II.-Теория-поля (1109679), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Векторный потенциал однородного магнитного поля можно выбрать и иначе, например, в виде Ае — — А, =0 (19.5) А = — Ну, (ось г выбрана вдоль направления Н). Легко убедиться, что и при таком выборе А имеет место равенство Н = го$ А. В соответствии с формулами преобразования (18.3) потенциалы (19.4) и (19.5) отличаются друг от друга градиентом некоторой функции; (19.5) получается из (19.4) прибавлением 17у', где у" = — хуН(2.
Задача Написать вариационный принцип для траектории частицы (принцип Мопертюи) в постоянном электромагнитном поле в релятивистской меха- нике. Р е ш е н и е. Принцип Мопертюи заключается в том, что если полная энергия частицы сохраняется (движение в постоянном поле), то ее траекто- рия может быть определена из вариационного уравнения 6 э~ Рбг = О, где Р— обобщенный импульс частицы, выраженный через энергию н диф- ференциалы координат, а интеграл берется вдоль траектории частицы (см. 1, е з 44). Подставляя Р = р+ — 'А и замечая, что направления р и дг совпадают, с имеем 6 / (р61-~- — Аде) = О, где Ж = э'огз есть элемент дуги.
Определяя р из р + т с = (4' — е1р)~/с, находим окончательно: 6 / ( — (6' — еи) з — тес1 Ж + — А дг) = О. 1 е с с й 20. Движение в постоянном однородном электрическом поле Рассмотрим движение заряда е в однородном постоянном электрическом поле Е. Направление поля примем за ось х. Движение будет, очевидно, происходить в одной плоскости, которую выберем за плоскость ху. Тогда уравнения движения (17.5) примут вид р.=еЕ, ре — — 0 1 20 дни»кение В пООТОяннОм ОднОгОднОм электгическОМ пОле 81 (точка над буквой обозначает дифференцирование по 1), откуда р. = ЕЕ1, ру = ро. (20. 1) Начало отсчета времени мы выбрали в тот момент, когда р = 0; ро есть импульс частицы в этот момент.
Кинетическая энергия частицы (энергия без потенциальной р )р « = ЯР»р.п,р. (20.1), находим в нашем снучае = р)«„» ) Е1), )20.2) акен где 6о — энергия при 1 = О. Согласно (9.8) скорость частицы у = рс~/йкни. Для скорости и = х имеем, следовательно, Ых р,с 2 с еЕ2 ««-. I«1 +ТО ЕР )'' Интегрируя, находим (20.3) (постоянную интегрирования полагаем равной нулю) ') .
Для определения у имеем ))У Ррс Рос 2 2 «к « „р«, )З)' откуда У = Рос АГЕЬ (20.4) Уравнение траектории находим, выражая из (20.4) 1 через у и подставляя в (20.3). Это дает бо 1 еЕу еЕ рос (20.5) Таким образом, заряд движется в однородном электрическом поле по цепной линии. 1 ) Этот результат (при ро = О) соападает с решением задачи о релятиаистском движении с постоянным «собстаенным ускорением» шо = еЕ)1т (см. задачу к 17). Постоянство этого ускорения связано а данном случае с тем,что злектрическое поле не меняется при преобразованиях Лоренца со скоростями «г, напрааленными вдоль поля (см. 124).
82 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. П1 Если скорость частицы п « с, то можно положить ре = т11е, ео = тс2; разлагая (20.5) по степеням 111с, получим, с точностью до членов высшего порядка: еЬ' т = —,у + сопз1, 2 О й 21. Движение в постоянном однородном магнитном поле Рассмотрим теперь движение заряда е в однородном магнитном поле Н. Направление поля выберем за ось е. Уравнения движения р = — [тсН) мы перепишем в другом виде, подставив вместо импульса Вю Р= где е' энергия частицы, которая в магнитном поле постоянна.
Уравнения движения приобретают тогда вид А'Не е —,— = -[чН], с гп с (21.1) или, в компонентах, (21.2) Пе ЮПЕ ЮЕ ШВЯ1 где мы ввели обозначение 6,=0, еси Ю= е' (21.3) Умножим второе из уравнений (21.2) на 1 и сложим с первым: д ~й — (П. +1ПЗ) = — 101(П +1ЕЕ), откуда — Й/Ф П. +1пе — — аЕ где а — комплексная постоянная. Ее можно написать в виде а = ПосЕ '", ГДЕ ио, И а ВЕЩЕСТВЕННЫ. ТОГДа и +1п = п е 110ЛТО) Е У вЂ” 01 т.
е. заряд движется по параболе, — результат, хорошо известный из классической механики. 83 дВижение В ОднОРОднОм мАГнитнОм пОле и, отделяя действительную и мнимую части, находим ое = сос сое (ш~+ сс), се — — — атос зсп (ш1 + сс). (21.4) Постоянные еос и сс определяются начальными условиями, сс есть начальная фаза; что же касается атос, то из (21.4) видно, что *=*о+ге1п(ш~+ст), у=ус+Тесе(ш1+а), (21.5) где сас сас4' ср т= — = сс есН еН (21.6) (рс —. проекция импульса на плоскость ху). Из третьего уравне- Ння (21.2) НаХОдИМ: Ее = ПО, И (21.7) Е = ЕО + Пес~.
Из (21.5) и (21.7) видно, что заряд движется в однородном магнитном поле по винтовой линии с осью вдоль магнитного поля и с радиусом Г, определяемым (21.6). Скорость частицы при этом постоянна по величине. В частном случае, когда еос = = О, т.е. заряд не имеет скорости вдоль поля, он движется по окружности в плоскости, перпендикулярной к полю. Величина ш, как видно из формул, есть цикчическая частота вращения частицы в плоскости, перпендикулярной к полю.
Если скорость частицы мала, то мы можем приближенно положить е = те~. Тогда частота ш превращается в еН ш = —. псс (21.8) Предположим теперь, что магнитное поле, оставаясь однородным, медленно изменяется по величине и направлению. Выясним, как меняется при этом движение заряженной частицы. Как известно, при медленном изменении условий движения остаются постоянными так называемые адиабатические инварианты. Поскольку движение в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, периодично, то Вдиабатическим инвариантом является интеграл 1 = — ~ Рсс1г, 2е с т.е.
ссос есть скорость частицы в плоскости ту, остающаяся при движении постоянной. Из (21.4) находим, интегрируя еще раз: 84 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. П1 взятый по гюлному периоду движения, в данном случае по окружности (Р1--проекция обобщенного импульса на указанную е плоскость) ') . Подставляя Р1 = рг + — А, имеем С е Г 1 = — у р1 с~г+ — у Адг. 2в 1 2хс 1 В первом члене замечаем, что р1 постоянно по абсолютной величине и направлено по с1г; ко второму применяем теорему Стокса и заменяем го1 А = Н: е 1 = трг — — Нт, 2с где т — радиус орбиты ') . Подставляя в это равенство выражение для т (21.6), находим (21.9) 2еН Отсюда видно, что при медленном изменении Н поперечный импульс р1 меняется пропорционально т/Н. Этот результат можно применить и к другому случаю— когда частица движется по винтовой линии в постоянном, но не вполне однородном магнитном поле (поле мало меняется на расстояниях, сравнимых с радиусом и шагом винтовой орбиты).
Такое движение можно рассматривать как движение по круговой орбите, смещающейся с течением времени, а по отношению к этой орбите поле как бы меняется со временем, оставаясь однородным. Тогда можно утверждать, что поперечная (по отношению к направлению поля) компонента импульса меняется по закону р1 = т(СН, где С- постоянная, а Н.
заданная функция координат. С другой стороны, как и при движении во всяком ) См. 1, 2 49. Адиабатическими инвариантами являются вообще интегралы ~р11д, взятые по периоду изменения данной координаты е. В рассматриваемом случае периоды по двум координатам — в плоскости, перпендикулярной к Н, — совпадают и нигисанный интеграл 1 представляет собой сумму двух соответствующих адиабатических инвариантов. Однако каждый из этих инвариантов в отдельности не имеет особого смысла, так как зависит от неоднозначного выбора векторного потенциала поли.
Проистекающая отсюда неоднозначность адиабатических инвариантов отражает тот факт, что, рассматривая магнитное поле как однородное во всем пространстве, в принципе нельзя определить возникающее вследствие переменности Н электрическое поле, зависящее в действительности от конкретных условий на бесконечности. 1) Проследив за направлением обхода контура орбиты движущимся положительным зарядом, убедимся, что он происходит против часовой стрелки, если смотреть вдоль Н.
Отсюда знак минус во втором члене. 85 даигкение В ОднОРОднОм мАГнитнОм пОле постоянном магнитном поле, энергия частицы (а с нею и квад- рат ее импульса р2) остается постоянной. Поэтому продольная компонента импульса меняется по закону р~ —— р — р, = р — СН(х, у, е). (21.10) Задача Определить частоты колебаний заряженного пространственного осцнллятора,находящегося в постоянном однородном магнитном поле; собственная частота колебаний осциллятора (при отсутствии поля) равна ые.
Р ею ен н е. Уравнения вынужденных колебаний осциллятора в магнитном поле (направленном вдоль осн г)имеют внд еН... г еН. е->Мех= — У УтыеУ= — — и гпс тс г Б -~-ьгег = О. Умножая второе уравнение на г и складывая с первым, получаем А+МОЕ = — г — 6 г .еН.
тс где б = т + гу, Отсюда находим, что частоты колебаний осциллятора в плоскости, перпендикулярной к полю, равны ьго + ( ) 1 еН г еН 4 тс 2тс Если поле Н мало, то зта формула переходит в еН ы =ыо* 2тс Колебания вдоль направления поля остаются неизменными. Поскольку всегда должно бьггь р~ > О, то отсюда видно, 2 что проникновение частицы в области достаточно сильного поля (СН > р2) оказывается невозможным. Г1ри движении в направлении увеличивающегося поля радиус винтовой траектории убывает пропорционально рс/Н (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
