II.-Теория-поля (1109679), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Напротив, в гауссовой системе единиц уравнения поля содержат 4х, а закон Кулона имеет простой вид. 22 Ез с положительным знаком). Действительно, если бы (дл~'д1) входило в Оу со знаком минус, то достаточно быстрым изменением потенциала со временем (в рассматриваемом итервале времени) всегда можно было бы сделать ду отрицательной величиной со сколь угодно большим абсолютным значением; ду не могло бы, следовательно, иметь минимума, как этого требует принцип наименьшего действия. Таким образом, а должно быть отрицательным.
Числовое значение а зависит от выбора единиц для измерения поля. Заметим, что после выбора определенного значения а вместе с единицами для измерения поля определяются также и единицы для измерения всех остальных электромагнитных величин. Мы будем в дальнейшем пользоваться так называемой гауссовой системой единиц; в этой системе а есть безразмерная величина, равная — 1/(16я) ') . Таким образом, действие для поля имеет вид 1ЕТ11РЕХМЕРНЫЙ ВЕКТОР ТОКА й 28.
четырехмерный вектор тока ') б-функция определяется следующим образом: 6(х) = 0 при всех не равных нулю значениях х; при х = 0 6(0) = сю, причем так, что интеграл б(х) бх = 1. (1) Из этого определения вытекают следующие свойства: если 1(х) любая непрерывная функция, то 1(х)б(х — а) бх = Д(а); (2) в частности, / 1(х)б(х) дх = 1(0) (з) (пределы интегрирования, разумеется, не обязательно должны быть хоо; областью интегрирования может быть любая область, заключающая ту точку, в которой б-функция не исчезает).
Смысл следующих равенств заключается в том, что их левая и правая части дают одинаковые результаты, если ик применять в качестве множителей под знаком интегрирования: 6(-х) = б(х), 6(ах) = — б(х). 1 (4) (а) Последнее равенство является частным случаем более общего соотношения 6(1э(х)) = ~, б(х — а,), )1Р'(а,)) (5) где 1г(х)-- однозначная функция (обратная ей функция не обязана быть однозначной), а а1 корни уравнения Ээ(х) = О. Подобно тому как 6(х) определена для одной переменной х, можно ввести трехмерную б-функцию 6(г), равную нулю везде, кроме начала трехмерной системы координат,и интеграл которой по всему пространству равен 1.
Такую функцию можно, конечно, представить как произведение б(х)б(у)б(з). Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в целях математического удобства часто рассматривают заряд как распределенный в пространстве непрерывным образом.
Тогда можно ввести плотноппь заряда р так, что рс('Р' есть заряд, находящийся в объеме 1ЛТ; р есть, вообще говоря, функция от координат и времени. Интеграл от р по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме. При этом надо помнить, что в действительности заряды являются точечными, так что плотность р равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся точечные заряды, а интеграл ) р1Л' должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в данном объеме.
Поэтому р можно написать с помощью б-функций' ) 104 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ. 1У в следующем виде: р = ~~1 е,б(г — г,), (28.1) где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а г„радиус-вектор заряда ес. Заряд частицы есть, по самому своему определению, величина инвариантная1 т. Е. НЕ ЗавиСящая От выбОра СиСтЕмы ОтСчЕта. Напротив, плотность р не есть инвариант, — инвариантом является лишь произведение р Йу'. Умножим обе части равенства Йе = р Й1Г на Йх'1 Йе Йх' = рсй1 Йх' = р Л' Й1— и' р Йс ' (28.2) Его три пространственные компоненты образуют трехмерную плотность тока 1 = ри; (28.3) у есть скорость заряда в данной точке.
Временная же составляющая 4-вектора (28.2) есть ср. Таким образом, = (ср,)). (28.4) Полный заряд, находящийся во всем пространстве, равен интегралу ) рЙ'у'по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырехмерном виде: 1 / ОДГ ~ / ~1Й~, (28.5) сЙ с,/ где интегрирование производится по всей четырехмерной ги- перплоскости, перпендикулярной к оси х (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трехмерному пространству). Вообще интеграл — ) у ЙО,, взятый по любой гиперповерхности, '1 с есть сумма зарядов, мировые линии которых пересекают эту гиперповерхность. Введем 4-вектор тока в выражение (27.7) для действия и пре- образуем второй член в этом выражении.
Введя вместо точечных Слева стоит 4-вектор (так как Йе есть скаляр, а Йх' 4-вектор). Значит, и справа должен стоять 4-вектор. Но ЙЪ' Ю есть скаляр, а потому рЙх'11Ф есть 4-вектор. Этот вектор (обозначим его через ~') носит название 4-вектора плотности тока: 105 УРАВНЕНИЕ НВВРЕРЫВНОСТИ зарядов е непрерывное распределение с плотностью р, напишем этот член в виде — / рА;81Е*8Л; с 8 заменив сумму по зарядам интегралом по всему объему.
Пере- писав его как — — / Р— А,81У'Ж, де' 2й мы видим, что этот член равен — — Ас1'ай. Таким образом, действие Я принимает вид 8= — А 1 8 — —, 2 А2'8й — 2 88 Р 8й. (28.8) с / 16ес ~ $ 29. Уравнение непрерывности Изменение со временем заряда, находящегося в некотором объеме, дается производной — Р 88'У'. С другой стороны, изменение за единицу времени определяется количеством заряда, выходящего за это время из данного объема наружу, или, наоборот, входящего внутрь его. Количество заряда, проходящего за единицу времени через элемент Ж поверхнос си, ограничивающей наш объем, равно ру Ж, где у есть скорость заряда в той точке пространства, где находится элемент 811. Вектор 88Г направлен, как это всегда принимается, по внешней нормали к поверхности, т.
е. по нормали, направленной наружу от рассматриваемого объема. Поэтому ру 881' положительно, если заряд выходит из нашего объема, и отрицательно, если заряд входит в него. Полное количество заряда, выходящего в единицу времени из данного объема, есть, следовательно, у ртссп', где интеграл распространен по всей замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем.
Из сравнения обоих полученных выражений находим 106 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ. 1У Справа поставлен знак минус, так как левая часть положительна, если полный заряд в данном объеме увеличивается. Уравнение (29.1), выражающее собой закон сохранения заряда, есть так называемое уравнение непрерывности, написанное в интегральном виде. Замечая, что ру есть плотность тока, можно переписать (29.1) в виде д (29.2) дг/ Напишем это же уравнение в дифференциальном виде. Применив к правой части (29.2) теорему Гаусса Зсмк = ЖУЗЖГ, находим Поскольку это равенство должно иметь место при интегрирова- нии по любому объему, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю: с11 .)+ — = 0.
др дг (29.3) р = еб(г — го). Тогда ток ,1 = еМ(г — го), где и скорость заряда. Найдем производную др/д1. При движении заряда меняются его координаты, т. е. меняется го. Поэтому др др д „ дг дго дг Но дгс/д~ есть нс что иное, как скорость у заряда. Далее, поскольку р есть функция от г — го, др др дго дг Следовательно, — = — и йга11 р = — п1у ру д,1 а Это и есть уравнение непрерывности в дифференциальном виде. Легко убедиться в том, что выражение (28.1) для р в виде б-функций автоматически удовлетворяет уравнению (29.3). Для простоты предположим, что имеется всего лишь один заряд, так что УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ 197 ( скорость ч заряда не зависит, конечно, от г).
Таким образом, мы приходим к уравнению (29.3). В четырехмерной форме уравнение непрерывности (29.3) вы- ражается равенством нулю 4-дивергенцни 4-вектора тока: —, = О. (29.4) В предыдущем параграфе мы видели, что полный заряд, находящийся во всем пространстве, может быть написан в виде у'дК, где интегрирование производится по гиперплоскости х = сопе$. В другой момент времени полный заряд изобразится таким же интегралом, взятым по другой гиперплоскости, перпендикуляр- ной к оси хо.
Легко проверить, что уравнение (29.4) действитель- но приводит к закону сохранения заряда, т. е. к тому, что инте- грал ) у'дЯ одинаков, по какой бы гиперплоскости хс = сопэ1 мы ни интегрировали. Разность между интегралами ) у'НЯ,, взя- тыми по двум таким гиперплоскостям, можно написать в виде у у'дЯ,, где интеграл берется по всей замкнутой гиперповерхно- сти, охватывающей 4-объем между двумя рассматриваемыми ги- перплоскостями (этот интеграл отличается от искомой разности интегралом по бесконечно удаленной «боковой» гиперповерхно- сти, который, однако, исчезает, так как на бесконечности нет зарядов). С помощью теоремы Гаусса (6.15) можно, преобразовав этот интеграл в интеграл по 4-объему между двумя гиперплос- костями, убедиться, что У1К,= / — "', 1П=О, (29.5) / дх' что и требовалось доказать. Приведенное доказательство остается, очевидно, в силе и для двух интегралов 1 у'дЯ;, в которых интегрирование производится по любым двум бесконечным гиперповерхностям (а не только по гиперплоскостям х = сопз1), включающим в себя все (трехмерное) пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
