II.-Теория-поля (1109679), страница 26
Текст из файла (страница 26)
) В соответствии с определением, принятым в квантовой механике. 14З ОИОТЕМА ЗАРЯДОВ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛВ Определенные таким образом величины Яп2 связаны с ком(ю) понентами вектора дипольного момента Й формулами Я> — — Ы„Я~В~ — — ш — (с(х ш 2с(у). (41.14) ъ'2 Величины же ф„связаны с компонентами тензора .0 5 соотно- (2) шениями (РЗ = — —.02ю Я = ш — (0~, ~ ~0„„), (2) 1 (2) 2 у'6 (г) О~г = — (.0хх — 0„„~ 240.„). 2ъ'6 (41.15) Р„= р /(гх~ — у — 22) 4хпуг12 и т.д. Выбираем оси координат вдоль осей зллипсоида с началом в его центре; из соображений симметрии очевидно, что эти же оси являются главными осями тензора Р В.
Преобразованием х=ха, у=уЬ, 2=2с интегрирование по объему эллипсоида хз уз — + — + — =1 2 52 2 сводится к интегрированию по объему сферы радиуса 1 х -гу +2 =1. В результате получаем Р, = — (2а — Ь вЂ” с ), Р„„= — (25 — а — с ), е Е 2 2 2 5 5 Р,. = — (2с — а — Ь ), 5 42 где е = — ВЬср — полный заряд эллипсонда. 3 $ 42.
Система зарядов во внешнем поле Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внептнем электрическом поле. Обозначим теперь потенциал этого внешнего поля через ~р(г). Потенциальная энергия каждого из зарядов есть Задача Определить квадрупольный момент однородно заряженного эллипсоида относительно его центра.
Р е ш е н н е. Заменяя суммирование в (41.3) интегрированием по объему эллипсоида, имеем 144 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. Е П)о) + бГП) + П)2) + (42.2) В этом разложении первый член есть бГ(~) а (42.3) где ~ро — значение потенциала в начале координат. В этом приближении энергия системы такова, как если бы все заряды находились в одной точке. Второй член разложения Введя напряженность Ео поля в начале координат и дипольный момент с1 системы, имеем о'с ) = — с1Ео.
(42.4) Полная сила, действующая на систему во внешнем квазиоднородном поле, есть, с точностью до рассмотренных членов, Р = Ео ~~) е + (Кгас) с1Е)о Если полный заряд равен нулю, то первый член исчезает и тогда Р = (с1~7)Е, (42.5) т. е. сила определяется производными напряженности поля (взя- тыми в начале координат). Полный же момент действующих на систему сил есть К = ~[г е Ео[ = [с1Ео) т. е. определяется самой напряженностью поля. (42.6) е ~р(г ), а полная потенциальная энергия системы равна бс = ~ е ~р(г ).
(42.1) а Выберем снова систему координат с началом внутри системы зарядов; га †ради-вектор заряда еа в этих координатах. Предположим, что внешнее поле слабо меняется на протяжении системы зарядов, т. е. является по отношению к этой системе квазиоднородным. Тогда мы можем разложить энергию У в ряд по степеням г„: 145 ОИСТЕМА ЗАРЯДОВ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ где Е1 — поле первой системы. Подставляя для Е1 выражение (40.8), находим (д, Ь)Л' — З(а,К)(д,К) 5 (42.7) где В.
вектор расстояния между обеими системами. Для случая, когда у одной из систем сумма зарядов отлична от нуля (и равна е), получаем аналогичным образом; 5)К У =ев Пз 5 (42. 8) где К вЂ” вектор, направленный от диполя к заряду. Следующий член разложения (42.1) равен 11 = — Аэ ех хд 12) 1х ' 5д 155 2 дх дхо Здесь мы, как и в 241, опустили индексы, указывающие номер заряда; значения вторых производных от потенциала берутся в начале координат.
Но потенциал ~р удовлетворяет уравнению Лапласа дх дх дхо Поэтому мы можем написать: Ф ) = — э е~х, х — -б Вг ), г 1 д~5оо х 7 1 Й 2дх дхо 3 или, окончательно, )2., д'55 о дх„дхо (42.9) Общий член ряда (42.2) может быть выражен через определенные в предыдущем параграфе 2 -польные моменты Р,„. Для О) Рассмотрим две системы с равными нулю суммами зарядов в каждой из них и дипольными моментами Й1 и Й2, причем их взаимное расстояние велико по сравнению с их собственными размерами.
Определим потенциальную энергию 11 их взаимодействия. Для этого можно рассматривать одну из этих систем как находящуюся в поле второй. Тогда 146 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. Е (42.10) где Г, д, ~р-- сферические координаты точки, а а~„, — постоянные коэффициенты. Составляя сумму (42.1) и учитывая определение (41.13), получим Ур~ = ~ а1 Яи. (42.11) т= — 1 3 43. Постоянное магнитное поле Рассмотрим магнитное поле, создаваемое зарядами, совершающими финитное движение, при котором частицы остаются все время в конечной области пространства, причем импульсы тоже остаются всегда конечными. Такое движение имеет стационарный характер, и представляет интерес рассмотреть среднее (по времени) магнитное поле Н, создаваемое зарядами; это поле будет теперь функцией только от координат, но не от времени, т, е, будет постоянным.
Для того чтобы найти уравнения, определяющие среднее магнитное поле, усредним по времени уравнения Максвелла 1 дЕ 4К. 61РН = О, го1 Н = — — + — ь сд1 с Первое из них дает просто (43.1) Во втором уравнении среднее значение производной дЕ/д1, как и вообще производной от всякой величины, меняющейся в ко- нечном интервале, равно нулю (см. примеч. на с. 123). Поэтому второе уравнение Максвелла приобретает вид — 4Š—. го$Н = — 3. С (43.2) Эти два уравнения и определяют постоянное поле Й.
Введем средний векторный потенциал А согласно этого надо предварительно разложить потенциал у(г) в ряд по шаровым функциям; общий вид такого разложения; ПООТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ Подставив это в уравнение (43.2), получим игай спвг А — Ь А = — 1. С йеА = О. (43.3) Тогда уравнение, определяющее векторный потенциал постоянного магнитного поля, приобретает вид — 4ЕЕ ЬА = — — ). с (43 4) Решение этого уравнения легко найти, заметив, что (43.4) вполне аналогично уравнению Пуассона (36.4) для скалярного потенциала постоянного электрического поля, причем вместо плотности заряда р стоит плотность тока ~/с.
По аналогии с решением (36.8) уравнения Пуассона мы можем написать С/ П' (43.5) где ГГ--расстояние от точки наблюдения поля до элемента объема и'е'. В формуле (43.5) можно перейти от интеграла к сумме по зарядам, подставляя вместо 3 произведение рч и помня, что все заряды точечные. При этом необходимо иметь в виду, что в интеграле (43.5) ГГ является просто переменной интегрирования и потому, конечно, не подвергается усреднению. Если же написать вместо интеграла ) ~ ~Л' сумму 2, то ГГ будут радиус- В В векторами отдельных частиц, меняющймися при движении зарядов. Поэтому надо писать С ГГ (43.6) где усредняется все выражение, стоящее под чертой.
Зная А, можно найти напряженность поля: Н = го$ А = го1 — ( ~ дК С/ ГГ Но мы знаем, что векторный потенциал поля определен неоднозначно, и поэтому на него можно наложить любое дополнительное условие. На этом основании выберем потенциал А так, чтобы 148 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. »' Операция ГОС производится по координатам точки наблюдения. Поэтому го1 можно перенести под знак интеграла и при дифференцировании считать 3 постоянным. Применяя известную формулу го1 1а = 1 го1 а + [8гас1 ~ а), — 1 где 1" и а любые скаляр и вектор, к произведению 1 —, находим 1 —.1 (1В.] гоФ вЂ” = ргас1— йз» и, следовательно, с/ тс (43.7) (радиус-вектор В.
направлен из дЪ' в точку наблюдения поля). Это так называемый закон Био и Саеара. й 44. Магнитный момент — 1~-» е ъ с ~-~ )Ве — Г,! (44.1) Как и в э 40, разложим это выражение по степеням г . С точностью до членов первого порядка (индекс а для краткости опускаем): А = ~1 етс — — ~~1 е»с(сЧ вЂ” » . сйс с Лс В первом члене можно написать: ее = — ~~1 ег. 4 »Й Но среднее значение производной от меняющейся в конечном интервале величины ~; ег равно нулю. Таким образом, для А Рассмотрим среднее магнитное поле, создаваемое системой стационарно движущихся зарядов на больших расстояниях от этой системы.
Введем систему координат с началом внутри системы зарядов, аналогично тому, как мы делали в 340. Обозначим опять радиус-векторы отдельных зарядов через г, а радиус-вектор точки, в которой мы ищем поле, через Ко. Тогда Во — г„есть радиус-вектор от заряда ес к точке наблюдения. Согласно (43.6) имеем для векторного потенциала: 149 МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ остается выражение А = — — ~еч(гч — ) =, ~~~ еч[гКе). Преобразуем его следующим образом. Замечая, что ч = г, мы можем написать [помня, что Ке есть постоянный вектор): ~ е[Кег)ч = — — ~ ег[гКе) + — ~ е[ч[гКе) — г[чКо)]. 1 Ы 1 2Н г При подстановке этого выражения в А среднее значение от пер- вого члена [с производной по времени) снова обратится в нуль, и мы получим А =, 7 е[ч[гКе) — г[чКо)].
Введем вектор т = — ~~> е[гч], 1 2с [44.2) называемый магнитным моментом системы. Тогда [44.3) Зная векторный потенциал, легко найти напряженность магнитного поля. С помощью формулы го1[аЬ] = [ЬЗ7)а — [а17)Ь+ айчЬ вЂ” Ь йча находим Б = го1 ]гв —.~ = т йч — — [йзз7) —. Г-Во) — . В.а Во аз ] Лз Воз Далее, при Ке ф О Ва 1 1 йч — = Ко ягас) — + — йч Ке = О Лз Лз [нз'7) — = — [гп'7)Ко + К е [гпс7 — ) = —— Во 1 / 1 1 пз ЗВо ОззВа) аз Лаз 11аз ) 11аз Лз Таким образом, — ЗНОпп) — пз [44.4) Лз где и — снова единичный вектор в направлении Ко.
Мы видим, что магнитное поле выражается через магнитный момент такой 150 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. Ч же формулой, какой электрическое поле выражается через дипольный момент (см. (40.8)). Если у всех зарядов системы отношение заряда к массе одинаково, то мы можем написать: пт = — ~ е[гтг) = ~ т[гтг[. Если скорости всех зарядов п «с, то ттг есть импульс р заряда, и мы получаем е ч~[ [ с (44.5) 2тс 2тс где М = 2 [гр| есть механический момент импульса системы. Таким образом, в этом случае отношение магнитного момента к механическому постоянно и равно е/(2тс). Задача Определить отношение магнитного и механического моментов для системы из двух зарядов (скорости е « с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
