II.-Теория-поля (1109679), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть х' — координаты одной из частиц системы. Произведем бесконечно малый поворот в четырехмерном пространстве. Это есть преобразование, при котором координаты х' принимают новые значения х", так что разности х" — х' являются линейными функциями. хн — х* = хьбй'", (14.1) с бесконечно малыми коэффициентами Щы Компоненты 4-тензора Щь связаны при этом соотношениями, возникающими в результате требования, чтобы при повороте оставалась неизменной длина 4-радиус-вектора, т.
е. чтобы было х,'х" = х,х'. Подставляя сюда ха из (14.1) и отбрасывая члены, квадратичные по Щы как бесконечно малые высшего порцпка, находим хгх~ЩА = О. Это равенство должно выполняться при произвольных х'. 3 л.д. ландау и е.м. лифшиц. том и 66 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ГЛ. И Поскольку х'х~ — симметричный тензор, бй1гь должны состав- лять антисимметричный тензор (произведение симметричного тензора на антисимметричный, очевидно, тождественно равно нулю): (см. (9.10)) 1б ..~Ь (суммирование производится по всем частицам системы). В случае рассматриваемого нами сейчас поворота бх; = бйГьх, а по- А тому бй ~ ~~ 1 ь~ь Если разбить тензор 2 р'х" на симметричную и антисимметричную части, то первая из них при умножении на антисимметричный тензор тождественно дает нуль. Поэтому, выделяя из р'х антисимметричную часть, мы можем написать предыдущее равенство в виде — бй.„.
1'~ (рГхь р"х')~А (14.3) Для замкнутой системы действие, будучи инвариантом, не меняется при повороте в 4-пространстве. Это означает, что должны быть равны нулю коэффициенты при бйГь в (14.3): „>,( ' " — "*') =,>,(р' " — ь *)' Мы видим, что у замкнутой системы остается постоянным при движении, т. е. сохраняется, тензор МРИ = ~ (х'р — х р'). (14.4) Этот антисимметричный тензор носит название 4-тензора момента. Пространственные компоненты тензора момента совпадают с компонентами трехмерного вектора момента М = 2,[гр]: Компоненты же Ме, Мо, Мез составляют вектор 2 (1р— — б'г/сх). Таким образом, можно записать компоненты тензора М' в виде М = (с ~~ (Гр — —,),— М) (14.5) (ср.
(6.10)). бйы = — бй;ы (14.2) Изменение действия при бесконечно малом изменении координат начальной а и конечной Ь точек траектории имеет вид з 14 момен'г импульсА (14. 7) Задача Найти связь между моментом импульса М тела (системы частиц) в системе отсчета К, в которой тело движется со скоростью у', и его моментом М~Щ в системе отсчета Кс, в которой тело как целое покоится; в обоих случаях момент определяется по отношению к одной и той же точке-- центру инерции тела в системе Ке ). ) В то время как классическая формула для центра инерции относится к системам как невзаимодействующих, так и взаимодействующих частиц, формула (14.0) справедлива лишь при пренебрежении взаимодействием.
В релятивистской механике определение центра инерции системы взаимодействующих частиц требует учета в явном виде также импульса и энергии создаваемого ими поля. г ) Напомним, что хотя в системе Ке (в которой 1 р = О) момент импульса не зависит от выбора точки, по отношению к которой он определяется, но в системе К (в которой ~ р ф О) момент зависит от этого выбора (см. 1, З 9). В силу сохранения М'~ для замкнутой системы имеем, в частности: ~(1р — — г) = сопэ$. Поскольку, с другой стороны, полная энергия ~ 4' тоже сохраняется,то это равенство можно написать в виде — 1 ~" = сонет.
4' Отсюда мы видим, что точка с радиус-вектором В. = 4' (14.6) равномерно движется со скоростью с1р которая есть не что иное, как скорость движения системы как целого (отвечающая по формуле (9.8) ее полным энергии и импульсу). Формула (14.6) дает релятивистское определение координат центра инерции системы. Если скорости всех частиц малы по сравнению с с, то можно приближенно положить 6' — тсз и (14.6) переходит в обычное классическое выражение') 1 тг т Обратим внимание на то, что компоненты вектора (14.6) не составляют пространственных компонент какого-либо 4-вектора и потому при преобразовании системы отсчета не преобразуются как координаты какой-либо точки.
Поэтому центр инерции одной и той же системы частиц по отношению к различным системам отсчета — это различные точки. 68 РелятивистскАИ мехАникА Гл. п Р е ш е н и е. Система Ке движется относительно К со скоростью У; выберем ее направление в качестве оси х. Интересующие нас компоненты тензора М*А преобразуются по формулам (см. задачу 2 3 6) М(0112 + ~ М10102 М<0>13+ Р М<0103 12 с М13 с Мгг М10123 Так как начало координат выбрано в центре инерции тела (в системе Ке), то в этой системе х ~0$'г = О, а поскольку в ней и 2 р = О, то МЩЩ~ = МЩ~~~ = = О. Учитывая связь меиС2у компонентами М*ь и вектором М, находим для последнего; (01 М~ ~ М, =МИ~ ГЛАВА П1 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛК й 15. Элементарные частицы в теории относительности Взаимодействие частиц друг с другом можно описывать с помощью понятия силового полл. Вместо того чтобы говорить о том, что одна частица действует на другую, можно сказать, что частица создает вокруг себя поле; на всякую другую частицу, находящуюся в этом поле, действует некоторая сила.
В классической механике поле является лишь некоторым способом описания физического явления —. взаимодействия частиц. В теории же относительности благодаря конечности скорости распространения взаимодействий положение вещей существенным образом меняется. Силы, действующие в данный момент на частицу, не определяются их расположением в этот момент. Изменение положения одной из частиц отражается на других частицах лишь спустя некоторый промежуток времени.
Это значит, что поле само по себе становится физической реальностью. Мы не можем говорить о непосредственном взаимодействии частиц, находящихся на расстоянии друг от друга. Взаимодействие может происходить в каждый момент лишь между соседними точками пространства (близкодействие). Поэтому мы должны говорить о взаимодействии одной частицы с полем и о последующем взаимодействии поля с другой частицей. Мы будем рассматривать два вида полей: поля гравитационные и электромагнитные.
Гравитационным полям посвящены главы Х вЂ” Х1 Ч. В остальных главах рассматриваются только электромагнитные поля. Изучению взаимодействий частиц с электромагнитным полем предпошлем некоторые общие соображения, относящиеся к понятию «частицы» в релятивистской механике. В классической механике можно ввести понятие абсолютно твердого тела, т. е. тела, которое ни при каких условиях не может быть деформировано. В теории относительности под абсолютно твердыми телами следовало бы соответственно подразумевать тела, все размеры которых остаются неизменными в той системе отсчета, где они покоятся.
Легко, однако, видеть, что теория 70 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. П1 относительности делает вообще невозможным существование абсолютно твердых тел. Рассмотрим, например, круглый диск, вращающийся вокруг своей оси, и предположим, что он абсолютно тверд. Связанная с этим диском система отсчета, конечно, не является инерциальной.
Можно, однако, ввести для каждого из небольших элементов диска инерциальную систему отсчета, в которой бы этот элемент в данный момент покоился; для разных элементов диска, обладающих различными скоростями, эти системы будут, конечно, тоже различны. Рассмотрим ряд элементов длины, расположенных вдоль какого-нибудь радиуса диска. Благодаря абсолютной твердости диска длины каждого из этих отрезков в соответствующей инерциальной системе отсчета остаются такими же, какими они являются у неподвижного диска.
Эти же длины получит и измеряющий их неподвижный наблюдатель, мимо которого проходит в данный момент рассматриваемый радиус диска, поскольку каждый из отрезков перпендикулярен к своей скорости, а в таком случае не происходит лоренцева сокращения. Поэтому и весь радиус, измеренный неподвижным наблюдателем как сумма составляющих его отрезков, будет таким же, каким он является у неподвижного диска. С другой стороны, длина каждого из элементов окружности диска, проходящего в данный момент мимо неподвижного наблюдателя, подвергается лоренцеву сокращению, так что и длина всей окружности (измеренная неподвижным наблюдателем как сумма длин отдельных ее отрезков) окажется меныпе, чем длина окружности покоящегося диска. Мы приходим, таким образом, к результату, что при вращении диска отношение длины его окружности к радиусу (измеряемое неподвижным наблюдателем) должно было бы измениться вместо того, чтобы остаться равным 2л.
Противоречие этого результата со сделанным предположением и показывает, что в действительности диск не может быть абсолютно твердым и при вращении неизбежно подвергается некоторой сложной деформации, зависящей от упругих свойств материала, из которого сделан диск. В невозможности существования абсолютно твердых тел можно убедиться и другим путем. Пусть какое-нибудь твердое тело внешним воздействием в какой-нибудь одной его точке приводится в движение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
