II.-Теория-поля (1109679), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Единственным инвариантом вектора по отношению к поворотам является его квадрат гг = Ег — Нг + 21БН. Поэтому ИНВАРИАНТЫ НОЛЯ вещественные величины Е2 — Н2 и ЕН являются единственными инвариантами тензора Р',ы Если и'з ~ О, то вектор и' можно представить в виде и' = = ап, где и —.единичный (и = 1) комплексный вектор. Путем надлежащего комплексного поворота можно направить и вдоль одной из координатных осей; при этом, очевидно, п станет вещественным и тем самым определит направления обоих векторов Е и Н: и' = (Е + гН)п. Другими словами, векторы Е и Н станут параллельными друг другу. Задача Определить скорость системы отсчета, в которой электрическое и магнитное поля параллельны.
Р е ш е н и е. Систем отсчета К', удовлетворяющих поставленному условию, существует бесконечное множество: если найдена одна нз них, то тем же свойством будет обладать и любая другая система, движущаяся относительно первой со скоростью, направленной вдоль общего направления полей Е и Н. Поэтому достаточно определить ту из этих систем, скорость которой перпендикулярна к обоим полям. Выбирая направление скорости в качестве оси х и воспользовавшись тем, что в системе К' поля Е,' = Н,' = О, Е„'Х,' — Е'„Н„' = О, получим с помощью формул (24.2), (24.3) для скорости у' системы К' относительно исходной системы следующее уравнение: т'/с (ЕН) 1+ Ъ™/с Ее -~- Н (из двух корней квадратного уравнения должен, разумеется, быть выбран тот, для которого Ъ' ( с).
А Л.Д. Ландау и В.М. Лифшиц. "Гом П ГЛАВА 1У УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 5 26. Первая пара уравнений Максвелла Из выражений 1 дА Е = — — — — бган ср с 01 Н = го1А, легко получить уравнения, содержащие только Е и Н. Для этого определим го1 Е: 1д го1 Е = — — — го1 А — го1 ягас1 ~р. с дс Но ротор всякого градиента равен нулю; следовательно, го1Е = — — —. (26.1) с д1 Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения го1 Н = А и помня, что дивергенция всякого ротора равна нулю, находим с11у Н = О.
26. 2 ) Уравнения Максвелла — основные уравнения электродинамики — были впервые сформулированы Дж. Максвеллом в 1860-х годах. ( ) Уравнения (26.1), (26.2) составляют первую пару уравнений Максвелла' ) . Заметим, что эти два уравнения еще не определяют вполне свойства поля. Это видно уже из того, что они определяют изменение магнитного поля со временем (производную ссН,ссгс), но не определяют производной дЕ/д1. Уравнения (26.1), (26.2) можно написать в интегральной форме. Согласно теореме Гаусса с11у Н с11' = Н с11', где интеграл справа берется по всей замкнутой поверхности, охватывающей объем, по которому взят интеграл слева. На основании (26.2) имеем Нс11' = О.
(26.3) ПЕРВАЯ ПАРА Ъ РАВНЕНИЙ МАКОВЕЛЛА Интеграл от вектора по некоторой поверхности называется потоком вектора через эту поверхность. Таким образом, поток магнитного поля через всякую замкнутую поверхность равен нулю. Согласно теореме Стокса го1ЕЖ = ЕЛ, где интеграл справа берется по замкнутому контуру, огибающему поверхность, по которой интегрируется слева. Из (26.1) находим, интегрируя обе части по некоторой поверхности: ЕП1 = — — — / Нп'1'. (26.4) сд1 / Интеграл вектора по замкнутому контуру называется циркуляцией этого вектора по контуру.
Циркуляцию электрического поля называют также электродвижунАей силой в данном контуре. Таким образом, электродвижущая сила в некотором контуре равна взятой с обратным знаком производной по времени от потока магнитного поля через поверхность, ограничиваемую этим контуром. Уравнения Максвелла (26.1), (26.2) можно написать и в четырехмерных обозначениях. Исходя из определения тензора электромагнитного поля дАА дА. де' деА ' легко убедиться,что 1 + ' + А 0 дГдА дГи дХВ (26.5) д ' д* д*" Выражение, стоящее в левой части равенства, представляет собой тензор третьего ранга, антисимметричный по всем трем индексам. Его компоненты не равны тождественно нулю лип|ь при 1 ф й ф 1. Всего, таким образом, имеется четыре различных уравнения, которые, как легко убедиться подстановкой выражений (23.5), совпадают с уравнениями (26.1), (26.2).
Антисимметричному 4-тензору третьего ранга можно привести в соответствие дуальный ему 4-вектор, получающийся умножением тензора на е'ь~~ и упрощением по трем парам индексов (см. ~ 6). Таким образом, (26.5) можно написать в виде егЬЬВ 1 (26.6) де~ явно выражающем тот факт, что здесь имеется всего четыре независимых уравнения. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ. 1У й 27. Действие для электромагнитного поля Действие о' для всей системы, состоящей из электромагнитного поля вместе с находящимися в нем частицами, должно состоять из трех частей: (27.1) (27.2) О 7 есть та часть действия, которая обусловлена взаимодействием межлу частицами и полем. Согласно ~16 имеем для системы частиц: У, = — А'11 ~,1,'.
(27.3) В каждом из членов этой суммы Аь есть потенциал поля в той точке пространства и времени, в которой находится соответствующая частица. Сумма Я„, + О'„7 — уже известное нам действие (16.1) для зарядов в поле. Наконец, Оу есть та часть действия, которая зависит только от свойств самого поля, т. е. Оу -действие для поля в отсутствие зарядов. До тех пор, пока мы интересовались только движением зарядов в заданном электромагнитном поле, Оу, как не зависящее от частиц, нас не интересовало, так как этот член не мог повлиять на уравнения движения частицы.
Он становится, однако, необходимым, когда мы хотим найти уравнения, определяющие само поле. Этому соответствует то обстоятельство, что нз части ОГВ+Ол,у действия мы нашли только два уравнения, (26.1), (26.2), которые еще недостаточны для полного определения поля. Для установления вида действия поля Оу мы будем исходить из следующего весьма важного свойства электромагнитных полей. Как показывает опыт, электромагнитное поле подчиняется так называемому принципу суперпозиции: поле, создаваемое системой зарядов, представляет собой результат простого сложения полей, которые создаются каждым из зарядов в отдельности.
Это значит, что напряженности результирующего поля в каждой точке равны сумме (векторной) напряженностей в этой точке каждого из полей в отдельности. 5=57+5 +Я 7. Я„, есть та часть действия, которая зависит только от свойств частиц, т.е. действие для свободных частиц. Для одной свободной частицы оно дается формулой (8.1). Если имеется несколько частиц, то их общее действие равно сумме действий для каждой частицы в отдельности. Таким образом, действие для электгомхгнитного пОля Всякое решение уравнений поля является полем, которое может быть осуществлено в природе. Согласно принципу супер- позиции сумма любых таких полей тоже должна быть полем, которое может быть осуществлено в природе, т.е.
должно удовлетворять уравнениям поля. Как известно, линейные дифференциальные уравнения как раз отличаются тем свойством, что сумма любых его решений тоже является решением. Следовательно, уравнения для поля должны быть линейными дифференциальными уравнениями. Из сказанного следует, что под знаком интеграла в действии 5у должно стоять выражение, квадратичное по полю. Только в этом случае уравнения поля будут линейными, — уравнения поля получаются варьированием действия, а при варьировании степень подынтегрального выражения понижается на единицу.
В выражение для действия Яу не могут входить потенциалы поля, так как они не определены однозначно (в Я„,у эта неоднозначность была не существенна). Поэтому оу должно быть интегралом некоторой функции от тензора электромагнитного поля Х',ы Но действие должно быть скаляром и потому должно быть интегралом от некоторого скэляра. Таковым является лишь произведение Г;ЙЕ' ') . Таким образом, оу должно иметь вид ОУ = а ГЬР ЙЪ |11, |Л| = дхс«У|«з, где интеграл берется по координатам по всему пространству, а по времени между двумя заданными моментами; а есть некоторая постоянная. Под интегралом стоит Р|ЙЕ«" = 2(Н2 — Е2). Поле Е содержит производную дА,1дг.
Но легко видеть, что (дА||дс)2 должно входить в действие с положительным знаком (а потому и 1 ) Подынтегральная функция в Оу не должна содержать производных от гы, так как в функцию Лагранжа могут входить, помимо координат системы, только их первые производные по времени, а раль «координата (т.
е. переменных, по которым производится варьирование в принципе наименьшего действия) играют в этом случае потенциалы Аь поля; это аналогично тому, что в механике функция Лагранжа для механической системы содержит только координаты частиц и их первые производные по времени. Что касается величины е™"Г,ьг| |225), то она является (кэк было отмечено в примеч. на с. 95) полной 4-дивергенцией, и поэтому ее добавление в подынгегральное выражение в ЯГ вообще не отразилось бы на «уравнениях движенияь. Интересно, что тем самым зта величина исключается из действия уже независимо от того обстоятельства,что она представляет собой не истинный, а псевдоскаляр.
ГЛ. 7У 102 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Оу = — — РдЕ1~<И, сЮ = с сМ сЬ с~у йя. (27.4) 1677с В трехмерном виде (27. 5) Другими словами, функция Лагранжа электромагнитного поля Ь = 1 1(Š— Н )с1'2'. 8х / (27.6) Действие для поля вместе с находящимися в нем зарядами имеет вид 3= — А 1' 2 — 1 -А ш* — 7 Р; Р' зо.
(27.7) / с 16хс „( Подчеркнем, что теперь уже заряды отнюдь не считаются малыми, как при выводе уравнений движения заряда в заданном поле. Поэтому Аь и Г,ь относятся к истинному полю, т.е. внешнему полю вместе с полем, созданным самими зарядами; Аь и Г;ь зависят теперь от положения и скорости зарядов. ) На яду с гауссовой системой единиц пользуются также и так называе- Р мой системой Хевисайда7 в которой а = — 1/4. В этой системе единиц имеют более удобный вид уравнения поля (в них не входит тогда 4х), но зато 4х входит в закон Кулона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
