II.-Теория-поля (1109679), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. пропорционально 1/т/Н), а ее шаг — пропорционально рь При достижении границы, на которой рг обращается в нуль, частица отражается от нее: продолжая вращаться в прежнем направлении, она начинает двигаться против градиента поля. Неоднородность поля приводит также и к другому явлению— медленному поперечному смещению (дрейфу) ведущего центра винтовой траектории частицы (так называют в этой связи центр круговой орбиты); этому вопросу посвящена задача 3 к следующему параграфу. 86 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ.
П1 й 22. Движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях Наконец, рассмотрим движение заряда в случае одновременного наличия однородных и постоянных электрического и магнитного полей. Мы ограничимся при этом нерелятивистским случаем, когда скорость заряда и «с, и потому его импульс р = тч; как мы увидим ниже, для этого необходимо, чтобы электрическое поле было мало по сравнению с магнитным. Направление Н выберем за ось л, а плоскость, проходящую через векторы Н и Е, за плоскость ул. Тогда уравнения движения тФ = еЕ + -]тсН] с запишутся в виде е. тх = -уН, с ту=еЕ, — — хН, (22.1) с тй = еЕ . Из третьего уравнения вцдно, что вдоль оси е заряд движется равномерно-ускоренно, т.
е. — + Пеес. (22.2) 2т Умножая второе из уравнений (22.1) на г и складывая с первым, находим 11........е — (х + еу) + 1а1(х + гу) = 1 — Е 1Й т (а1 = еН/тс). Решение этого уравнения, где х+ гу рассматривается как неизвестное, равно сумме решения этого же уравнения без правой части и частного решения уравнения с правой частью. Первое есть ае '"~, второе — еЕ, (тпа = сЕ, (Н. Таким образом, -1ИВ1 сЕ1 х+Зу = ае + —. Н Постоянная а, вообще говоря, комплексная. Написав ее в виде а = ОЕЕН С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ О И СЕ, МЫ ВИДИМ, Чта ПОСКОЛЬКУ а УМНО- жается на е ™, то, выбирая соответствующим образом начало отсчета времени, мы можем придать фазе се любое значение. Выберем ее так, чтобы а было вещественно.
Тогда, отделяя в х + гу мнимую и вещественную части, находим х = асовоЛ+с —, у = — ав1поЛ. Ер (22.3) диижение 3АРядА В пООтОянных пОлях При этом в момент времени 1 = О скорость направлена по оси х. Мы видим, что компоненты скорости частицы являются периодическими функциями времени;их средние значения равны — сН х= —" у=О. Н' Р У вЂ” "«1, (22.5) абсолютные же величины ЕР и Н могут быть произвольными.
Интегрируя еще раз уравнения (22.3) и выбирая постоянные интегрирования так, чтобы при 1 = О было х = у = О, получаем а сЕР х = — в1Н~Л+ в./ Н б (22. 6) в а у = -(созоИ вЂ” 1). Рассматриваемые как параметрические уравнения кривой, эти уравнения определяРис. 6 ют собой так называемую трохоиду. В зави- симости от того, больше или меныпе абсолютная величина а, чем абсолютная величина сЕР,1Н, проекция траектории частицы на плоскость ху имеет вид, изображенный соответственно на рис. ба и рис. бб.
Если а = — ОЕР/Н, то (22.6) переходит в сЕР х = "(м8 — з1пмс), (22.7) у = "(1 — созы1), мН т. е. проекция траектории на плоскость ху является циклоидой (рис. 6 в). Э ту среднюю скорость движения заряда в скрещенных электрическом и магнитном полях часто называют скоростью электрического дрейфа. Ее направление перпендикулярно к обоим полям и не зависит от знака заряда. В векторном виде ее можно записать как (22.4) Все формулы этого параграфа применимы, если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света; мы видим, что для этого требуется, в частности, чтобы электрическое и магнитное поля удовлетво- и яли слави ю 88 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ.
П1 Задачи 1. Определить релятивистское движение заряда в параллельных однородных электрическом и магнитном полях. Р е ш е и и е. Магнитное поле не влияет на движение вдоль совместного направления Е и Н (ось г), которое происходит, следовательно, под действием одного лишь электрического поля; поэтому согласно з 20 находим йаг + (сеЕ1)г еЕ Для движения в плоскости ху имеем уравнения: е р = — Нс„, с е рг — — — — Ни, с или 11 .. еН .
1еНс Ж вЂ” (Р. + 1Рг) = - — (с-+ сг) = - (Р*+ 1Рг). с 4'„„„ Отсюда р, + грг — — рге где рг — постоянное значение проекции импульса на плоскость ху, а вспомогательная величина у введена согласно соотношению Ж Жр = еНс е' откуда ее Е с1 = — з11 — у. еЕ Н Далее имеем — Р б',... еН 11(х + гу) р + грг = р е Ге = """ (х + гу) =— с С 11 У откуда ) Задача о движении во взаимно перпендикулярных, но не одинаковых по величине полях Е и Н надлежащим преобразованием системы отсчета сводится к задаче о движении в чисто электрическом или чисто магнитном поле (см. З 25). х = — з1пу у = — сову сР1 . ОР1 (2) еН еН Формулы (1), (2) вместе с формулой = — сп — у ес Е (3) еЕ Н определяют в параметрическом виде движение частицы.
Траектория представляет собой винтовую линию с радиусом срг!ен и монотонно возрастающим шагом. При этом частица движется с убывающей угловой скоростью у = сНс,1е"„„„и стремящейся к с скоростью вдоль оси г. 2. Определить релятивистское движение заряда во взаимно перпендикулярных и равных по величине электрическом и магнитном полях ) . Р е ш е н и е. Выбирая ось г вдоль направления Н, а ось р — в направлении Е и полагая Е = Н, напишем уравнения движения: НРЕ е 11РР / с, 1 11Р, — = — Ест, — — — сЕ~1 — — ~, — =0 1й с ' Ж ( с )' 1й ДВН2КЕНИЕ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННЫХ ПОЛЯХ 89 и, как их следствие, уравнение (17.7): ~1й„„„ = Е Гг.
М Из этих уравнений имеем р, = сопзс, А'„„„ — ср, = сопзь = о. Используя также равенство 2 2 2 2 2 2 4'„„„— с р, = (Р„„„+ ср,) 1е' „„— ср,) = с рг + е (где е = тп с + с р, = сопзс), находим 2 2 е"„„+ср, = — (с рг+е ), О и затем О с Рг+е 2 2 2 4' „= — + 2 2а сзрз + е Рг = — — + 2с 2ос Далее пишем: 4>р / е'„„с 1 4'„„„— = еЕ) А'„„„— ) = еЕ18„„— ср ) = еЕО, й1 с откуда е с з 2еЕ1 = (1+ — )р„+ рз Для определения траектории в уравнениях дх ср ~11 Г„„' переходим к переменной рг согласно Ж = А„„„Нрг/еЕО, после чего интегрирование приводит к формулам У = Рг г = Рг.
(2) 2аеЕ еЕО Формулы (1), (2) полностью определяют в параметрическом виде (параметр рг) движение частицы. Обратим внимание на то, что наиболее быстро возрастает скорость движения в направлении, перпендикулярном Е и Н (ось х). 3. Определить скорость дрейфа ведущего центра орбиты иерелятивистской заряженной частицы в квазиоднородном постоянном магнитном поле (Н.
2П)веп, 1940). Р е ш е н и е. Предположим сначала, что частица движется по круговой орбите, т.е. ее скорость не имеет продольной (вдоль поля) составляющей. Представим уравнение траектории частицы в виде г = Рь(1) ~- Ь(г), где В.(1) — радиус-вектор ведущего центра (медленно меняющаяся функция времени), а Ь(1) — быстро осциллирующая величина, изображающая вращательное движение вокруг ведущего центра. Усредним действующую на частицу силу (е/с))гН(г)) по периоду осцилляционного (кругового) движе- 90 ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. П1 ния (см. 1, 'З 30). Входяп1ую в нее функцию Н(г) разложим по степеням ~; Н(г) = Н(К) -~- (ь ч)Н(К). При усреднении члены первого порядка по осциллирующей величине ~(0 обращаются в нуль, а член второго порядка приводит к появлению дополнительной силы 1 = — [ь (ь 11 ) Н].
Для кругового движения ь = 22[ьп], где п — единичный вектор в направлении Н; частота ьг = еН/тс; еь— скорость частицы в ее круговом движении. Среднее значение произведений компонент вектора Ь, вращающегося в плоскости (перпендикулярной к и): 1 г ь ьз — — — ьб„р, 2 где б р — единичный тензор в этой плоскости. В результате получим 1 = — ~ [[пч]Н]. В силу уравнений с11ГЕ Н = О, ГОС Н = О, которым удовлетворяет постоянное поле Н(К), имеем [[П27]Н] = — и 61ю Н+ (П27)н+ [пгое Н] = (П17)Н = Н(п~7)п+ п(п17Н).
Нас интересует поперечная (по отношению к и) сила, приводящая к смеще- нию орбиты; она равна 2 2р где р — радиус кривизны силовой линии поля в данной точке, а и — единичный вектор, направленный от центра кривизны к этой точке. Случай, когда частица обладает также и продольной (вдоль и) скоростью ещ сводится к предыдущему, если перейти к системе отсчета, вращающейся вокруг мгновенного центра кривизны силовой линии (траектории ведущего центра) с угловой скоростью е~~ /р. В этой системе частица не имеет продольной скорости, но появляется дополнительная поперечная сила — центробежная сила, равная итэ~~~/р.
Таким образом, полная поперечная сила г гп1 2 1.Ь = М вЂ” ( Ег + — ) . р 2 Эта сила эквивалентна постоянному электрическому полю с напряженностью гг/е. Согласно (22.4) она вызывает дрейф ведущего центра орбиты со скоростью 2 Рз = — [с,~ -~ ~ ][ип]. ь2р ' 2 Знак этой скорости зависит от знака заряда.
ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 3 23. Тензор электромагнитного поля В З 17 мы вывели уравнения движения заряда в поле, исходя из функции Лагранжа (16.4), написанной в трехмерном виде. Выведем теперь те же уравнения непосредственно из действия (16.1),написанного в четырехмерных обозначениях. Принцип наименыпего действия гласит ь бб =б (( — А — 1АА ') = О. с а (23.1) Замечая, что ббэ = ~Яхсбх', находим (пределы интегрирования а и д мы будем ниже для краткости опускать): бб= — ) ( " ' б-1А;Аб*'б--бА,А*')=б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
