II.-Теория-поля (1109679), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Отсюда видно, что интеграл — 1 у ЙЯ действительно имеет одно и то же значение в с (равное полному заряду в пространстве), по какой бы такой гиперповерхности ни производилось интегрирование. Мы уже упоминали (см. примеч. на с. 78) о тесной связи между калибровочной инвариантностью уравнений электроди- намики и законом сохранения заряда. Продемонстрируем ее еще 108 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ. 1У раз на выражении действия в виде (28.6). При замене А; на А;— — д1",б'дх' ко второму члену в (28.6) добавится интеграл Именно сохранение заряда, выражаемое уравнением непрерывности (29.4), позволяет написать подынтегральное выражение в д виде 4-дивергенции —,.
(Д') после чего, согласно теореме Гаусса, дхб интеграл по 4-объему преобразуется в интеграл по граничным гиперповерхностям; при варьировании действия эти интегралы выпадают и, таким образом, не отражаются на уравнениях движения. 8 ЗО.Вторая пара уравнений Максвелла При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего действия мы должны считать заданным движение зарядов и должны варьировать только потенциалы поля (играющие здесь роль «координат, системы); при нахождении уравнений движения мы, наоборот, считали поле заданным и варьировали траекторию частицы. Поэтому вариация первого члена в (28.6) равна теперь нулю, а во втором не должен варьироваться ток 1'.
Таким образом, 48 = — — ~ — д'бА; + — ГъбГь~ б4П = 0 (при варьировании во втором члене учтено, что Г' 4Г,А = ГьбГ™. Подставляя дАА дА1 дхб дх имеем Бо = — — 1 б -4'бА; + — Г' —,БАЬ вЂ” — Г' — АбА,~11П. ьд 1 ьд с б ~. с 8я дх' 811 дх" Во втором члене меняем местами индексы г и А', по которым производится суммирование, и, кроме того, заменяем Гы на — Гбпг Тогда мы получим бб = — ~ ~ -1 ббб — — Р', 1бб)бс. 109 1зо ВТОРАЯ ПАРА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В торой из этих интегралов берем по частям, т.е.
применяем теорему Гаусса; ге =--'1 (-'г'г- — ''г",)гз,гп- — '1' Р"гзгз,. ггоЦ Во втором члене мы должны взять его значение на пределах интегрирования. Пределами интегрирования по координатам является бесконечность, где поле исчезает. На пределах же интегрирования по времени,т.е.
в заданные начальный и конечный моменты времени, вариация потенциалов равна нулю, так как по смыслу принципа наименьшего действия потенциалы в эти моменты заданы. Таким образом, второй член в (30.1) равен нулю, и мы находим г1.; 1 дхы1 ~-14 + — — А)БА1 г1П = О. с 4к дхк Ввиду того, что по смыслу принципа наименьшего действия вариации бА; произвольны, нулю должен равняться коэффициент при 6А;, т.е. 4'г г (30.2) дх" с Перепишем эти четыре (1 = О, 1, 2, 3) уравнения в трехмерной форме.
При 1 = 1 имеем 1 дгге дггг драге дйы с де дх ду д Подставляя значения составляющих тензора г', находим га 1 дЕ~ дН, дН„4з . — — + с д1 ду дх с Вместе с двумя следующими (1 = 2, 3) уравнениями они могут быть записаны как одно векторное: го1Н = — — + — 3. 1 дЕ 4л. (30.3) сдг с Наконец, уравнение с 1 = 0 дает с11у Е = 4ггр. (30.4) Уравнения (30.3), (30.4) и составляют искомую вторую пару Максвелла' ) . Вместе с первой парой, они вполне определяют ) Уравнения Максвелла в форме, применимой к электромагнитному полю в пустоте вместе с находящимися в нем точечными зарядами, были сформулированы Г. А.
Лоренцем. ГЛ. ГУ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ По находим Еаг' = 4к раИ (30.5) Таким образом, поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, нах дящ у о ем ся в объеме, ограниченном этой поверхностью, умноженному на 4к. Интегрируя (30.3) гю некоторой незамкнутой поверхности и применяя теорему Стокса РОС НдС'= Нд1, находим Н сй = — — / Е дС'+ — / ) ат'. сдс / с (30.6) Величину с дк (30.7) 4х дс называют током смещения. Из (30.6), написанного в виде 7 на = ~ ~(З -,-,— 'г— „)ж, (зхв) ркуляция магнитного поля по некоторому контуру го и сме ения, авна помноженной на 4кггс сУмме токов истинного и,щ, равна помп ж протекающих сквозь поверхность, ограничив у аем ю этим контуром.
Из авнений Максвелла, можно получить известное уже нам уравнение непрерывности (29.3). Беря дивергенцию обеих частей уравнения (30.3), находим сд . 4Я гггУ ГОС Н = — — сггч Е + — ЙУ3. с дг с Но сггугоС Н = 0 и ГГСР Е = 4кр, согласно (30.4). Таким образом, мы приходим снова к уравнению (29.3). В четырехмерном виде из (30.2) имеем д~Г™ 4к ду' дхгдх" с дх' электромагнитное поле и являются основными уравнениями теории этих полей — электродинамики. Напишем эти уравнения в интегральной форме. Интегрируя (30.4) по некоторому объему и применяя теорему Гаусса 1зг ПЛОТНОСТЬ И ПОТОК ЭНЕРГИИ дг Но симметричный по индексам г, к оператор ... примененд**де ю ный к антисимметричному тензору Г, обращает его тождеги ственно в нуль, и мы приходим к уравнению непрерывности, написанному в четырехмерном виде (29.4).
8 31. Плотность и поток энергии Умножим обе части уравнения (30.3) на Е, а обе часги уравнения (26.1) на Н и сложим полученные уравнения почленно: -Š— + -Н вЂ” = — — 1Š— (НГОСŠ— Его1Н). с дй с дС с Пользуясь известной формулой векторного анализа с11ъ.[аЬ] = Ь го1 а — а го$ Ь, переписываем это соотногпение в виде о (Е2 + Н2) ЫЗЕ 61Р [ЕН] 2сдФ с или = — ]Š— Г1гк Я. д 1,.г + юг дГ 8к Вектор Я = — [ЕН] (31.2) называют вектором Пойнтинга.
Проинтегрируем (31.1) по некоторому объему и применим ко второму члену справа теорему Гаусса. Мы получим тогда: — Н' = — 1Е сй' — Б ГК. (31.3) д~„( 8Т Если интегрирование производится по всему пространству, то интеграл по поверхности исчезает (поле на бесконечности равно нулю). Далее, мы можем написать интеграл ЯЕ сЛ' в виде суммы 2 етсЕ по всем зарядам, находящимся в поле, и подставить согласно (17.7) д ЕИЕ = — йкии. Ж Тогда (31.3) переходит в гл.
лу 112 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Таким образом, для замкнутой системы, состоящей из электромагнитного поля вместе с находящимися в нем частицами, сохраняется величина, стоящая в написанном уравнении в скобках. Второй член в этом выражении есть кинетическая энергия (вместе с энергией покоя всех частиц; см. примеч.
на с. 76); первый же член есть, следовательно, энергия самого электромагнитного поля. Величину Е~+ Е1~ (31.5) 8к мы можем поэтому назвать плотностью энергии электромагнитного поля; это есть энергия единицы объема поля. При интегрировании по некоторому конечному объему поверхностный интеграл в (31.3), вообще говоря, не исчезает, так что мы можем написать это уравнение в виде И".'."'- Г: -) =-У- где теперь во втором члене в скобках суммирование производится только по частицам, находящимся в рассматриваемом объеме. Слева стоит изменение полной энергии поля и частиц в единицу времени.
ГГоэтому интеграл у В Ж надо рассматривать как поток энергии поля через поверхность, ограничивающую данный объем, так что вектор Пойнтинга Б есть плотность этого потока— количество энергии поля, протекалощее в единицу времени через единицу поверхности ') . 8 32. Тензор энергии-импульса В предыдущем параграфе мы вывели выражение для энергии электромагнитного поля.
Выведем это выражение, вместе с выражением для импульса поля, в четырехмерной форме. При этом мы будем для простоты рассматривать пока электромагнитное поле без зарядов. Имея в виду дальнейшее применение (к гравитационным полям), а также упрощение выкладок, мы проделаем вывод в общем виде, не конкретизируя род системы. Рассмотрим некоторую систему, интеграл действия для которой имеет вид =) л~д лл".)лглл=-,) лла (злл) ') Мы предполагаем, что на самой поверхности рассматриваемого объема в данный момент времени нет частиц. В противном случае в правой части равенства должен был бы стоять также и поток энергии, нереносимой пересекаюплнми поверхность частицами.
Пз твнЗСР энеггии-имн»льсА ЭЯ = — / ( — ад + — бд,)~йП = с „( дд дд» 1 Г(дл д /дл 'Г д дл1 = — ( ~ — бД+ —,~ й~) — ад —, ~Г~Й = О. с / ~ дд ди' ~ддн ) дх' ад«~ Второй член под интегралом, будучи преобразован по теореме Гаусса, исчезает при интегрировании по всему пространству, и мы находим тогда следующие «уравнения движения»: — — — =О (32.2) (везде, конечно, подразумевается суммирование по дважды повторяющемуся индексу г). Дальнейший вывод аналогичен тому, который производится в механике для вывода закона сохранения энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
