II.-Теория-поля (1109679), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Из формул 1 дА Е = — — —, Н = го4 А с д4 мы находим поэтому Е = — -А', Н = [с7А] = [!7(4 — -) А'] = — -~пА'], (47.3) где штрих обозначает дифференцирование по 1 — х!!с, а и единичный вектор вдоль направления распространения волны. Подставляя первое равенство во второе, находим Н = ~пЕ]. (47.4) Мы видим, что электрическое и магнитное поля Е и Н плоской волны направлены перпендикулярно к направлению распространения волны. На этом основании электромагнитные волны называют поперечными. Из (47.4) видно, далее, что электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны друг к другу и одинаковы по абсолютной величине. Поток энергии в плоской волне В = — '-]ЕН] = — 'МпЕ]], и поскольку Еп = О, то Я= — Еп= — Нп.
Г Э Г 2 4зг 4гг 159 ПЛООКИЕ ВОЛНЫ Таким образом, поток энергии направлен вдоль направления распространения волны. Поскольку И' = (Е~ + Н2)/82г = Е2/4п есть плотность энергии волны, то можно написать; (47.5) Я = сИ'и, (47.6) Как и следовало, поток импульса направлен по направлению распространения волны и равен по величине плотности энергии.
Найдем закон преобразования плотности энергии плоской электромагнитной волны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Для этого в формулу 2 И' =,, (И" + 2 — 2ЬŠ— — 2гг„'я) (см. задачу к з 33) надо подставить Я = сИ' соэс2, о = — И' соз сг, где сг' угол (в системе Л') между осью т' (вдоль которой направлена скорость и') и направлением распространения волны.
В результате находим (1 + (Ъ /с) сов о ) И' = И" 1 — г' /с (47.7) Поскольку И' = Е~/4п = Н2/4п, то абсолютные величины напряженностей поля волны преобразуются как 2/'гг". Задачи 1. Определить силу, действуюшуа2 на стенку, от которой отражается (с коэффициентом отражения Л) падающая на нее плоская электромагнитная волна. в согласии с тем,что поле распространяется со скоростью света. Импульс единицы объема электромагнитного поля есть Я/с2. Для плоской волны это дает (И'/с)п.
Обратим внимание на то, что соотношение между энергией Иг и импульсом И'/с электромагнитной волны оказывается таким же, как для частиц, движущихся со скоростью света (см. (9.9)). Поток импульса поля дается максвелловским тензором напряжений гг,э (33.3). Выбирая по-прежнему направление распространения волны в качестве оси х, найдем, что единственная отличная от нуля компонента Т д есть ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ.
Р! Р е ш е н и е. Сила Г, действующая на единицу площади стенки, дается потоком импульса через эту площадь, т.е. есть вектор с составляющими = — ачя!Чс — !! ВГ!Ю где 74 — вектор нормали к поверхности стенки, а о в и о в — компоненты тензоров напряжений падающей и отраженной волн. Учитывая (47.6), по- лучим Г = И'п(ХН) + И" п'(Г7п'). По определению коэффициента отражения имеем: И!' = 17ИГ.
Введя также угол падения О (и равный ему угол отражения) и переходя к компонентам, найдем нормальную силу (световое давление) Ул = И'(1+ К)соз'О и тангенциальную силу !'! = ИГ(1 — Н) зш О соз д. 2. Методом Гамильтона — Якоби определить движение заряда в поле плоской электромагнитной волны. Р е ш е ни е. Уравнение Гамильтона †Яко, записанное в четырехмерной форме: б'~( —, -~- — А,) ( ь -~- — Аь) = т'с'. дт' с дяь с дА* !1А' дх' !16 для переменного поля волны это условие эквивалентно равенству А'й, = О. Ищем решение уравнения (1) в виде где 7 = ((,у) — постоянный вектор, удовлетворяющий условию !!! = т с (д = — Г,т* —.решение уравнения Гамильтона-Якоби для свободной частицы с 4-импульсом р* = 1!).
Подстановка в (1) приводит к уравнению е ! с1Г 2е —.А!А! — 27 — — — ~.А! = О, с !(б с где постоянная 7 = е! Г"*. Определив отсюда Р, получим д = — 1!х' — — / Г',А'46+ / А!А!дб. су / 2ус .! (2) Переходя к трехмерным обозначениям с фиксированной системой отсчета, выберем направление распространения волны в качестве оси т. Тогда Тот факт, что поле представляет собой плоскую волну, означает, что А' являются функциями одной независимой переменной, которую можно представить в виде б = А,х', где Й' — постоянный 4-вектор с равным нулю квадратом, А,/с! = О (ср. следующий параграф).
Потенциалы подчиним лоренцеву условию 2 47 ПЛООКИЕ ВОЛНЫ 1 е 1 е р = — хуб — — Ау ~Щ, 2 = — х„б — — .4„цс, 1 2 у су 2 72с ./ е Обобщенный импульс Р = р+ — А и энергия 4' определяются диффес реицированием действия по координатам и времени; это дает е е р„=х„— — Аю р, =х, — — А„ с с у тс+х2 е е ра = — — + — — хА+ А2; 2 27 су 2 ус 6' = ( у+ р,)с.
Если усреднить эти величины по времени, то члены с первой степенью периодической функции А(б) обратятся в нуль. Пусть система отсчета выбрана таким образом,что вней частица в среднем покоится,т.е. ее средний импульс равен нулю. При этом будет 2 7 =тс + — А2. 2 2 2 С с2 Тогда окончательные формулы для определения движения примут вид 2 ;, / (А' - А2) (б 2,гс' е у= — — ~ А,дб, 2 с1 = б+, / (А — А ) Нб; 2~~~~ ./ су Е г — 2 2 е р= 2(АА)~ру=Аюр 27с с 2 е" = су ф — (А — А2). 2 ус е = — — А с (4) Е Л.Д.
Ландау и Н.М. Лифшиц. "Гом П б = с1 — т, а постоянная 7 = у~ — у'. Обозначив двумерный вектор 7,„7, через х, получим из условия 7,)* = (1 ) — (7 ) — хд = пз с . ус (г пгс +х 7 Выберем потенциалы в калибровке, в которой Р = О, а А(б) лежит в плоскости уз. После этого выражение (2) примет вид 7 тс+хз е l Е 1 2 оо = хт — — (с1+ т) — б-> — ~ хАЫб — ~ А дб.
2 27 еу 27с ./ Согласно общим правилам (см. 1, 2 47) для определения движения надо приравнять производные дЯ/дх, дЯ/д7 некоторым новым постоянным, которые можно обратить в нуль соответствующим выбором начала координат и начала отсчета времени. Таким образом, 22олучим параметрические формулы (б — параметр); 162 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Р! й 48. Моиохроматическая плоская волна (48.1) В плоской волне (распространяющейся вдоль оси х) поле является функцией только от ~ — х/с.
Поэтому если плоская волна монохроматична, то ее поле является простой периодической функцией от 1 — х/с. Векторный потенциал такой волны удобнее всего написать в виде вещественной части комплексного выражения: А = Ве1Аое ' й *!'!1. (48.2) Здесь Ао некоторый постоянный комплексный вектор. Очевидно, что и напряженности Е и Н в такой волне будут иметь аналогичный вид с той же частотой ы. Величина Л=— !Р (48.3) называется длиной волны; это есть период изменения поля по координате х в заданный момент времени 1.
Вектор к= — и (48.4) с (где и -- единичный вектор в направлении распространения волны) называется волновым вектором. С его помощью можно представить (48.2) в виде А = Ве (Асей ')), (48.5) не зависящем от выбора осей координат. Величину, стоящую с множителем 4 в показателе, называют фазой волны.
До тех пор, пока мы производим над величинами лишь линейные операции, можно опускать знак взятия вещественной части и Важный частный случай электромагнитных волн представляют волны, в которых поле является простой периодической функцией времени. Такая волна называется монохроматической. Все величины (потенциалы, компоненты полей) в монохроматической волне зависят от времени посредством множителя вида сов(аа + о), где ы циклическая частота (или просто частота) волны. В волновом уравнении вторая производная от поля по времени равна теперь д //с!Г = — ы / так что распределение поля по пространству определяется в монохроматической волне уравне- нием МОНОХРОМАТИ ГЕОКАЯ ПЛООКАЯ ВОЛНА оперировать с комплексными величинами как таковыми ') .
Так, подставив А = Ааеч~" в (47.3), получим связь между напряженностями и векторным потенциалом плоской монохроматической волны в виде Е = гйА, Н = 4рсА]. (48.6) Рассмотрим подробнее вопрос о направлении поля монохроматической волны. Будем для определенности говорить об электрическом поле Е = Бе) Еаей"™)) (все сказанное ниже относится, разумеется, в той же мере и к магнитному полю). Еа есть некоторый комплексный вектор.
Его квадрат Еа есть некоторое, вообще говоря, тоже комплексное г число. Если аргумент этого числа есть — 2сг (т. е. Еаг = ~Еаг~е г'о), то вектор Ь, определенный согласно Еа=Ье ', (48.7) будет иметь вещественный квадрат Ьг = )Еа~г. С таким определением напишем Е = Ке 1'Ьей"' ьп о) 7 (48.8) Представим Ь в виде Ь = Ь1+ еЬг, где Ь1 и Ьг — два вещественных вектора. Поскольку квадрат Ь г = 61~ — 6~ ~+ 24Ь1Ьг должен быть вещественной величиной, то Действительно, имеем Ке Айе В = — (Асс ™+ Аее' 'НВе *"'+ Все* '). 4 При усреднении члены, содержащие множители е™ с, обращаются в нуль, так что остается Не А Не В = — (АеВо + АеВе) = — Не (АВ*). 1 *, 1 4 2 ) Если какие-либо две величины А(1) и В(1) пишутся в комплексном виде А(1)=Аое *', Вф=Вее ™, то при образовании их произведения надо, разумеется, сначала отделить вещественную часть.
Но если, как это часто бывает, нас интересует лишь среднее (по времени) значение этого произведения, то его можно вычислить кэ.к — Ке 1АВ*). 1 2 164 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Ч! Ь|Ьз = О, т. е. векторы Ь! и Ьз взаимно перпендикулярны. Выберем направление Ь! в качестве оси у (ось х — по направлению распространения волны). Тогда из (48.8) имеем Ер — — 6! сов (со1 — 1сг + о), Е, = ~6з в)п (о!1 — 1сг + сс), (48.9) где знак плюс или минус имеет место в зависимости от того, направлен вектор Ъз в положительном или отрицательном направлении оси ю Из (48.9) следует, что (48.10) Мы видим, таким образом, что в каждой точке пространства вектор электрического поля вращается в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, причем его конец описывает эллипс (48.10). Такая волна называется зллиптически поляризованной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
