II.-Теория-поля (1109679), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Р е ш е н и е. Выбирая начало координат в центре инерции обеих ча- стиЦ, бУДем иметь тггг -~- шгтг = О и Рг = — Рг = Р, гДе Р— импУльс относительного движения. С помощью этих соотношений найдем 2с т, тз тг+те й 45. Теорема Лармора Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем постоянном однородном магнитном поле. Средняя (по времени) сила, действующая на систему, Е = Е '- [ЕН[ = д "у, е [гн], с |й с обращается в нуль как среднее значение производной по времени от всякой величины, меняющейся в конечных пределах. Среднее же значение момента сил К = ~ — [г[тгН[] отлично от нуля.
Его можно выразить через магнитный момент системы, для чего пишем, раскрывая двойное векторное произведение: К = у -(хг(ГН) — Н(чг)) = ~ -'(хг(ГН) — -Н вЂ” г2). 151 1 45 ТЕОРЕМА ЛАРМОРА При усреднении второй член обращается в нуль, так что К = ~~> — е(гН) = — ~ е[ч(гН) — г(ЕН)) с 2с (последнее преобразование аналогично произведенному при вы- воде (44.3)), или окончательно К = [ИН]. (45.1) Обратим внимание на аналогию с формулой (42.6) электрического случая.
Функция Лагранжа системы зарядов во внешнем постоянном однородном магнитном поле содержит дополнительный (по отношению к функции Лагранжа замкнутой системы) член Ан = ~) -Ач = ~) — [Нг]ч = ,') — [ге]Н (45.2) (мы воспользовались выражением (19.4) для векторного потенциала однородного поля). Вводя магнитный момент системы, имеем Ьн = тН. (45.3) Обратим внимание на аналогию с электрическим полем: в однородном электрическом поле функция Лагранжа системы с равным нулю полным зарядом и дипольным моментом содержит член Ьк = с1Е, являющийся в этом случае потенциальной энергией системы зарядов, взятой с обратным знаком (см. 2 42). Рассмотрим систему зарядов, совершающих финитное движение (со скоростями и « с) в центрально-симметричном электрическом поле, создаваемом некоторой неподвижной частицей. Перейдем от неподвижной системы координат к системе, равномерно вращающейся вокруг оси, проходящей через неподвижную частицу.
Согласно известной формуле скорость ч частицы в новой системе координат связана с ее же скоростью АР в старой системе соотношением ч = ч + [Йг], где г радиус-вектор частицы, а Й угловая скорость вращающейся системы координат. В неподвижной системе функция Лагранжа системы зарядов есть 152 ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ. У где У вЂ” потенциальная энергия зарядов во внешнем электрическом поле вместе с энергией их взаимодействия друг с другом.
У является функцией от расстояний зарядов до неподвижной частицы и от их взаимных расстояний; при переходе к вращающейся системе координат она остается, очевидно, неизменной. Поэтому в новой системе функция Лагранжа будет Ь = ~~ — (ч + [Йг)) — Г 2 Предположим, что у всех частиц отношение е/т зарядов к массам одинаково, и положим (45.4) й = — Н. 2тс Тогда при достаточно малых Н (когда можно пренебречь члена- ми с Н2) функция Лагранжа приобретает вид Ь = ~ ™м + — ~~~ е[Нг]ч — Г 2 2с Мы видим, что она совпадает с функцией Лагранжа, которой описывалось бы движение рассматриваемых зарядов в неподвижной системе координат при наличии постоянного магнитного поля (ср.
(45.2)). Таким образом, мы приходим к результату, что в нерелятивистском случае поведение системы зарядов с одинаковыми отношениями е/т, совершающих финитное движение в центрально-симметричном электрическом поле и в слабом однородном магнитном поле Н, эквивалентно поведению этой же системы зарядов в том же электрическом поле в системе координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью (45.4). Это утверждение составляет содержание так называемой теоремы Лармора, а угловая скорость й = еН/(2тс) называется лармороеой частотой.
К этому же вопросу можно подойти с другой точки зрения. При достаточно слабом магнитном поле Н ларморова частота мала по сравнению с частотами финитного движения данной системы зарядов, и можно рассматривать относящиеся к этой системе величины, усредненные по временам, малым по сравнению с периодом 2л/й. Эти величины будут медленно (с частотой й) меняться со временем.
Рассмотрим изменение среднего механического момента системы М. Согласно известному уравнению механики производная М равна моменту действующих на систему сил К. Поэтому 153 'ГЕОРЕМА ЛАРМОРА имеем, с помощью формулы (45.1): — = К = ~тН1 Ж Если отношение е/т для всех частиц в системе одинаково, то механический и магнитный моменты пропорциональны друг другу, и с помощью формул (44.5) и (45.4) находим (45.5) Это уравнение означает, что вектор Я (а с ним и магнитный момент И) вращается с угловой скоростью — Й вокруг направления поля, сохраняя при этом свою абсолютную величину и угол, образуемый им с этим направлением (так называемая ларморова прецессил).
ГЛАВА Ъг1 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 5 46. Волновое уравнение гдн го1Е = — —— сдС' с11г Н = О, (46.1) где го$Н = — —, с дг' г11гЕ = О. (46.2) Эти уравнения могут иметь отличные от нуля решения. Это значит, что электромагнитное поле может существовать даже при отсутствии каких бы то ни было зарядов. Электромагнитные поля, существующие в пустоте при отсутствии зарядов, называют электромагнитными волнами. Мы займемся теперь исследованием свойств таких полей. Прежде всего отметим, что эти поля обязательно должны быть переменными. Действительно, в противном случае дН/д1 = дЕ/д~ = О, и уравнения (46.1), (46.2) переходят в уравнения (36.1), (36.2) и (43.1), (43.2) постоянного поля, в которых, однако, теперь р = О, 1 = О.
Но решения этих уравнений, определенные формулами (36.8) и (43.5), при р = О, 1 = О обращаются в нуль. Выведем уравнения, определяющие потенциалы электромагнитных волн. Как мы уже знаем, в силу неоднозначности потенциалов всегда можно наложить на них некоторое дополнительное условие. На этом основании выберем потенциалы электромагнитных волн так, чтобы скалярный потенциал был равен нулю: (46.3) Тогда Гдл Е = — — —, Н = го1 А. с дг (46.4) Электромагнитное поле в пустоте определяется уравнениями Максвелла, в которых надо положить р = О, г = О.
Выпишем их еще раз: 155 2 46 волновое уРАВнение Подставляя оба эти выражения в первое из уравнений (46.2), находим 1дА го$го1А = — ЬА+6гас)йчА = — — —. (46.5) с д1 Несмотря на то, что мы уже наложили одно дополнительное условие на потенциалы, потенциал А все же еще не вполне однозначен. Именно, к нему можно прибавить градиент любой не зависящей от времени функции (не меняя при этом ~р).
В частности, можно выбрать потенциал электромагнитной волны таким образом, чтобы ЙУА = О. (46. 6) Действительно, подставляя Е из (46.4) в сг)у Е = О, имеем дА д с))у — = — с))у А = О, д1 д1 т.е. с))уА есть функция только от координат. Эту функцию всегда можно обратить в нуль прибавлением к А градиента от соответствующей не зависящей от времени функции. Уравнение (46.5) приобретает теперь вид 1 д'А ЛА — —,—, = О.
(46.7) Это и есть уравнение, определяющее потенциал электромагнитных волн. Оно называется уравнением д'Аламбера или волновым уравнением ') . Применяя к (46.7) операции гоФ и д/д1, убедимся в том, что напряженности Е и Н удовлетворяют таким же волновым уравнениям. Повторим вывод волнового уравнения в четырехмерном виде.
Для этого напишем вторую пару уравнений Максвелла для поля в отсутствие зарядов в виде о дх (уравнение (30.2) с у' = 0). Подставив сюда г"", выраженные через потенциалы: 2ь дА" дА* Е' дх, дх~ ' ) Волновое уравнение иногда записывают в виде ОА = О, где д 1 д и=— 2 2 д*,д' " д12 есть так называемый оператор д'Аламбера. 156 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ.
Ч! получим д'А" д'А* дт,дя" дяьдт" Наложим на потенциалы дополнительное условие д.4" =0 даь (46.8) (46.9) (это условие называют лоренцевым, а об удовлетворяющих ему потенциалах говорят как о потенциалах в лореицевой калибровке). Тогда в уравнении (46.8) первый член выпадает и остается , =О. (46.10) Это и есть волновое уравнение, записанное в четырехмерном виде'). В трехмерной форме условие (46.9) имеет вид — — + с))у А = О. тджх (46.11) с д1 Оно является более общим, чем использованные нами выше условия !р = О, г))РА = 0; потенциалы, удовлетворяющие этим последним, удовлетворяют также и условию (46.11).
В отличие от них, однако, условие Лоренца имеет релятивистски инвариантный характер: потенциалы, удовлетворяющие ему в одной системе отсчета, удовлетворяют ему и во всякой другой системе (между тем как условия (46.3), (46.6) нарушаются, вообще говоря, при преобразовании системы отсчета). й 47. Плоские волны Рассмотрим частный случай электролгагнитных волн, когда поле зависит только от одной координаты, скажем х (и от времени). Такие волны называются плоскими. В этом случае уравнения поля принимают вид — с =О, (47.1) др дтг где под у подразумевается любая компонента векторов Е или Н. ') Следует отметить, что условие (46.9) не определяет еще выбор потенциалов вполне однозначным образом. именно, к А можно прибавить ига!1 7, а 1 ду из !Р при этом вычесть — —, причем, однако, функция 7 не произвольна, а с дг' должна удовлетворять, как легко убедиться, волновому уравнению О 7 = О.
157 ПЛООКИЕ ВОЛНЫ Для решения этого уравнения перепишем его в виде ( — — с — )( — +с — )/=О и введем новые переменные Х Х вЂ” — 77 =1+ —, с С так что Тогда и уравнение для / д~/ — = О. д(дп Очевидно, что его решение имеет вид / = Л(6+ Ь(О) где /4 и /2 — произвольные функции. Таким образом, (47. 2) Пусть, например, /2 = О, так что / = /г(г — х/с). Выясним смысл этого решения. В каждой плоскости х = сопзФ поле меняется со временем; в каждый данный момент поле различно для разных х. Очевидно, что поле имеет одинаковое значение для координат х и моментов времени 1, удовлетворяющих соотношениям 1 — х/с = сопз1, т.
е. х = сопв1 +с~. Это значит, что если в некоторый момент ~ = 0 в некоторой точке х пространства поле имело определенное значение, то через промежуток времени 1 то же самое значение поле имеет на расстоянии с~ вдоль оси х от первоначального места. Мы можем сказать, что все значения электромагнитного поля распространяются в пространстве вдоль оси х со скоростью, равной скорости света с. Таким образом, /1 (8 — х/с) представляет собой плоскую волну, бегушую в положительном направлении оси х. Очевидно, что /2(г + х/с) представляет собой волну, бегущую в противоположном, отрицательном направлении оси х.
158 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Р! В ~ 46 было показано, что потенциалы электромагнитной волны можно выбрать так, чтобы ~о = О, причем с1гтг А = О. Выберем потенциалы рассматриваемой теперь плоской волны именно таким образом. Условие г1гт А = О дает в этом случае д.4* О дх поскольку все величины не зависят от у и г. Согласно (47.1) будем иметь тогда и дАА !!даат = О, т. е. дА !гд4 = сопэ$.
Но производная дА/д4 определяет электрическое поле, и мы видим, что отличная от нуля компонента Ае означала бы в рассматриваемом случае наличие постоянного продольного электрического поля. Поскольку такое поле не имеет отношения к электромагнитной волне, то можно положить А = О. Таким образом, векторный потенциал плоской волны может быть всегда выбран перпендикулярным к оси х, т. е, к направлению распространения этой волны. Рассмотрим плоскую волну, бегушую в положительном направлении оси х; в такой волне все величины, в частности и А, являются функциями только от ~ — х/с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
