II.-Теория-поля (1109679), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Из определения (50.1) видно, что компоненты тензора 7 В, а с ним и р Р, связаны соотношениями РВР = РР„ (50.4) (т.е. тензор, как говорят, эрмитов). В силу этих соотношений диагональные компоненты рм и рзз вещественны (причем ры + + Рзз = 1, а рш = рш. Всего, следовательно, поляризационный тензор характеризуется тремя вещественными параметрами. 171 ГАО'ГИ'ЗНО ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ ОВЕТ з 50 Выясним условия, которым должен удовлетворять тензор род для вполне поляризованного света. В этом случае Ео = сопз1, и поэтому имеем просто .7 Р = УР б = ЕооЕор (50.5) (без усреднения), т.
е. компоненты тензора могут быть представлены в виде произведений компонент некоторого постоянного вектора. Необходимое и достаточное условие для этого выражается равенством нулю определителя ~Род~ = РыР22 Р12Р21 = О. (50.6) Противоположным случаем является негголяризованный, или естественный, свет. Полное отсутствие поляризации означает, что все направления (в плоскости уз) вполне эквивалентны. Другими словами, поляризационный тензор должен иметь вид Р„л = -6 л.
(50.7) При этом определитель ~р Р~ = 1/4. В общем случае произвольной поляризации этот определитель имеет значения между 0 и 1/4') . Степенью поляризации назовем положительную величину Р, определенную согласно 1 г1 р2) (50.8) Она пробегает значения от 0 для неполяризованного до 1 для поляризованного света. Произвольный тензор р Р может быть разложен на две части симметричную и антисимметричную. Из них первая 1 2 в силУ эРмитовости Род ЯвлЯетсЯ вещественной. АнтисимметРичная же часть, напротив, чисто мнима.
Как и всякий антисимметричный тензор ранга, равного числу измерений, она сводится к псевдоскаляру (см. примеч. на с. 36): 1 ь — (РР— Ре )= — — е НА, где А вещественный псевдоскэляр, е е единичный антисим- ) В положительности определителя для любого тензора вида (б0.1) легко убедиться, рассматривая для простоты усреднение как суммирование по ряду различных дискретных значений и применяя известное алгебраическое неравенство д 172 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Р1 метричный тензор (с компонентами е!2 = — ет! = 1).
Таким образом, поляризационный тензор представится в виде !' Рад = Еад еаЗА! ЕаР = Еда! (50.9) т. е. сводится к одному вещественному симметричному тензору и одному псевдоскаляру. Для поляргвованной по кругу волны вектор Ео = сонэк, причем Еоз = ~(Еоь Легко видеть, что при этом Я д = бад/2, а А = ~1.
Напротив, для линейно поляризованной волны постоянный вектор Жо может быть выбран вещественным, так что А = О. В общем случае величину А можно назвать степенью круговой поляризации; она пробегает значения от +1 до — 1, причем эти предельные значения отвечают соответственно право- и лево-циркулярно поляризованным волнам. Вещественный тензор оаР, как и всякий симметричный тензор, может быть приведен к главным осям с двумя различными главными значениями, которые обозначим через Л! и Лз. Направления главных осей взаимно перпендикулярны. Обозначая через и( ) и п( ) орты (единичные векторы) этих направлений, можно представить Я л в виде Зад = Лдп~,"~пд + Лзпа~пР, Л! + Л2 = 1.
(50.10) Величины Л! и Лз положительны и пробегают значения от 0 до 1. Пусть А = О, так что Р л = Я и. Каждый из двух членов в (50.10) имеет вид произведения двух компонент постоянного вещественного вектоРа (у'Л!п(~) или А!!Лзп(~)). ДРУгими словами, каждый из этих членов соответствует линейно поляризованному свету.
Далее, мы видим, что в (50.10) нет члена, содержащего произведения компонент этих двух волн. Это означает, что обе части можно рассматривать как физически независимые друг от друга, или, как говорят, некогеренп!ные. Действительно, если две волны независимы друг от друга, то среднее значение произведения Еа ЕР равно произведению средних значений каждого (!) (з) из множителей, и поскольку каждое из последних равно нулю, то и Еа Е„= О. (!) (з) Таким образом, мы приходим к результату, что при А = 0 частично поляризованную волну можно представить как наложение двух некогерентных волн (с интенсивностями, протюрциональными Л! и Лз), линейно поляризованных во взаимно 1 ЬО ХАО'ГИЧНО ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ ОВЕТ перпендикулярных направлениях') . (В общем же случае комплексного тензора род можно показать, что свет может быть представлен как наложение двух некогерентных эллиптически поляризованных волн, эллипсы поляризации которых подобны и взаимно перпендикулярны, см.
задачу 2). Пусть ~р угол между осью 1 (ось у) и ортом пП); тогда п~ ) = (сов ю, яшар), п~ ) = ( — япсо, совсс). Вводя величину 1 = Л1 — Л2 (пусть Л1 > Л2), представим компоненты тензора (50.10) в следующем виде: 1 / 1+1сов2сэ 1яп2~р ) . (50.11) 2 1 1яп2~р 1 — 1сов2~р) ' Таким образом, при произвольном выборе осей у, х поляризационные свойства волны можно характеризовать следующими тремя вещественными параметрами: А-- степень круговой поляризации, 1--степень максимальной линейной поляризации, сов угол между направлением п~ ) максимальной поляризации и осью у. Вместо этих параметров может представить определенные преимущества другой набор трех параметров: ~1 =1зш2оэ, (2 = А, (з =1соз2~р (50.12) (их называют параметрами Стокса). Поляризационный тензор выражается через них согласно 1 /1+ Ь.З 6 — г(2'1 р д= — 1 . ).
(50.13) Все три параметра пробегают значения между — 1 и +1. Параметр Сз характеризует линейную поляризацию вдоль осей у и ю значению сз = 1 отвечает полная линейная поляризация вдоль оси у, а значению Сз = — 1 — -вдоль оси я Параметр же (1 характеризует линейную поляризацию вдоль направлений, составляющих 45' с осью у: значению ~ = 1 отвечает полная поляризация под углом сэ = я/4, а значению С1 = — 1--под углом оэ = — я/4') . ') Определитель ф„е) = ЛэЛса пусть Л, > Лю тогда степень поляризации, определенная согласно (80.8), равна Р = 1 — 2Лю В данном случае (А = О) для характеристики степени поляризации света часто пользуются и так называемым коэ44ициентом деполяризации, определенным как отношение Лг/Лн ) Для полностью эллиптнчески поляризованной волны с осями эллипса Ь1 и Ьэ (см.
2 48) параметры Стокса равны = 0; Ьэ = ~2Ь1Ьэ/Х 4э = (Ь1 Ьг)(3. При этом ось р направлена вдоль Ьн а два знака в (э отвечают направлениям Ьэ в положительном или отрицательном направлении осн ю 174 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. У! Определитель тензора (50.13) равен 4 (50.14) Задачи 1. Разложить произвольный частично поляризованный свет на «естественную» и «поляризованную» части. Р е ш е н и е. Такое разложение означает представление тензора з л в виде з э = з о э + Ео Еоэ 00 00 ~ы* 2 Первый член отвечает естественной, а второй — поляризованной частям света. Для определения интенсивностей этих частей замечаем, что определи- тель 2 Представив з„с = зр л в виде (50.13) н решая это уравнение, получим ,тиз =,т(1 — Р).
Интенсивность же поляризованной части Рю = ~Е~ОЮ ~~ = з' — У~Ю = э'Р. Поляризованная часть света представляет собой, вообще говоря, эллиптически поляризованную волну, причем направления осей эллипса совпадают с главными осями тензора о ю Величины Ьг и Ьз осей эллипса и угол зо, образуемый осью Ьг с осью у, определяются из равенств: Ьз + Ьз — — ЛР, 2Ь»Ьз = УРбз, ОЯ2Уз = —. сз 1 ) Для прямого доказательства замечаем, что поскольку поле волны по- перечно в любой сисгеме отсчета, то заранее очевидно, что тензор р о останется двумерным и в новой системе отсчета. При этом преобразование р гз в р' а оставляет неизменной сумму квадратов модулей р„зр„"З (действительно, вид преобразования не зависит от конкретных поляризационных свойств света, а для вполне поляризованной волны эта сумма равна 1 в любой системе отсчета).
В силу вещественности этого преобразования вещественная и мнимая части тензора р а (50.9) преобразуются независимо, а потому остаются неизменными также и суммы квадратов компонент каждой из них в отдельности, выражающиеся соответственно через 1 и А. Сравнив с (50.8), мы видим, что Р = згз~» Ц» 6. (50.15) Таким образом, при заданной общей степени поляризации Р возможны различные тины поляризации, характеризуемые значениями трех величин С1, С2, Сз с заданной суммой их квадратов; эти величины образуют как бы вектор заданной длины. Отметим, что величины (2 = А и Я +Ц 'з= 1 инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это обстоятельство в значительной степени очевидно уже из самого смысла этих величин как степеней круговой и линейной поляризации').
175 РАЗЛО»КЕНИЕ ЭЛЕКТГОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ 2. Представить произвольную частично поляризованную волну в виде наложения двух некогерентных зллиптически поляризованных волн. Р е ш е н и е. Для зрмитового тензора р р «главные оси» определяются двумя единичными комплексными ортами п(пп« = 1), удовлетворяющими ураанЕниям Р рир = Ли». Главные значения Лх и Лг даются корнями уравнения ~р.р — Лбчр~ = О. Умножив обе части уравнения (1) на и*„, имеем 1 Л = р ри*„ир = — ~Ее и„'~2, Х откуда видно, что Лх, Лг вещественны и положительны.
Умножив уравнения р рир — — Лхи, р рир — — Л и »1Х РЦ »гн »гр на и« (первое),и на и (второе), затем вычтя почленно одно из другого ОР бц и воспользовавшись зрмитовостью тензора р„р, получим Отсюда следует, что пх»п» 1 = О, т. е. орты пх 1 и пх 1 ортогональны друг хц хгн 1Ц хгх дру~у. Искомое разложение волны осуществляется формулой р„в=Ли и +Ли и хц Оц" хгх хгр Всегда можно выбрать комплексную амплитуду так, чтобы из двух взаимно перпендикулярных компонент одна была вещественна, а другая мнима (ср.
~ 48). Положив их =Ьх, иг =хЬ2 РЦ ОЦ (где теперь Ьх и Ьг подразумеваются нормированными условием Ь, + 62 — — 1), 2 2 получим тогда из уравнения п п * = О: »Ц 121* и, =162, иг =61. ОО ОО Отсюда видно, что эллипсы обоих зллиптически поляризованных колебаний подобны (имеют одинаковые отношения осей), причем один из них повернут на прямой угол относительно другого. 3.
Найти закон преобразования параметров Стокса при повороте осей у, 2 на угол»г. Р е ш е н и е. Искомый закон определяется связью параметров Стокса с компонентами двумерного тензора в плоскости уг и дается формулами 81 =(1сов2»р — (гв1п2»р, 82 — — 81вхп2»р+82сов2»р, 8 51. Разложение электростатического поля Поле, созданное зарядами, тоже можно формально разложить по плоским волнам (в интеграл Фурье). Это разложение, однако, существенно отличается от разложения электромагнитных волн в пустоте. Действительно, поле зарядов не удовлетворяет однородному волновому уравнению, а потому и каждый 176 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Е! Ьу = — 4лед(г). (51.1) Разложим ~р в пространственный интеграл Фурье, т. е.
представим его в виде '2Р е РК 2 ' а й <4~х ~1йу Г1й»' (51'2) (2Л)2 ' При этом ~Р~, = У(г)е™дР'. Применив к обеим частям равенства (51.2) оператор Лапласа, находим 2 ЖГ Ь~о = — й~е'~'~р~, "(2Л)2' так что компонента Фурье от выражения Ь~р есть (А ) ~2 С другой стороны, можно найти (Ьу)ю взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения (51.1): (Ьу)~, = — 4леб(г)е '~'~Л" = — 42ге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
