II.-Теория-поля (1109679), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Это отношение имеет размерность площади и называется эффективным сечением (или просто сечением) рассеяния. Пусть И есть энергия, излучаемая системой в телесный угол Ио (в 1 с) при падении на нее волны с вектором Пойнтинга 8. Тогда сечение рассеяния (в телесный угол ао) равно й~== 5 (78.1) (черта над буквой означает усреднение по времени). Интеграл от аа по всем направлениям есть полное сечение рассеяния.
Рассмотрим рассеяние, производимое одним неподвижным свободным зарядом. Пусть на этот заряд падает плоская моно- хроматическая линейно поляризованная волна. Ее электрическое поле можно написать в виде Е = Ео сов (1гг — ы1 + а). Будем предполагать, что скорость, приобретаемая зарядом под действием поля падающей волны, мала по сравнению со скоростью света, что практически всегда выполняется. Тогда можно считать, что сила, действующая на заряд, равна еЕ, а е силой — ~ИН1 со стороны магнитного поля можно пренебречь. с В этом случае можно также пренебречь влиянием смещения заряда при его колебаниях под влиянием поля.
Если заряд совершает колебания около начала координат, то можно тогда считать, что на него все время действует то поле, которое имеется в начале координат, т. е. Е = Ео сов(~Л вЂ” о). Поскольку уравнения движения заряда гласят тг = еЕ, а его дипольный момент д = ег, то (78. 2) 295 1 78 РАССЕЯНИЕ СВОБОДНЫМИ ЗАРЯДАМИ и дает гйп д = — ~1+, )= -(1+сов д), 1/ (п1«) 1 1 где д - .
угол между направлениями падающей и рассеянной волн (угол рассеяния). Таким образом, искомое сечение рассеяния неполяризованной волны свободным зарядом равно пег = — (,) (1+ сов д) по. (78.7) Наличие рассеяния приводит к появлению некоторой силы, действующей на рассеивающую частицу. В этом легко убедиться из следующих соображений. Падающая на частицу волна теряет в среднем в единицу времени энергию сИ и, где И' — средняя плотность энергии, а и полное сечение рассеяния. Поскольку импульс поля равен его энергии, деленной на скорость света, то падающая волна теряет при этом импульс, равный по величине И'о. С другой стороны, в системе отсчета, в которой заряд совершает лишь малые колебания под влиянием силы еЕ, и его скорость и поэтому мала, полный поток импульса в рассеянной волне равен, с точностью до членов высшего порядка по и/с, нулю (в 8 73 было указано, что в системе отсчета, в которой и = = О, излучения импульса частицей не происходит).
Поэтому весь теряемый падающей волной импульс «поглощается» рассеивающей частицей. Средняя действующая на частицу сила Г равна средней величине поглощаемого в единицу времени импульса, т. е. Г=ИИп (78.8) (и--единичный вектор в направлении распространения падающей волны). Отметим, что средняя сила оказывается величиной второго порядка по отношению к полю падающей волны, в то время как «мгновенная» сила (главная часть которой есть ЕЕ)— первого порядка по отношению к полю. Формулу (78.8) можно получить и непосредственно, усредняя силу торможения (75.10).
Первый член, пропорциональный Е, при усреднении обращается в нуль (как и среднее значение основной силы еЕ). Второй же член дает — 2е 2 8я1' е 2 Ез что ввиду (78.5) совпадает с (78.8). Задачи 1. Определить сечение рассеяния зллиптически поляризонанной аолны свободным зарядом. 296 ИЗЛХ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Р е ш е н и е. Поле волны имеет вид Е = А соз (22~+о)+В згп (221+О), где А и  — взаимно перпендикулярные векторы (см.
8 48). Аналогично выводу, проделанному в тексте, находим ло = 2; г [А,п'[2 + [Вп'[2 =(' ) 8о. тсг ) ггг+ Вг 2. Определить сечение рассеяния линейно поляризованной волны зарядом, совершающим (под влиянием некоторой упругой силы) малые колебания (так называемым осциллятором). Р е ш е н и е, Уравнение движения заряда в падающей на него волне Е = Ео соз (огг+ О) есть 2 Е г + 1оог = — Еа соз (ог$ + О), т где ого — частота его свободных колебаний. Для вынужденных колебаний имеем отсюда еЕо соя (~А + О) г= т(ого — ог ) Определяя отсюда 11, находим 1гп= ( 2) 2 2юп ооо тс (ого — ог ) (Π— угол между Е и и').
3. Определить полное сечение рассеяния света электрическим диполем, представляющим собой в механическом отношении ротатор. Частота волны ог предполагается большой по сравнению с частотой йо свободного вращения ротатора. Р е ш е н и е. При условии ог » По собственным вращением ротатора можно пренебречь и рассматривать только вынужденное вращение под влиянием момента сил [йЕ), действующего на него со стороны рассеиваемой волны. Уравнение этого движения: о'11 = [бЕ), где о' — момент инерции ротатора, а й угловая скорость вращения.
Изменение же вектора дипольного момента при его вращении без изменения абсолютной величины дается формулой д = [йд). Из этих двух уравнений находим (опуская член, квадратичный по малой величине Й): а = -'[[ И)й) = -(Ы' — (Еа) Ц. з з Предполагая все ориентации диполя в пространстве равновероятными и усредняя Й по ним, получаем в результате полное сечение в виде 1бяо~ 11 = йс192 4. Определить коэффициент деполяризации рассеянного света при рассеянии естественного света свободным зарядом.
Р е ш е н и е. Из соображений симметрии очевидно, что две некогерентные поляризованные компоненты рассеянного света (см. з 50) будут поляризованы линейно: одна в плоскости рассеяния (плоскость, проходящая через падающий и рассеянный лучи), а другая — перпендикулярно к этой плоскости. Интенсивности этих компонент определяются составляющими поля падающей волны в плоскости рассеяния (Ег) и перпендикулярно к ней (Е Г) и, согласно (78.3), пропорциональны соответственно [Еоп']~ = Е~~~ соэг д и я 78 РАССЕЯНИЕ СВОВОДНЫМИ ЗАРЯДАМИ (Ез и')Я = Ез з(д — угол рассеяния).
Поскольку для естественного падающего света Ез = Ез, то коэффициент деполяризации (см. примеч. на с. 173) р = соя д. 5. Определить частоту (ы') света, рассеянного движущимся зарядом. Р е ш е н и е. В системе координат, где заряд покоится, частота света при рассеянии не меняется (ы = ы').
В инвариантной форме это соотношение можно написать в виде где и* — 4-скорость заряда. Отсюда без труда получаем ы (1 — — сояд') = ы(1 — — сояВ), с с где В и В' — углы, составляемые падающей и рассеянной волной с направлением движения (е -- скорость заряда). 6. Определить угловое распределение рассеяния линейно поляризованной волны зарядом, движущимся с произвольной скоростью а в направлении распространения волны.
Р е ш ен и е. Скорость частицы ч перпендикулярна к полям Е и Н падающей волны, а потому перпендикулярна и к приобретаемому частицей ускорению Ач. Интенсивность рассеяния определяется формулой (73.14), в которой ускорение эч надо выразить через поля Е и Н согласно формуле, полученной в задаче к я 17. Разделив интенсивность 41 на вектор Пойнтинга падающей волны, найдем следующее выражение для сечения рассеяния: г 2 Ып = ( ) ~(1 — — ил Всояяя) — (1 — — ) соя В1 до, тс (1 — (ч/с) я1п В соя Р) с с где теперь В н ы — полярный угол и азимут направления и относительно системы координат с осью з вдоль направления Е и осью т вдоль ч (соя(и', Е) = соя д, соя(и', ч) = гйпдсоя1Р). 7. Определить движение заряда под влиянием средней силы, действующей на него со стороны рассеиваемой им волны.
Р е ш е н и е. Сила (78.8), а потому и скорость рассматриваемого движения направлены вдоль распространения падающей волны (ось т). Во вспомогательной системе отсчета Ке, в которой заряд покоится (напоминаем, что речь идет о движении, усредненном по периоду малых колебаний), действующая на него сила равна оИ"е, а приобретаемое им под влиянием этой силы ускорение ив ша = — И'э т (индекс нуль относится к величинам в системе отсчета Ке).
Преобразование же к исходной системе отсчета К (в которой заряд движется со скоростью е) осуществляется формулой, полученной в задаче к я 7, и формулой (47.7) и дает е 1 йч И'о 1 — е/с '1-"*7 * ('-"Ч Э"* я '+ "Й Интегрируя это уравнение, получаем Ип 1 1 4 ч/с 2 — е/с 2 тс 3 )( 1 — е/с1 — е/с 3 298 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х чем и опРеДелЯетсЯ в неЯвном виДе скоРость а = ттетт1И' как фУнкЦиЯ вРемени (постоянная интегрирования выбрана так, что а = 0 при 1 = 0).
8. Определить сечение рассеяния линейно поляризованной волны осциллятором, с учетом торможения излучением. Р е ш е н и е. Запишем уравнение движения заряда в падающей волне в виде г е -*,1 2е г г-~-атог = — Еое * + г 'г'. тп Зтпс В силе торможения приближенно 'г' = — отаг; тогда имеем г е г -т уг -т мог = — Еае' тп 2е где у = 1а~о.
Отсюда находим Зтс' е Е ем г = — Еа т ото то и" 'у 2 2 Сечение рассеяния: 8х е о— 8 79. Рассеяние волн с малыми частотами Рассеяние электромагнитных волн системой зарядов отличается от рассеяния одним (неподвижным) зарядом прежде всего тем, что благодаря наличию собственного движения зарядов в системе частота рассеянного излучения может быть отличной от частоты падающей волны. Именно, в спектральное разложение рассеянного излучения входят наряду с частотой ы падающей волны также и частоты от', отличающиеся от ы на любую из собственных частот движения рассеивающей системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
