II.-Теория-поля (1109679), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. связанной с электромагнитной собственной энергией частицы) ') . г) С чисто формальной точки зрения конечность массы электрона можно трактовать путем введения бесконечной отрицательной массы неэлектромагнитного происке:г»ленин, компенсирующей бесконечность электромагнитной массы («перенормировка» массы).
Мы увидим, однако, в дальнейшем 1З 75), что этим способом не ликвидируются все внутренние противоречия классической электродинамики. 131 ЭЛЕКТРООТАТИ !ЕОКАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯДОВ Поскольку возникновение не имеющей физического смысла бесконечной «собственной» энергии элементарной частицы связано с тем, что такую частицу надо рассматривать как точечную, мы можем заключить, что электродинамика как логически замкнутая физическая теория становится внутренне-противоречивой при переходе к достаточно малым расстояниям.
Можно поставить вопрос о том, каков порядок величины этих расстояний. На этот вопрос можно ответить, заметив, что для собственной электромагнитной энергии электрона надо было бы получить значение порядка величины энергии покоя тс . Если, с другой стороны, рассматривать электрон, как обладающий некоторыми размерами Ло, то его собственная потенциальная энергия была бы порядка ет/Ло. Из требования, чтобы обе эти величины были одного порядка, е~/Ле тсэ, находим Ло (37.3) п»с Эти размеры (их называют «радиусом» электрона) определяют границы применимости электродинамики к электрону, следующие уже из ее собственных основных принципов. Надо, однако, иметь в виду, что в действительности пределы применимости излагаемой здесь классической электродинамики лежат еще гораздо выше вследствие квантовых явлений ') .
Вернемся снова к формуле (37.2). Стоящие в ней потенциалы со, согласно закону Кулона, равны (37.4) где Л ь — расстояние между зарядами е, еь. Выражение для энергии (37.2) состоит из двух частей. Во-первых, оно содержит бесконечную постоянную собственную энергию зарядов, не зависящую от их взаимного расположения. Вторая часть есть энергия взаимодействия зарядов, зависящая от их расположения.
Только эта часть и имеет, очевидно, физический интерес. Она равна ~ еауа~ (37.5) где (37.6) ) Квантовые эффекты становятся существенными при расстояниях порядка 6/(тс), где Ь вЂ” постоянная Планка. Отношение этих расстояний к Ло порядка Ьс/е 137. 132 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. Е 2 Лг аЕЬ (37. 7) В частности, энергия взаимодействия двух зарядов Лгг (37.8) й 38.
Поле равномерно движущегося заряда Определим поле, создаваемое зарядом е, движущимся равномерно со скоростью И. Неподвижную систему отсчета будем называть системой Л; систему отсчета, движущуюся вместе с зарядом, — -системой К '. Пусть заряд находится в начале координат системы К~; система К движется относительно К параллельно оси х; оси у и е параллельны у и е'. В момент времени 1 = О начала обеих систем совпадают. Координаты заряда в системе Л, следовательно, равны: х = 1Ч, у = е = О. В системе Л' мы имеем постоянное электрическое поле с векторным потенциалом А' = О и скалярным ~р' = е,1Н', где гт' = х + у + е . В системе К, согласно формулам (24.1) с А' = О, (38.1) г — Г'7Р Й' 'Т:Р'7Р' Мы должны теперь выразить 1Г~ через координаты х, у, е в системе Х. Согласно формулам преобразования Лоренца е — Р1 г г х у =у~ и отсюда (х — $Г1) т (1 — 1Г /с ) (у + г ) дг2 1 — рг/с Подставляя это в (38.1), находим (38.2) е гг = (38.3) где введено обозначение В* = (х — 1Г1) + (1 — — г)(у + е ).
(38.4) есть потенциал в точке нахождения е„создаваемый всеми заря- дами, за исключением е„. Иначе можно написать: 133 пОле РАВнОмеРнО движгщегося 3АРядА Векторный потенциал в системе К равен 1Г е1Г А = ЕЗ вЂ” = —,. с с11* 138.5) В системе Л ' магнитное поле Н' отсутствует, а электрическое г е11 уЗ По формулам 124.2) находим Е =Е'= — „, т- ~" ~~ е',ГГ:РРФ ' * и" 'Г:Р'7Р Л*2 Л2 (1 1' в. т О) 138. 7) Тогда для Е имеем 1 — Ъ'~ Г'с Е=— (38.8) (1 — (Ъ'~/С ) Е1п В) При заданном расстоянии Л от заряда величина поля К возрастает с увеличением О от нуля до л/2 1или при уменыпении от л до л/2).
Наименьшее значение поле имеет в направлении, параллельном направлению движения 1О = О, е); оно равно Наибольшим же является поле, перпецдикулярное к скорости (О = зг,12), равное ЕА = —, ке 'Г:Р*ГР Подставляя сюда Л~, х~, у~, г~, выраженные через х, у, е, находим Е= (1 — —,) 138.6) где К радиус-вектор от заряда е к точке наблюдения х, у, е поля 1его компоненты равны х — Р'Г, у, е).
Это выражение для Е можно написать в другом виде, введя угол О между направлением движения и радиус-вектором К. Очевидно, что у~ + е~ = Л2 Е1п О, и потому Л*2 можно написать в виде 134 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. И Отметим, что при увеличении скорости поле Ег падает, а ЕА возрастает. Можно сказать наглядно, что электрическое поле движущегося заряда как бы «сплющивается» по направлению движения. При скоростях $', близких к скорости света, знаменатель в формуле (38.8) близок к нулю в узком интервале значений д вокруг значения д = я/2. Ширина этого интервала порядка величины Ав - вТ- Р д' Таким образом, электрическое поле быстро движущегося заряда, на заданном расстоянии от него, заметно отлично от нуля лишь в узком интервале углов вблизи экваториальной плоскости, причем ширина этого интервала падает с увеличением 1в как вà — Г Л' Магнитное поле в системе .К равно (38.9) Н = — [т'Е) с (см. (24.5)).
В частности, при $' « с электрическое поле приближенно дается обычной формулой закона Кулона Е = еВ./Лз, и тогда магнитное поле (38.10) с Л Задача Определить силу взаимодействия (в системе К) между двумя зарядами, движущимися с одинаковыми скоростями Тв. Р е ш е и и е. Искомую силу Е вычисляем как силу, действующую на один из зарядов (ег) в поле, создаваемом вторым зарядом (ег). Имеем с помощью (38.9): Е = егЕг + — (гГНг) = ег (1 — —.! Ег + — вг( в/Ег). ег / 1в 1 ег с с ! с Подставив сюда Ег из (38.8), получим дпя составляющих силы в направлении движения (Е ) и перпендикулярно к нему (Гг): егег (1 — 1в~,вс ) созе е,ег (1 — Ъв~ввс )~ з1ПВ Д' (1 — (1вг,всг) в1пг Р)г/г ~ г — Дг (1 (~,г,г г) в1пг 8)г/г ~ где Н вЂ” радиус-вектор от ег к еп а е — - угол между гс и АГ.
8 39. Движение в кулоновом поле Рассмотрим движение частицы с массой т и зарядом е в поле, создаваемом другим зарядом е; мы предполагаем, что масса последнего настолько велика, что его можно считать неподвижным. 135 лвиженив В келОнОВОм пОле Тогда задача сводится к исследованию движения заряда е в центрально-симметричном электрическом поле с потенциалом ~р = = е (г.
Полная энергия частицы равна где ср = ее'. Если пользоваться полярными координатами в плос- кости движения частицы, то, как известно из механики, где р„— радиальная компонента импульса, а М вЂ” постоянный момент импульса частипы. Тогда О = с р~+ —, +п2~с~+ —. д~2 О р2 р (39. 1) то частица при своем движении «падает» на притягивающий ее заряд, — в противоположность тому, что в нерелятивистской механике в кулоновом поле такое падение вообще невозможно (за исключением только случая М = О,когда частица е летит прямо на частипу е'). Полное определение движения заряда в кулоновом поле удобнее всего производить, исходя из уравнения Гамильтона-Якоби.
Выберем полярные координаты г, ~р в плоскости движения. Уравнение Гамильтона-Якоби (16.11) имеет вид Ищем О' в виде О = — Ор1 + Мр22 + 1 Я, Выясним вопрос о том, может ли частица при своем движении приближаться сколь угодно близко к центру. Прежде всего очевидно, что это во всяком случае невозможно, если заряды е и е отталкиваются, т.е. е и е — одного знака. Далее, в случае притяжения (е и е' имеют различные знаки) неограниченное приближение к центру невозможно, если Мс > ~а~; действительно, в этом случае первый член в (39.1) всегда больше второго, и при г — + О правая часть этого равенства стремилась бы к бесконечности. Напротив, если Мс < ~с2~, то при г — э О это выражение может оставаться конечным (при этом, разумеется, р„стремится к бесконечности).
Таким образом, если Мс < )ср), (39.2) 136 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. Е где 8 и М вЂ” постоянные энергия и момент импульса движущейся частицы. В результате находим й.. (39.3) (с М вЂ” с9) — = (9~)9 —,,) — Г; (99А) б) если Мс < (а(: (а — СМ)-= 2 2 2 Г 6 (9~à —,, — 1) ';9' (39.5) в) если Мс = (с9(: — Рис — 9д( — ). (39.6) Постоянная интегрирования заключена в произвольном выборе начала отсчета угла у. В (39.4) выбор знака перед корнем несуществен, так как тоже связан с выбором начала отсчета угла 9л под знаком сое. Изображаемая этим уравнением траектория в случае притяжения (ГГ < 0) лежит целиком при конечных значениях Г (финитное движение), если 6' < то~. Если же 4' > тс, то Г может обращаться в бесконечность (движение инфинитно).
Финитному движению соответствует в нерелятивистской механике движение по замкнутым орбитам (эллипсам). В релятивистской же механике траектория никогда не может быть замкнутой — из (39.4) видно, что при изменении угла р на 2я расстояние Г от центра не возвращается к исходному значению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
