II.-Теория-поля (1109679), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При наличии заряженных частиц тензор энергии-импульса всей системы представляет собой сумму тензоров энергии-импульса электромагнитного поля и частиц, причем в последнем частицы рассматриваются как невзаимодействующие. Для определения вида тензора энергии-импульса частиц необходимо описывать распределение масс в пространстве с помощью чплотности массыу, аналогично тому, как мы ') Тот факт, что приведение симметричного 4-тензора Т*~ к главным осям может оказаться невозможным, связан с псевдоевклндовостью 4-пространства (см, также задачу к 8 94). 120 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ. 1У д = ~~1 т с(г — г ), (33.4) где г, — радиус-векторы частиц, а суммирование производится по всем частицам системы. Плотность импульса частиц напишется в виде дсис.
Как мы знаем, эта плотность представляет собой компоненты Те~(с тензора энергии-импульса, т. е. То = деви (ст = 1,2,3). Но плотность массы является временной компонентой 4-вектора Л дх — — (аналогично плотности зарядов, см. 2 28). Поэтому тензор с <Ы энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц есть Т = Гсс — — = 1сси и —. 1й 1~х Вх 1 йдс (33.5) Л'А ВГ Лс Этот тензор, как и следовало, симметричен.
Убедимся прямым вычислением в том, что энергия и импульс системы, определенные как суммы энергий и импульсов поля и частиц, действительно сохраняются. Другими словами, мы должны проверить уравнение (Т(п) й + Трйй) (33.6) выражающее эти законы сохранения. Дифференцируя выражение (33.1), пишем дх' 4 ~2 дх1 дх' * дх' Подставив сюда, согласно уравнениям Максвелла (26.5) и (30.2), дХ1 дГ дГ,1 дГН 411 .~ — .7 дх1 дх' дх ' дх" с получим дх" 41Г '1 2 дх' 2 дх- дхй Перестановкой индексов легко показать, что первые три члена взаимно сокращаются и остается дт'"'," ,' =--Рд' (33.7) дх с описываем распределение точечных зарядов с помощью их плотности. Аналогично формуле (28.1) для плотности зарядов, плотность масс можно написать в виде з зз тензОР энеггии-импульОА электРОИАГнитнОГО пОля 121 Дифференцирование же тензора (33.5) дает Первый член в этом выражении обращается в нуль в силу сохранения массы невзаимодействующих частиц.
Действительно, с~х величины д — составляют 4-вектор «тока масс», аналогичный Ж 4-вектору тока зарядов (28.2); сохранение же масс выражается равенством нулю 4-дивергенции этого 4-вектора: (ды) 0 (33.8) точно так же, как сохранение заряда выражается уравнением (29.4). Таким образом, имеем дТбоь сЬ~ ди, ди, дхь сМ дхь 41 * =1хс — ' =Дс — '. пи; р 1хс — * = -Егьи, дз с ди; 1 ЬсЬ 1 1гс — = — г,'ври — = — Е;ьу . сУ с гй с Таким образом, дТ~" ~ ь 1 „* = -Гьу" (33.9) Складывая с (33.7), мы действительно получаем нуль, т.
е. приходим к уравнению (33.8). Задача Найти закон преобразования плотности энергии, плотности потока энергии и компонент тензора напряжений при преобразовании Лоренца. Р е ш е н и е. Пусть система координат Х' движется относительно системы л вдоль оси х со скоростью Ъ'. Применяя формулы задачи 1 Зб к Для дальнейшего преобразования воспользуемся уравнением движения зарядов в поле, написанным в четырехмерном виде (23.4): Ыи, е тс — = -Р;ьи . ~Ь с При переходе к непрерывному распределению заряда и массы имеем, по определению плотностей 1А и р: 1т(ггг = р/е.
Поэтому можно написать уравнение движения в виде 122 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ. 1У симметричному тензору Тт", находим 112 22(+2*2*)' 1 — Ъ /с с с 2 2 2[( 2) т *т]' 1 — 1тг/сг 1, 2 0 (о — 2 — о — — '11т ), 1 2~,2~ ч* 2 т 2 )' г О„„= Оту, 11„= О„„ат, = 1т„„, 1:27у1'" Г "1 н аналогичные формулы для О', и 1т,. $ 34. Теорема вириала Поскольку след тензора энергии-импульса электромагнитного поля равен нулю, то сумма Т,' для любой системы взаимодействующих частиц сводится к следу тензора энергии-импульса одних лишь частиц. Воспользовавшись выражением 133.5), имеем: ч т тое ттэ 2 о г 7 = Т~ ) = )гси;и — ' = 22с — = 22с ~/1 — —.
111 1 2' Перепишем этот результат, возвратившись к суммированию по частицам, т. е. представив 12 в виде суммы 133.4). Тогда получим окончательно: ) г Т1: ~> тпас ~/ 1 г Б(г г ). 134. 1) а Отметим, что согласно этой формуле для всякой системы имеем Т,'>О, 134.2) причем знак равенства имеет место только для электромагнитного поля без зарядов. Рассмотрим замкнутую систему заряженных частиц, совершающих финитное движение, при котором все характеризующие систему величины 1координаты, импульсы) меняются в конечных интервалах') . ) 11ри этом предполагается также, что электромагнитное поле системы достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности.
В конкретных задачах это условие может означать необходнмосгь пренебрежения излучением электромагнитных волн системой. 123 ТЕОРЕМА ВИРИАЛА 1 34 Выведем соотношение, связывающее полную энергию системы с некоторыми усредненными по времени ее характеристиками. Усредним уравнение 1дТо дТл + =0 с д4 дяе (см. (32.12)) по времени. При этом среднее значение производной дТое/д$, как и вообще производной от всякой величины, меняющейся в конечном интервале, равно нулю ') . Поэтому находим д тд — 0 д е а Умножаем это уравнение на хо и интегрируем по всему про- странству.
Интеграл преобразуем по теореме Гаусса, имея в виду, что на бесконечности Та = 0 и потому интеграл по поверхности исчезает: à — Р гд "сЛ1= — / Т г1'г'= — /' б Т 41к'=О дх х или окончательно: Т Л~= О. (34.3) На основании этого равенства мы можем написать для инте— — — е грала от Т; = Т„+ Те т;гл' = Т г1 где О --полная энергия системы. Наконец, подставляя сюда (34.1),найдем / 2 2 4'=7 тс /1 — —. а 2/ с а (34.4) ) Пусть у есть такая величина. Тогда среднее значение производной ф/44 за некоторый интервал времени Т есть ф 1 /дУ„РТ)-У1о) де т/ а т е Поскольку ~ф меняется только в конечных пределах,то при неограниченном увеличении Т это среднее значение действительно стремится к нулю.
124 УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ГЛ. 1У Это соотношение является релятивистским обобщением теоремы вириала классической механики (см. 1, 210). Для малых скоростей оно переходит в 4' — ~т с 2 а а т.е. полная энергия системы за вычетом энергии покоя частиц равна взятому с обратным знаком среднему значению кинетической энергии, в согласии с результатом, получаемым из классической теоремы вириала для системы частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Необходимо отметить, что полученные формулы носят до некоторой степени формальный характер и нуждаются в уточнении. Дело в том, что энергия электромагнитного поля содержит члены с бесконечным вкладом от собственной электромагнитной энергии точечных зарядов (см. 2 37). Чтобы придать смысл соответствующим выражениям, следует опустить эти члены, считая, что собственная электромагнитная энергия уже включена в кинетическую энергию частицы (9.4).
Это означает, что мы должны произвести «1перенормировку» энергии, сделав замену в (34.4) - -Ы":."' ° а где Е, и Н --поля, создаваемые а-й частицей. Аналогично в (34.3) следует заменить ') ~: -/-"-~1'.'- а й 35. Тензор энергии-импульса макроскопических тел Наряду с тензором энергии-импульса системы точечных частиц (33.5) нам понадобится в дальнейшем выражение этого тензора для макроскопических тел, рассматриваемых как сплошные. Поток импульса через элемент поверхности тела есть не что иное, как действующая на этот элемент сила.
Поэтому — оа,у11д ) Отметим, что без такой замены выражение — 1т ж=/ + л +~~~ есть существенно положительная величина и не может обратиться в нуль. з Зо ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПРЛЬОА МАКРОСКОПИ !ЕСКИХ ТЕЛ 125 (35.1) Легко найти теперь выражение для тензора энергии-импульса, в любой системе отсчета.
Для этого введем 4-скорость и' макроскопического движения элемента объема тела. В системе покоя этого элемента и' = (1,0). Выражение для Т™ должно быть выбрано так, чтобы в этой системе он приобретал вид (Зог.1). Легко проверить,что таковым является Тгй = (р+е)и'и — рй', (35 2) или для смегпанных компонент Т,' = (р+ е)и;и~ — рб~. Этим и определяется тензор энергии-импульса макроскопического тела. Соответствующие выражения для плотности энер- 1 ) Строго говоря, закон Паскаля имеет место талька для жидкостей и газов. Однако для твердых тел максимальные возможные разности давлений в разных направлениях ничтожны по сравнению с теми давлениями, которые могут играть раль в теории относигельности, так что их учет не представляет интереса.
есть сг-я компонента силы, действующей на элемент поверхности п1. Воспользуемся теперь системой отсчета, в которой данный элемент объема тела покоится. В такой системе отсчета имеет место закон Паскаля, т.е. давление р, оказываемое данным участком тела, одинаково по всем направлениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно производится') . Поэтому мы можем написать сг у11д = — рф„, откуда тензор напРЯжений под = — Рбод. Что касаетсЯ компонент Т о, дающих плотность импульса, то для данного элемента объема тела в рассматриваемой системе отсчета они равны нулю. Компонента же Т, как всегда, равна плотности энергии тела, которую мы обозначим здесь через е; е/с есть при этом плотность массы, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
