II.-Теория-поля (1109679), страница 17
Текст из файла (страница 17)
б1А с с Первые два члена в подынтегральном выражении проинте- грируем по частям. Кроме того, в первом члене введем 4-ско- рость ббх;/бЬ = и;. Тогда Г (тсуи; бх'+ — бх'б1А,— — бА, б1х') — (тпси.+ — А ) бх' = О. (23.2) с с с Второй член этого равенства равен нулю, так как интеграл варьируется при заданных значениях координат на пределах. Лалее, дА, ь дАб бА, = 'бх", бИ; = „бб1х~, дх" ' ' дх" и поэтому Г едАб, Ь сдАб, Ь\ (тсс1и,бх'+ — — „*бх'Г1х — — — ,*йх бх б = О. с де" с дх~ ди, .б б Напишем в первом члене б1и; = — * б1э, во втором и третьем ОАх = б1А = и'бЬ. Кроме того, в третьем члене поменяем местами индексы г и Й (это ничего не изменит, так как по значкам г и Й производится Г суммирование) .
Тогда Ввиду произвольности бх' отсюда следует, что подынтегральное выражение равно нулю: днб с /дАА дА, б дэ с дх' дх" 92 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. П1 Введем обозначение дА1 дА1 дх1 дх~ ' (23.3) ди' е тс — = — Е иь. сЬ с (23.4) Это уравнение движения заряда в четырехмерной форме.
Смысл отдельных компонент тензора Е;ь легко выяснить, подставив значения А; = (1р, — А) в определение (23.3). Результат можно записать в виде таблицы, в которой индекс г = О, 1,2,3 нумерует строки, а индекс й--столбцы1 0 — Е, Е, 0 Е„Н, Е, — Н„ — Е, НЕ 0 (23.5) Е Ее 0 — Н, Н, 0 — Не Н Е, Н„ Нх 0 — Е Е Е 0 Н Короче, можно написать (см. 3 б): Е;ь = (Е,Н), Г'~ = ( — Е,Н). Таким образом, компоненты напряженностей электрического и магнитного полей являются компонентами одного 4-тензора электромагнитного поля.
Переходя к трехмерным обозначениям, легко убедиться в том, что три пространственные компоненты (1 = 1,2,3) уравнения (23.4) тождественны с векторным уравнением движения (17.5), а временная компонента (1 = О) — с уравнением работы (17.7). Последнее есть следствие уравнения движения; тот факт, что из четырех уравнений (23.4) только три независимы, можно легко обнаружить также и непосредственно, умножив обе части (23.4) на и'. Тогда левая часть равенства обратится в нуль ввиду ортогональности 4-векторов и'и 11и;/11В, а правая часть— ввиду антисимметричности тензора Е1пг Если рассматривать в вариации ОО только истинные траектории, то первый член в (23.2) тождественно обратится в нуль.
Тогда второй член, в котором верхний предел рассматривается как переменный, дает дифференциал действия как функции координат. Таким образом, БЯ = — (тси;+ -А,)сх'. (23.6) этот антисимметричный тензор называется тенлороле электромагнитного поля. Тогда полученное уравнение напишется в виде йз ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА ДЛЯ ПОЛЯ Отсюда дд е е — — = тси;+ -А, = р;+ -Аь де* ' с ' ' с (23.7) Четырехмерный вектор — дд/дх' есть 4-вектор обобщенного импульса частицы Р,. Подставляя значения компонент р, и А;, найдем,что (23.8) й 24. Преобразование Лоренца для поля Напишем формулы преобразования для поля, т.е.
формулы, по которым можно определить поле в одной инерциальной системе отсчета, зная это же поле в другой системе. Формулы преобразования для потенциалов находятся непосредственно из общих формул преобразования 4-вектора (6.1). Помня, что А' = (~р, А), находим У' -Р ('Р'/с)А', А', -Р (Ъ'/с)У' А — Р'7Р ' ' А:Р'7Р ' А, =А',. (24.1) Формулы преобразования для антисимметричного 4-тензора второго ранга (каковым является тензор Р' ) найдены в задаче 2 3 6: компоненты Рзз и РО1 не меняются при преобразовании, а компоненты Роз, Роз и Р1з, Гш преобразуются соответственно как х~ и х~. Выразив компоненты тензора Г'~ через компоненты полей Е и Н согласно (23.5), получим следующие формулы преобразования для электрического поля; и для магнитного поля: Таким образом, электрическое и магнитное поля, как и большинство физических величин, относительны, т.е.
их свойства Как и следовало, пространственные компоненты 4-вектора Р, образуют трехмерный вектор обобщенного импульса (16.5), а временная компонента есть 4'/с, где 4' — полная энергия заряда в поле. 94 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. П1 Е1 + Н1 С~ Н, = Н,'+ — Е„'. С Эти формулы могут быть написаны в векторном виде Е = Е'+ -'[Н1Ч), Н = Н' — -'[Е1Ч1. (24.4) Формулы обратного преобразования от К' к К получаются из (24.2) — (24.4) перестановкой штриха и изменением знака у И. Если в системе Х' магнитное поле Н' = О, то, согласно (24.2), (24.3), между электрическим и магнитным полями в системе К существует соотношение Н = — [~гЕ].
С (24.5) Если же в Х' поле Е' = О, то в системе Л Е = --'[~Н). (24.6) В обоих случаях, следовательно, в системе Л магнитные и электрические поля взаимно перпендикулярны. Эти формулы имеют, разумеется, и обратный смысл: если в некоторой системе отсчета Л поля Е и Н взаимно перпендикулярны (но не равны по величине), то существует такая система Л', в которой поле чисто электрическое или чисто магнитное.
Скорость ~Г этой системы (по отношению к К) может быть выбрана перпендикулярной к Е и Н, тогда по величине она равна в первом случае сН(Е (причем должно быть Н < Е), а во втором случае СЕ(Н (причем Е < Н). $ 25. Инварианты поля Из векторов напряженностей электрического и магнитного полей можно составить инвариантные величины, остающиеся неизменными при преобразованиях от одной инерциальной системы отсчета к другой. различны в разных системах отсчета. В частности, электрическое или магнитное поле может быть равно нулю в одной системе отсчета и в то же время присутствовать в другой системе. Формулы преобразования (24.2), (24.3) значительно упрощаются для случая И « с. С точностью до членов порядка Ъ'/с имеем ИНВАРИАНТЫ ПОЛЯ ЕгьЕг = шч, гытп е Егьа)яг = шч, (25.1) (25.2) где е' совершенно антисимметричный единичный тензор (см.
2 6). Первая из этих величин — истинный скаляр, а вторая— псевдоскаляр (произведение тензора Е' на дуальный ему тензор) ') . Выражая компоненты г"~ через компоненты Е и Н согласно (23.5), легко убедиться в том, что в трехмерной форме эти инварианты имеют вид Н вЂ” Е =шч, ЕН = шч. (25.3) (25.4) Псевдоскалярность второго из них очевидна из того, что он представляет собой произведение полярного вектора Е на аксиальный вектор Н (квадрат же (ЕН) 2 будет истинным скаляром). Из инвариантности приведенных двух выражений вытекают следующие выводы.
Если в какой-нибудь системе отсчета электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны, т. е. ЕН = О, то они перпендикулярны и во всякой другой инерциальной системе отсчета. Если в какой-нибудь системе отсчета абсолютные величины Е и Н равны друг другу, то они одинаковы и в любой другой системе. Имеют, очевидно, место также и следующие неравенства. Если в какой-нибудь системе отсчета Г ) Н (или Е ( Н), то и во всякой другой системе будет Е ) Н (или Е ( Н).
Если в какой-либо системе отсчета векторы Е и Н образуют острый (или тупой) угол, то они будут образовывать острый (или тупой) угол и во всякой другой системе. Преобразованием Лоренца можно всегда достичь того, чтобы Е и Н получили любые значения, удовлетворяющие только условию, чтобы Š— Н и ЕН имели заданные определенные 2 2 ') Отметим также, что псевдоскаляр (25.2) может быть представлен в виде 4-дивергенции: ,и д ' чн д е Г,АГьь = 4 —,.
~е* Аь — А 11, в чем легко убедиться, учитывая антисимметричность е'"'"'. Вид этих инвариантов легко найти исходя из четырехмерного представления поля с помощью антисимметричного 4-тензора Е'~. Очевидно, что из компонент этого тензора можно составить следующие инвариантные величины: 96 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ.
П1 значения. В частности, можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой электрическое и магнитное поля в данной точке параллельны друг другу. В этой системе ЕН = ЕН, и из двух уравнений Ег Нг = Еог Ног ЕН = БоНо можно найти значения Е и Н в этой системе отсчета (Ео и Но электрическое и магнитное поля в исходной системе отсчета). Исключением является случай, когда оба инварианта равны нулю. В этом случае Е и Н во всех системах отсчета равны по величине и взаимно перпендикулярны по направлению.
Если лишь БН = О, то можно найти такую систему отсчета, в которой Е = 0 или Н = 0 (смотря по тому Ег — Нг ( или ) О), т.е. поле чисто магнитное или чисто электрическое; наоборот, если в какой-нибудь системе отсчета Е = 0 или Н = О, то во всякой другой системе они будут взаимно перпендикулярны в соответствии со сказанным в конце предыдущего параграфа. Изложим еще и другой способ подхода к вопросу об инвариантах антисимметричного 4-тензора.
Этот способ делает очевидным единственность двух независимых инвариантов (25.3), (25.4) и в то же время выявляет некоторые поучительные математические свойства преобразований Лоренца в применении к 4-тензору. Рассмотрим комплексный вектор Р = Е+1Н. (25.5) Используя формулы (24.2), (24.3), легко видеть, что преобразование Лоренца (вдоль оси х) для этого вектора имеет вид Р~ — Ре Ру — Р1 сЬ 1р — 1Р,' ЗЬ 1р = Р,' ов ир — Х", в1п 41р, (25.6) Р, = Р,'сов11р+Р„'в1П11р, 1Ь1р = —. с Мы видим, что вращение в плоскости Т1 4-пространства (каковым и является рассматриваемое преобразование Лоренца) для вектора г' эквивалентно вращению на мнимый угол в плоскости уе трехмерного пространства. Совокупность же всех возможных поворотов в 4-пространстве (включающая в себя также н простые повороты осей х, у, г) эквивалентна совокупности всех возможных поворотов на комплексные углы в трехмерном пространстве (шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три комплексных угла поворота трехмерной системы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
