваемого вдоль оси х, соответственно при знаке плюс или минус в (48.9). Если 6! = 6з, то эллипс (48.10) превращается в круг, т.е. вектор Е вращается, оставаясь постоянным по величине. В этом случае говорят, что волна поляр зована по кругу. Выбор направлений осей у и г при этом становится, очевидно, произвольным. Отметим, что в такой волне отношение у- и з-составляющих комплексной амплитуды Ео равно Ео (48.11) Ееи соответственно для вращения по и против направления винта (правая и левая поляризации)'). Наконец, если 6! или 6з равно нулю, то поле волны направлено везде и всегда параллельно (или антипараллельно) одному и тому же направлению. Волну называют в этом случае линейно поляризованной или поляризованной в плоскости.
Эллиптически поляризованную волну можно рассматривать, очевидно, как наложение двух линейно поляризованных волн. Вернемся к определению волнового вектора и введем четырехмерный волновой вектор 6' = (-,) ). (48.12) Тот факт, что эти величины действительно составляют 4-вектор, очевиден хотя бы из того, что при умножении на 4-вектор х' он ') Подразумевается, что оси х, у, з образуют, как всегда, нравовинтовую систему.
165 МОНОХРОМАТИЧЕОКАЯ ПЛООКАЯ ВОЛНА дает скаляр — фазу волны: Й;х' = ВЛ вЂ” 1сг. (48.13) Из определений (48.4) и (48.12) видно, что квадрат волнового 4-вектора равен нулю: й'й, = О. (48.14) Это соотношение следует также и непосредственно из того, что выражение А = Ао ехр ( — гй;х') должно быть решением волнового уравнения (46.10).
Как у всякой плоской волны, в монохроматической волне, распространяющейся вдоль оси х, отличны от нуля лишь следующие компоненты тензора энергии-импульса (см. з 47): Т =Т =Т =ИР. оо о1 и С помощью волнового 4-вектора эти равенства можно записать в тензорном виде как Т»ь =, й'к~. (48.15) Наконец, используя закон преобразования волнового 4-вектора, легко рассмотреть так называемый эффект Доплера — изменение частоты волны ю, испускаемой источником, движущимся по отношению к наблюдателю, по сравнению с «собственной» частотой шо того же источника в системе отсчета (Ло), в которой он покоится. Пусть И скорость источника, т.е.
скорость системы отсчета Ко относительно К. Согласно общим формулам преобразования 4-векторов имеем р ш — ыо (1 + — сова) . с (48.17) ~(о)о Ь' — (17В)Ь' (скорость системы К относительно Ко есть — 1 ). Подставив сюда Й~ = ю/с, Й = Йсово = — сова, где ст угол (в системе Л) межс ду направлением испускания волны и направлением движения источника, и выражая ю через юо, получим (48.16) 1 — (Р'/С) СОВ О Это и есть искомая формула.
При И « с она дает, если угол а не слишком близок к я/2: 166 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. бб! При гг = л/б2 имеем 2 / 1,2 ог = о/о ~/ 1 — — = або [ 1 — — ); с 2с (48.18) в этом случае относительное изменение частоты пропорциональ- но квадрату отношения 1//с. Задачи 1. Определить направление и величину осей эллипса поляризации по комплексной амплитуде Еа. Р е ш е н и е.
Задача заключается в определении вектора Ь = Ь! + 2Ьг с вещественным квадратом. Из (48.7) имеем ЕоЕо = Ь, + Ьг, [ЕоЕ„'] = — 22 [ЬбЬ2), (1) или Ь! + Ьг = А -1- В, ЬбЬг = АВ айпи, где введены обозначения [Есор=А, [Еа [=В, о' = "ем В А для абсолютных значений Еа и Ео* и разности фаз (д) между ними. Отсюда бб,,= б ба' бр !к ! бб*!а' — ба б, О! чем и определяются величины полуосей эллипса поляризации. Для определения их направления (относительно произвольных исходных осей у, х) исходим из равенства Не((ЕоЬ!)(ЕоЬ2)) = О, в котором легко убедиться, подставив Ео = (Ь! + 2Ь2)е '~.
Раскрывая это равенство в координатах у, г, получим для угла у между направлением Ь! и осью у Ер = Е = Ео соэабб, Ар = А = — — эшобб сЕа (б = 1 — хгбс). Но формулам (3), (4) задачи 2 147 находим (в системе 2АВ соэ а (3) А — В Направление вращения поля определяется знаком х-компоненты вектора [ЬбЬ2). Написав из (Ц 22[ЬбЬ2)р = Ео Еор — Ео Еор = !Еа ~2~( ~') — ( — "*) Еор Вар мы видим, что направление вектора [ЬгЬг) (по или против положительного направления оси х), а тем самым и знак вращения (по нли против направления винта, ввинчиваемого вдоль оси х) дается знаком мнимой части отношения Ео,гЕор (плюс в первом и минус во втором случае). Это правило обобщает правило (48.11) при круговой поляризации. 2.
Определить движение заряда в поле плоской монохроматической линейно поляризованной волны. Р е ш е н и е. Выбирая направление поля Е в волне в качестве осн у, пишем: з 49 спвктгальное РАзложении отсчета, в которой частица в среднем покоится) следующее параметрическое (параметр гу = ш()представление движения: е Еес . еЕес г з кгпв У = сввп, г = О, г з г й е Ее . г г г е Ее г г г г — — яп2ж у = т с,'- 8у шз 2шг е Ее г г Р* = — г сов 2уу, р, =О. г еЕе рг — — вш гу, ш Заряд движется в плоскости ху по симметричной 8-образной кривой с продольной осью вдоль оси у. Периоду движения отвечает изменение параметра гу от О до 2т. 3. Определить движение заряда в поле поляризованной по кругу волны.
Р е ш е н и е. Для поля в волне имеем Е, = Ее япшб, сЕО А, = — сов ш(. ш Ег = Еесовшб, СЕО Аг —— — япшб, Движение определяется формулами: есЕе — ге шс уш' еЕо р, = — сов~Л, ш есЕе у = — сов шз .уш' еЕе р„= яп ~Л, ш х=О, р,=о, г г у =тс+ гггсЕО шг 8 49. Спектральное разложение Всякую волну можно подвергнуть так называемому спектральному разложению, т.е. представить в виде наложения монохроматических волн с различными частотами. Эти разложения имеют различный характер в зависимости от характера зависимости поля от времени.
К одной категории относятся случаи, когда разложение содержит частоты, образующие дискретный ряд значений. Простейший случай такого рода возникает при разложении чисто периодического (хотя и не монохроматического) поля. Это есть разложение в обычный ряд Фурье; оно содержит частоты, являющиеся целыми кратными «основной» частоты нуе = ЗггуТ, Таким образом, заряд движется в плоскости уг по окружности радиуса есЕеусуш с постоянным по величине импульсом р = еЕе,Уш; направление г импульса р в каждый момент противоположно направлению магнитного поля Н волны.
168 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Р! (49.2) 1(г)ееВ Ж. (49.6) где Т вЂ” период поля. Напишем его в виде (' (49.1) (Г" — какая-либо из величин, описывающих поле). Величины 1"„ определяются по самой функции 1 интегралами тр Г (1)еаВ~РВ ~Я вЂ” Т(2 Ввиду вещественности функции 1(г) очевидно, что У- =1.*- (49.3) В более сложных случаях в разложении могут присутствовать частоты, являющиеся целыми кратными (и их суммами) нескольких различных, несоизмеримых друг с другом основных частот. При возведении суммы (49.1) в квадрат и усреднении по времени произведения членов с различными частотами обращаются в нуль ввиду наличия в них осциллирующих множителей.
Останутся лишь члены вида 1„1 „= ~~ ~2. Таким образом, средний квадрат поля (средняя интенсивность волны) представится в виде суммы интенсивностей монохроматических компонент: Р= ~ ~~Р= ~~~Р' (49.4) В= — СО и=1 (подразумевается, что среднее по периоду значение самой функции Я) равно нулю, так что 1о = 1 = О). К другой категории относятся поля, разлагающиеся в интеграл Фурье, содержащий непрерывный ряд различных частот.
Для этого функции 1(г) должны удовлетворять определенным условиям; обычно речь идет о функциях, обращающихся в нуль при 1 = ~ос. Такое разложение имеет вид У(*) = (49.5) причем компоненты Фурье определяются по самой функции 1(г) интегралами 169 1АОтично полягизонАнный Оннт При этом аналогично (49.3) У- =,С. (49.7) Выразим полную интенсивность волны, т.е. интеграл от 1~ по всему времени, через интенсивности компонент Фурье. С помощью (49.5), (49.6) имеем 1'а1= 1' 1 е ' ' — аг= У Уе ~~ ,. У 1- , или, учитывая (49.7), (49.8) й 50.
т1астично поляризованный свет Всякая монохроматическая волна по самому своему определению непременно поляризована. Обычно, однако, приходится иметь дело с волнами лишь почти монохроматическими, содержащими частоты в некотором малом интервале Ью.
Рассмотрим такую волну, и пусть ы есть некоторая средняя ее частота. Тогда ее поле (будем говорить, для определенности, об электрическом поле Е) в заданной точке пространства можно написать в виде Е = Ео(1)е * где комплексная амплитуда ЕО(Р) является некоторой медленно меняющейся функцией времени (у строго монохроматической волны было бы Ео = сопв1). Поскольку Ео определяет поляризацию волны, то это значит, что в каждой точке волны ее поляризация меняется со временем; такую волну называют частично поляризованной. Свойства поляризации электромагнитных волн, в частности света, наблюдаются экспериментально посредством пропускания исследуемого света через различные тела (например, призмы Николя) и измерения интенсивности прошедшего через тело света.
С математической точки зрения это означает, что о свойствах 170 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Р! поляризации света делаются заключения, исходя из значений некоторых квадратичных функций его поля. При этом, разумеется, идет речь о средних по времени значениях этих функций.
Квадратичная функция поля состоит из членов,пропорциональных произведениям Е,„ЕР, Е*ЕА или Е„ЕР. Произведения вида ЕВЕР = ЕООЕОРе ЕВЕР = ЕООЕоре содержащие быстро осциллирующие множители е~2™, при усреднении по времени дают нуль. Произведения же Е„ЕР = Ео Е*Р такого множителя не содержат, и потому их средние значения отличны от нуля. Таким образом,мы видим,что свойства частично поляризованного света вполне характеризуются тензором 7 Ф = ЕО ЕОР (50.1) Поскольку вектор Жо всегда лежит в плоскости, перпендикулярной к направлению волны, то тензор,У Р имеет всего четыре компоненты (в этом параграфе индексы сГ, Р подразумеваются пробегающими всего два значения: а,Р = 1,2, отвечающих осям у и з; ось х вдоль направления распространения волны).
Сумма диагональных компонент тензора 7 Р (обозначим ее через 7) есть вещественная величина --среднее значение квадрата модуля вектора Ео (или, что то же, вектора Е): — = ЕоЕО. (50.2) Этой величиной определяется интенсивность волны, измеряемая плотностью потока энергии в ней. Для того чтобы исключить эту величину, не имеющую прямого отношения к поляризационным свойствам, введем вместо 7,„Р тензор ,7„з РОР = (50.3) для которого р = 1; будем называть его поллризационным тензором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
