II.-Теория-поля (1109679), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Именно, пишем ал дла ала~,, а* а, а'* + а4,, ал Подставляя сюда (32.2) и замечая, что о»и = о ьы находим Заменив в левой части равенства аЛ аь дЛ д~' д~ и введя обозначение ть — . дЛ аьЛ = Чй ' йд» (32.3) где Л вЂ” некоторая функция от величин д, определяющих состояние системы и их производных по координатам и времени (для электромагнитного поля величинами д являются компоненты 4-потенциала); для краткости мы пишем здесь всего одну такую величину д.
Заметим, что интеграл по пространству ) Л Л' есть функция Лагранжа системы, так что Л можно рассматривать как «плотность» функции Лагранжа. Математическим выражением замкнутости системы является отсутствие явной зависимости Л от т', подобно тому, как функция Лагранжа для замкнутой механической системы не зависит явно от времени.
«Уравнения движения» (т. е. уравнения поля, если речь идет о каком-либо поле) получаются согласно принципу наименьшего действия путем варьирования Я. Имеем (для краткости обозначаем пи ив з до/дх') 114 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ. 1У напишем полученное соотношение в виде дт,' О д А (32.4) Р' = сопв1 Т'~11Яы Этот вектор и должен быть отождествлен с 4-импульсом системы. Постоянный множитель перед интегралом мы выберем так, чтобы временная компонента Ро в соответствии с прежним определением была равна энергии системы, деленной на с.
Для этого замечаем,что Ро = сопв$. Т~~Г1Бь = сопв$. Тоогцг, если интегрирование производится по гиперплоскости х = сонэк. С другой стороны, согласно (32.3) имеем оо дЛ т =у —,— л дй (где д = дд,г'д1). В соответствии с обычной формулой, связывающей энергию с функцией Лагранжа, эту величину надо рассматривать как плотность энергии, и поэтому ) То Л' есть полная энергия системы. Таким образом, надо положить сопвФ = 1/с, и мы получаем окончательно для 4-импульса системы выражение Р = — Т ~Ьы (32.6) с ~ ТЕНЗОр Тгв НаЗЫВаЕтСя тЕНЭОроМ ЭНЕргии-иМПуЛЬСа СнетЕМЫ.
Необходимо заметить, что определение тензора Т™ по существу не однозначно. Действительно, если Тгв — тензор, определенный согласно (32.3), то и всякий другой тензор вида Тггь д )гм )гм )гтЬ (32.7) дх' Если имеется не одна, а несколько величин д' ', то вместо (32.3) 1О надо, очевидно, писать: Ть = Е Чг.') дЛ вЂ” бьЛ, (32.5) Мы видели в 329, что уравнение вида дА"/дх" = О, т.е.
равенство нулю 4-дивергенции вектора, эквивалентно утверждению,что сохраняется интеграл ) А 11оь от этого вектора по гиь перповерхности, заключающей в себе все трехмерное пространство. Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и для тензора: уравнение (32.4) эквивалентно утверждению, что сохраняется вектор 115 тинзсг энеггии-имп»льсА удовлетворяет уравнению сохранения (32.4), так как тождествендс но утт~~ = 0 ввиду антисимметричности тензора тдт~~ по д*"д*' индексам й, 1.
Полный 4-импульс системы при этом вообще не изменится, так как согласно (6.17) имеем Г Ц "' т Гт дР™' дтпл™ т Г,м —, йдь = — ~ ~ Г1БА —, — Г1дт —,) = — ~т 4т"т4„,"„ д*' 2/ ~ д*' дх» 21 М»в = (х'Г1Р" — х~т1РГ) = — ~ (хтТ~~ — х"Т'т) Г1дт, (32.8) с / т.е. так, чтобы его плотность выражалась через плотность импульса обьтчттой формулой. Легко найти, какому условию должен для этого удовлетворять тензор энергии-импульса.
Закон сохранения момента может быть выражен, как мы уже знаем, равенством нулю дивергенции подынтегрального выражения в М'". Таким образом, —,(х'Т~~ — х~Ти) = О. дх' (32. 9) Замечая, что дх'/дхт = дт' и дТы(дх' = О, находим бтТм — 6~Ти = Ты — Т'~ = О, или Тсь = Т"т, (32.10) т. е. тензор энергии-импульса должен быть симметричен. Заметим, что тензор Т'", определенный формулой (32.5), вообще говоря, не симметричен, но может быть сделан таковым заменой (32.7) с надлежащим образом выбранным т~т"т. В дальнейтпем Я 94) мы увидим, что существует способ непосредственного получения симметричного тензора Т™. где интегрирование в правой части равенства производится по поверхности (обычной), «охватывающей» гиперповерхность, по которой производится интегрирование в левой части равенства.
Эта поверхность находится, очевидно, на бесконечности трехмерного пространства, и, поскольку поле или частицы на бесконечности отсутствуют, интеграл равен нулю. Таким образом, 4-импульс системы является,как и следовало, однозначно определенной величиной. Для однозначного же определения тензора Т™ можно воспользоваться требованием, чтобы 4-тензор момента импульса Я 14) выражался через 4-импульс посредством 116 ГЛ.
тУ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Как уже упоминалось выше, если производить интегрирование в (32.6) по гиперплоскости т = сопв1, то Р' приобретает вид 0 Р1 11уго,й, с ( (32.11) где интегрирование производится по всему пространству (трехмерному). Пространственные компоненты Р' образуют трехмерный вектор импульса системы, а временная компонента есть деленная на с ее энергия. Поэтому вектор с составляющими 1.
у10 1Т20 1у30 с с с можно назвать плотностью импульса, а величину ИГ Т00 Проинтегрируем эти уравнения по некоторому объему простран- ства 1'. Из первого имеем Г дтс -'д 1у~а +~ дт. Л'=6, сдг / де или, преобразуя второй интеграл по (трехмерной) теореме Га- усса, д 1 Тоогит = — ТОО4 дг / (32.13) где интеграл справа берется по поверхности, охватывающей объем И ®, фю ф, — компоненты трехмерного вектора элемента поверхности 11Г). В левой части равенства (32.13) стоит скорость изменения энергии, находящейся в объеме 1'. Отсюда видно, что выражение справа есть количество энергии, протекающей через границу этого объема, а вектор Б с составляющими су01 су02 суоз есть плотность этого потока количество энергии, протекающей в единицу времени через единицу поверхности.
Таким об- можно рассматривать как плотность энергии. Для выяснения смысла остальных компонент Т' напишем ъ уравнения сохранения (32.4), отделив в них пространственные и временные производные: 1 дтсс дт" 1 дт " дт"г (32.12) ° дг де" ' ° дг дег г зз тензОР энеРГНН-импульсА электРОмАГнитнОГО пОля 117 разом, мы приходим к важному выводу о том, что требования релятивистской инвариантности, заключенные в тензорном характере величии Т™, автоматически приводят к определенной связи между потоком энергии и импульсом: плотность потока энергии равна плотности импульса, умноженной нас. Из второго уравнения (32.12) аналогичным путем находим д ( 1 Тсге 11г Тсг6Охх дг / с (32.14) Слева стоит изменение импульса системы в объеме И в единицу времени; поэтому ф Т "ф~ есть количество импульса, вытекающее в единицу времени из этого объема.
Таким образом, компоненты Т~д тензора энергии-импульса составляют трехмерный тензор плотности потока импульса; обозначим его через — О д, где сг„д — так называемый тензор напряжений. Плотность потока энергии есть вектор; плотность же потока импульса, который сам по себе есть вектор, должна, очевидно, быть тензором (компонента Т 6 этого тензора есть количество сей компоненты импульса, протекающее в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярнуго к оси т~). Выпишем еще раз таблицу, указывающую смысл различных компонент тензора энергии-импульса: о', ггс И" Я ггс Осу ггс ОхгГС Пхх гтху О'уГГС вЂ” ΄— О„„ О'х,ГС вЂ” Ох — Оху (32.15) — сㄠ— сгхх й' 33.
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля Применим теперь полученные в предыдущем параграфе общие соотношения к электромагнитному полю. Для электромагнитного поля величина Л, стоящая под знаком интеграла (32.1), равна, согласно (27.4), Л = — ' ГыГ"'. 16х Величинами г7 являются компоненты 4-потенциала поля Аы так что определение (32.5) тензора Т~ принимает вид Т," = д4' дй — 5,'Л. г дх д(дА,!дхх) г з зз тензОР энеггии-импульОА электРОИАГнитнОГО пОля 119 следовало, с плотностью энергии (31.5), а компоненты сТоо — с компонентами вектора Пойнтинга (31.2). Пространственные же компоненты Т и образуют трехмерный тензор с составляющими — = — '(ко + кз — ко+ но+ нз — нз), зя 1 — сгху = — (Кхку + НхНу) 4х и т.
дч или .р = Цк.кр+ н.нр — -"б.р(к'+ н')). (33.3) Этот трехмерный тензор называют максвелловским гпензором напряжений. Для приведения тензора Т' к диагональному виду надо произвести преобразование к системе отсчета, в которой векторы Е и Н (в данной точке пространства и в данный момент времени) параллельны друг другу, либо один из них равен нулю; как мы знаем 1825), такое преобразование возможно всегда, за исключением случая, когда Е и Н взаимно перпендикулярны и равны по величине. Легко видеть, что после преобразования единственными отличными от нуля компонентами Т'" будут (ось х выбрана в направлении полей). Если же векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и равны по величине, то тензор Т™ не может быть приведен к диагональному виду') . Отличные от нуля его компоненты в этом случае равны Тоо Тзз Тзо (ось х выбрана вдоль направления Е, а ось у — вдоль Н). До сих пор мы рассматривали поле без зарядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
