II.-Теория-поля (1109679), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Вместо эллипсов мы имеем здесь орбиты в виде незамкнутых «розеток». Таким образом, в то время как в нерелятивистской механике финитное движение в кулоновом поле происходит по замкнутым орбитам, в релятивистской механике кулоново поле теряет это свое свойство. Траектория определяется уравнением дЯ/дМ = сопе1. Интегрирование в (39.3) приводит к следующим результатам для траектории: а) если Мс > )с9(: 137 1 40 движвние В кхлоновом пОле В (39.5) перед корнем должен быть выбран знак + при а < < О и знак — при а ) О (другой выбор знаков соответствовал бы измененному знаку перед корнем в (39.1)). При а < О траектории (39.5) и (39.6) представляют собой спирали с радиусом т, стремящимся к нулю при ш — » со.
Время же, в течение которого происходит «падение» заряда в начало координат, конечно. Убедиться в этом можно, замечая, что зависимость координаты т от времени определяется равенством дЯ/дб' = сопв1; подставляя сюда (39.3), увидим, что время определяется интегралом, сходящимся при т — + О. Задачи 1. Определить угол отклонения заряда, пролетающего в кулоновом поле отталкивания (а ) О).
Р е ш е н и е. Угол отклонения Х равен Х = х — 2ре, где 2уа угол между двумя асимптотами траектории (39.4). Находим 2сМ ° им': Х = гг— агс18 ,'Рп: й' са где с- .скорость заряда на бесконечности. 2. Определить эффективное сечение рассеяния на малые углы при рассеянии частиц кулоновым полем. Р е ш е н и е. Эффективное сечение Ип есть отношение числа частиц, рассеянных (в 1 с) в данный элемент с1о телесного угла, к плотности рассеиваемого потока частиц (т.е.
к числу частиц, проходящих в 1 с через 1 см г площади поперечного сечения пучка частиц). Поскольку угол Х отклонения частицы прн ее пролете через поле определяется «прицельным расстоянием» р (т. е. расстоянием от центра до прямой, по которой двигался бы заряд в отсутствие поля), то 8р 8р Но Жт = 2нрдр = 2ггр — 8Х = р— "Х '1Х в"'Х где до = 2хсйпхдХ (см. 1, 818). Угол отклонения (если он мал) можно считать равным отношению приращения импульса к его первоначальному значению.
Приращение импульса равно интегралу по времени от силы, действующей на заряд в направлении, перпендикулярном к направлению а движения; последняя приближенно равна — —. Таким образом, имеем гг г 1 /' арф 2а г р / (р +с»)~~ ррс (е — скорость частиц). Отсюда находим эффективное сечение для малых Х: Жт= 4( — ) рс Х В нерелятивистском случае р тс, и зто выражение совпадает с получающимся по формуле Резерфорда при малых Х (см.
1, З 19). 138 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. Е й 40. Дипольный момент Рассмотрим поле, создаваемое системой зарядов на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы. Введем систему координат с началом где-нибудь внутри системы зарядов.
Радиус-векторы отдельных зарядов пусть будут га. Потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке с радиус-вектором Ко, равен (40.1) (суммирование производится по всем зарядам); здесь Ко — га радиус-векторы от зарядов еа к точке, где мы ищем потенциал. лйы должны исследовать это выражение для больших Ко (Ко )) га). Для этогО рззлотким егО В ряд по степеням га/До, воспользовавшись формулой у1КΠ— г) = у(КО) — гйгас1у1Ке) (в 8гас1 дифференцирование производится по координатам конца вектора К.о).
С точностью до членов первого порядка имеем ~.е. х — ~ 1 — е г 8гай —. — а а (40.2) Сумма с1 — ~ сага (40.3) носит название дипольного момента системы зарядов. Существенно, что если сУмма 2 еа всех заРЯДов Равна нУлю, то Дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Действительно, радиус-векторы г и г' одного и того же заряда в двух разных системах координат связаны друг с другом соотношением / 1а = та+а~ где а — некоторый постоянный вектор. Поэтому если 2 еа = О, то дипольный момент в обеих системах одинаков: с1' = ~ е,г', = ~ е г + а ~ е, = с1.
Если обозначить посредством ет, г~т и — е, г положительные и отрицательные заряды системы и их радиус-векторы, то можно написать дипольный момент в виде с1 = ~1 е'~ гт — ~> е, г,' = К~ ~~> е~ — К ~~> е,, (40.4) 139 я 40 ДНПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ где (40.6) д = еВ, где К4 = К вЂ” В. есть радиус-вектор от центра отрицательных к центру положительных зарядов. В частности, если имеются всего два заряда, то К, есть радиус-вектор между ними. Если полный заряд системы равен нулю, то потенциал ее поля на больших расстояниях 1 с1ио р = — й~7 — = ояз (40.7) Напряженность поля Е = — 8гад = — — 8гад(с1Ко) — (йКо) 8гад —, с1йо 1 1 оз Поз Лз~ или окончательно З(пя1) и — (3 (40.8) Лз где и-- единичный вектор в направлении Ко. Полезно также указать, что ее можно представить, до выполнения дифференцирований, в виде Е = (сР7)ь —.
(40.9) Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой с равным нулю полным зарядом, на больших расстояниях обратно пропорционален квадрату, а напряженность поля кубу расстояния. Это поле обладает аксиальной симметрией вокруг направления с1. В плоскости, проходящей через это направление (которое выберем в качестве оси е), компоненты вектора Е: Зсояз — 1 Зя1НВсояВ Лз з е йз о Радиальная и тангенциальная составляющие в этой плоскости (40.11) е~ г~ ~~е г З„' е~ радиус-векторы «центров зарядов» тельных. Если ~ е~ = ~ее = е, то З'е г, (40 5) З е, положительных и отрица- 140 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГННТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. Е й 41.
Мультипольные моменты В разложении потенциала по степеням 1/Ао (о) + (И+ Р) + (41.1) член у~"~ пропорционален 1/Л~ . Мы видели, что первый член, ~р~ г, определяется суммой всех зарядов; второй, д~ ~, называемый дипольным потенциалом системы, определяется ее дипольным моментом. Третий член разложения равен дг " ~ах.ах, л.' — ех,„х (41.2) аг ,2,— = 5., — = О.
л. ах.ах, л, Мы можем поэтому написатыр~~) в виде 2 ~ 3 )дх дХЕЛа Тензор Р д = ~ е(Зх хд — г~б д) (41.3) называется квадрупольным моментом системы. Из определе- ния .0 в следует, что сумма его диагональных компонент равна нулю: (41.4) Р =О. Симметричный тензор Р 6 имеет поэтому всего пять независи- мых компонент. С его помощью можно написать: Р) ВЕ д 1 6 дХ дХЕ Ль (41. 5) где сумма берется по всем зарядам; индекс, указывающий номер заряда, мы здесь опустили; х,„--компоненты вектора г, а Х,„— вектора Ке.
Эта часть потенциала обычно называется квадрупольным потенциалом. Если сумма зарядов и дипольный момент системы равны нулю, то разложение начинается с ~р~ ). В выражение (41.2) входят шесть величин 2; ех ха. Легко, однако, видеть, что в действительности поле зависит не от шести независимых величин, а только от пяти. Это следует из того, что функция 1/Ве удовлетворяет уравнению Лапласа: 141 з 41 МЪ'ЛЬТИПОЛЬН1ЯЕ МОМЕНТЫ или, произведя дифференцирование д 1 ЗХ ХЕ 6,1 дХ дХЕ Ле Лез и учитывая, что бо,уР д = Р„„= О, 11з 12) 0„лп„пд 2вез Ж б) Как и всякий симметричный трехмерный тензор, тензор Р я может быть приведен к главным осям.
При этом в силу условия (41.4) в общем случае лишь два из трех главных значений независимы. Если же система зарядов симметрична относительно некоторой оси (ось з) '), то она же является одной из главных осей тензора Р я, положение двух других осей в плоскости ту произвольно, и все три главных значения связаны между собой: 1 Рхх Руу Рхх 2 (41.7) Обозначая компоненту Р„как Р (ее называют обычно в этом случае просто квадрупольным моментом), получим потенциал в виде 1 ) Имеется в виду ось симметрии любого порядка выше второго. ) Такой тензор называют неприводимым. Обращение в нуль при свертывании означает, что из его компонент нельзя составить компонент какого-либо тензора более низкого ранга.
д1~) = 113соз~0 — 1) = . Р2(совд), 1141.8) 4гга где д — угол между 1те и осью е, а Р2 — полипом Лежандра. Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для дипольного момента, легко убедиться в том, что квадрупольный момент системы не зависит от выбора начала координат, если равны нулю как полный заряд, так и дипольный момент системы. Аналогичным образом можно было бы написать следующие члены разложения (41.1).
1-й член разложения определяется тензором (так называемым тензором 2 -польного момента) 1-го ранга, симметричным по всем своим индексам и обращающимся в нуль при свертывании по любой паре индексов; можно показать, что такой тензор обладает 21+ 1 независимыми компонентами') . Мы напишем, однако, здесь общий член разложения потенциала в другом виде, использовав известную из теории сфериче- 142 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ.
Е ских функций формулу —,, Р~(сое тт), (41.9) ~Во — Г~ Л,"", -~-та — 2тЛосовХ ~ — ' Вы 1=0 где )т угол между Во и г. Введем сферические углы О, Ф и В, ~р, образуемые соответственно векторами В,е и г с фиксированными осями координат, и воспользуемся известной теоремой сложения для сферических функций: (1 — ~т))! Р~(сову) = ~ Р' ~(созО)Р '(созВ)е ' (1+ ~т))! та= — 1 (41.10) где Р~~' — присоединенные полиномы Лежандра. Введем также сферические функции ') 10 ~(в,р) ( 1) (41.11) Тогда разложение (41.9) примет вид оо , = ~ ,'> "„, „" 1;* (О, Ф)У, (В, р). 1=0 т= — 1 Произведя такое разложение в каждом члене суммы (40.1), получим окончательно следующее выражение для 1-го члена разложения потенциала: та= — 1 где (41.13) а Совокупность 21+ 1 величин Я составляет 2 -польный момент 0) системы зарядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
