II.-Теория-поля (1109679), страница 23
Текст из файла (страница 23)
масса единицы объема. Подчеркнем, что речь идет здесь о единице собственного объема, т. е, объема в той системе отсчета, в которой данный участок тела покоится. Таким образом, в рассматриваемой системе отсчета тензор энергии-импульса 1для данного участка тела) имеет вид 126 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ. 1У гии ИГ, плотности потока энергии Б и тензора напряжений сг„р: с+рс ггс (р+с)у 1 — с/с 1 — уггс (р + с)у УВ СгОгэ = г 㻠— РОВД. с(1 — у7с) (35.3) Если скорость ч макроскопического движения мала по сравнению со скоростью света, то имеем приближенно; Т' = )гос и*и".
(35.4) Из выражения (35.2) имеем ")г = Н 3Р' (35.5) Общее свойство (34.2) тензора энергии-импульса любой системы показывает теперь, что для давления и плотности макроскопического тела всегда имеет место неравенство р(-,. 3 (35.6) Сравним выражение (35.5) с общей формулой (34.1). Поскольку мы рассматриваем сейчас макроскопическое тело, то выражение (34.1) надо усреднить по всем значениям г в единице объема.
В результате находим / г е — Зр = р т,с г,гг1 —— Ю сг (35.7) В = (р+ е)ч. Поскольку В/с есть плотность импульса, то мы видим, что роль плотности массы играет в этом случае сумма (р+ е) /сз. Выражение для Т™ упрощается в случае, если скорости всех частиц, входящих в состав тела, малы по сравнению со скоростью света (скорость же макроскопического движения может быть произвольной). В этом случае в плотности энергии е можно пренебречь всеми ее частями, малыми по сравнению с энергией покоя, т.е, можно писать )гос вместо е, где )го--сумма масс частиц, находящихся в единице (собственного) объема тела (подчеркнем, что в общем случае )го надо отличать от точной плотности массы е/сз, включающей в себя также и массу, происходящую от энергии микроскопического движения частиц в теле и энергии их взаимодействия) .
Что касается давления, определяемого энергией микроскопического движения молекул, то оно в рассматриваемом случае тоже мало по сравнению с плотностью энергии покоя )госг. Таким образом, находим в этом случае; э 35 тензОР энеггии-импхльОА мАкРООКОпи геоких тел 127 (суммирование производится по частицам, находящимся в еди- нице объема). В ультрарелятивистском пределе правая часть этого равенства стремится к нулю и, таким образом, уравнение состояния вещества в этом пределе '): е р= 3' (35.8) Применим полученные формулы к идеальному газу, который мы предположим состоящим из одинаковых частиц. Поскольку частицы идеального газа не взаимодействунзт друг с другом, можно воспользоваться формулой (33.5), усреднив ее.
Таким образом, для идеального газа 1Ь дх* 11х Т' = птс — —, 1й 11з ' где п число частиц в единице объема, а черта обозначает усреднение по всем частицам. Если в газе нет никакого макроскопического движения, то мы имеем, с другой стороны, для Т™ выражение (35.1). Сравнение обеих формул приводит к равенствам: с ит с е=пт, р=— 'г- *7Р' з,т-.*7Р' (35.9) Эти равенства определяют плотность и давление релятивистско- го идеального газа через скорости части1д вторая из них заме- няет собой известную формулу р = птнз,73 нерелятивистской кинетической теории газов.
) Это предельное уравнение состояния выведено здесь в предположении электромагнитного взаимодействия между частицами. Мы будем считать (когда это понадобится в гл. Х1У), что оно остается справедливым и для других существующих в природе взаимодействий между частицами, хотя доказательства этого предположения в настоящее время не существует. ГЛАВА Ъ' ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ й 36. Закон Кулона Для постоянного электрического (электростатического) поля уравнения Максвелла имеют вид с11г Е = 4кр, (36.1) го1 Е = О. (36.2) Электрическое поле Е выражается через один только скалярный потенциал соотношением Е = — йгас1 ~о. (36. 3) Подставляя (36.3) в (36.1), находим уравнение, которому удовлетворяет потенциал постоянного электрического поля: Ь~р = — 4л.р.
(36.4) Это уравнение носит название уравнен и Пуассона. В пустоте, т.е.при р = О,потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Ар=О. (36.5) Из последнего уравнения следует, в частности, что потенциал электрического поля нигде не может иметь ни максимума, ни минимума. Действительно, для того чтобы ~р имело экстремальное значение, необходимо, чтобы все первые производные от ю по координатам были равны нулю, а вторые производные два/доз, дзр/дуз, дзу/дг~ имели одинаковый знак.
Последнее, однако, невозможно, так как при этом не может быть удовлетворено уравнение (36.5). Определим теперь поле, создаваемое точечным зарядом. Из соображений симметрии ясно, что оно будет направлено в каждой точке по радиус-вектору, проведенному из точки, в которой находится заряд е.
Из тех же соображений ясно, что абсолютная величина Е поля будет зависеть только от расстояния Л до заряда. Для нахождения этой абсолютной величины применим уравнение (36.1) в интегральной форме (30.5). Поток электрического поля через шаровую поверхность с радиусом А, проведенную вокруг заряда е, равен 4я1г Е; этот поток должен быть равен 2 129 З 37 ЗЛВКТРООТАТИ !ЕОКАЯ ЭНВРГИЯ ЗАРЯДОВ 4яе. Отсюда находим Е— В векторном виде: з' (36.6) Таким образом, поле, создаваемое точечным зарядом, обратно пропорционально квадрату расстояния от этого заряда. Это— так называемый закон Кулона. Потенциал этого поля (36.7) Если мы имеем систему зарядов, то создаваемое ею поле, согласно принципу суперпозиции, равно сумме полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
В частности, потенциал такого поля равен где Лц — расстояние от заряда еа до точки, в которой мы ищем потенциал. Если ввести плотность заряда р, то эта формула приобретает вид (36.8) где  — расстояние от элемента объема ТЛ" до данной точки («точки наблюденияд) поля. Отметим здесь математическое соотношение, получающееся при подстановке в (36.4) значений р и 1у для точечного заряда, т. е. р = еб(К) и у = е/В. Мы находим тогда: Ь вЂ” = — 4яд(К). В (36.9) 8 37. Электростатическая энергия зарядов 8л / где Е есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству. Подставляя сюда Е = — 8габ у, можно В Л.Д. Лаидау и Е.М.
Лифтциц. Тои П Определим энергию системы зарядов. При этом будем исходить из представления об энергии поля, т.е. из выражения (31 б) для плотности энергии. Именно, энергия системы зарядов должна быть равна 13О ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. У преобразовать 77 следующим образом; У = — — ~ Е бган у Л' = — — ( с))ъ. (Еу) с1»' + — ( ~р с))Р Е и"»г. )' Г Г 8к / 8к / 8к / Первый из этих интегралов., согласно теореме Гаусса, равен интегралу от Еу по поверхности, ограничивающей объем интегрирования; но поскольку интегрирование производится по всему пространству, а на бесконечности поле равно нулю,то этот интеграл исчезает. Подставляя во второй интеграл с)1Р Е = 4пр, находим следующее выражение для энергии системы зарядов: р~~~ (37.1) Для системы точечных зарядов е, можно вместо интеграла написать сумму по зарядам: У = — ~е,с»„ (37. 2) где о» вЂ” потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке, где находится заряд е . Если применить полученную формулу к одной элементарной заряженной частице (скажем, электрону) и полю, производимому им самим, мы придем к выводу, что частица должна обладать «собственной» потенциальной энергией, равной е~р/2, где со потенциал производимого зарядом поля в месте, где он сам находится.
Но мы знаем,что в теории относительности всякую элементарную частицу надо рассматривать как точечную. Потенциал же со = е,1ГТ ее поля в точке Л = 0 обращается в бесконечность. Таким образом, согласно электродинамике электрон должен был бы обладать бесконечной «собственной» энергией, а следовательно, и бесконечной массой. Физическая бессмысленность этого результата гюказывает, что уже основные принципы самой электродинамики приводят к тому, что ее применимость должна быть ограничена определенными пределами. Заметим, что ввиду бесконечности получающихся из электродинамики «собственной» энергии и массы в рамках самой классической электродинамики нельзя поставить вопрос о том, является ли вся масса электрона электромагнитной (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
