II.-Теория-поля (1109679), страница 55
Текст из файла (страница 55)
313 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 1 83 В 3 6 был определен (в галилеевой системе координат) совершенно антисимметричный единичный псевдотензор е'~~~. Преобразуем его к произвольной криволинейной системе координат, причем обозначим его теперь через Е™т. Обозначение же е'ы~ сохраним для величин, определенных по-прежнему по значению еошз = 1 (или еошз = — 1). Пусть ти — галилеевы, а х' — произвольные криволинейные координаты.
Согласно общим правилам преобразования тензоров, имеем де'р де'" деи дхи Е'и = теин где 1 — определитель, составленный из производных дх'/дт'р, т.е. не что иное, как якобиан преобразования от галилеевых координат к криволинейным; Этот якобиан можно выразить через определитель метрического тензора я;ь (в системе л'). Для этого пишем формулу преобразования метрического тензора: дее де' и приравниваем определители, составленные из величин, стоящих в обеих частях этого равенства.
Определитель обратного тензора ~8'~) = 1Я. Определитель же (8и ~~~~ = — 1. Поэтому имеем 1Я = —,У~, откуда,1 = 1/~( — я. Таким образом, в криволинейных координатах антисимметричный единичный тензор 4-го ранга должен быть определен как Е~ыш 1 зыж (83.13) Опускание индексов у этого тензора осуществляется с помощью омлы фр у е ™Драть.КыВ и = — бегит~ так что его ковариантные компоненты Е;и = О' — я ели (83.14) В галилеевой системе координат т~' интеграл от скаляра по пй = сех пх пт пт тоже есть скаляр, т.е. элемент пй ведет себя при интегрировании как скаляр Я 6).
При преобразовании 314 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х к криволинейным координатам ай элемент интегрирования дй переходит в 2И' -+ — 422 = А/ — и 22й. у Таким образом, в криволинейных координатах произведение ,„/:фей при интегрировании по 4-объему ведет себя как инвариант'). Все сказанное в конце 3 6 относительно элементов интегрирования по гиперповерхности, поверхности и линии остается в силе и в криволинейных координатах, с тем только отличием, что несколько меняется определение дуальных тензоров.
Элемент «площади» гиперповерхности, построенный на трех бесконечно малых смещениях, есть контравариантный антисимметричный тензор егоеъ~; дуальный ему вектор получается при умножении На тЕНЗОР А( — ЯЕ;Мт, т. Е, РаВЕН / — аг18, = — -е;и Г1ОА / — И. (83.15) 6 Аналогично, если ф'" есть элемент поверхности (двухмерной), построенный на двух бесконечно малых смещениях, то дуэльный ему тензор определяется как') А/ — 8ф;~, — — — А/ — йе,м Й~ (83.16) Мы оставляем здесь обозначения сел; и дЯ, как и прежде, соответственно для — ем;225 и — е,м ее) (а не для их проМт ~ 1т 6 2 изведений на ъ( — я); правила (6.14)-(6.19) для преобразования 1 ) Если ~р — скаляр, то величину Ьу — я~р, дающую при интегрировании по дй инвариант, иногда называют скалярной плотностью. Аналогично говорят о векторной и тенэорной плотпностях ь/ — я А', ьг — я АГА и т.д. Эти величины дают вектор или тензор при умножении на элемент 4-объема 2)й (интеграл же ) А*~I — я 4й по конечной области, вообще говоря, не является вектором, так как законы преобразования вектора А* в разных точках области различны).
2) Подразумевается, что элементы оо™ и 4Г'~ построены по бесконечно малым смещениям 4х*, Ахн, Ахп* таким же образом, как они были определены в з 6, каков бы ни был геометрический смысл координат х'. 'Хогда оста- етсЯ в силе и пРежний фоРР«альный смысл элементов Лон 4),ь. В частности, по-прежнему, ооо = Ах Ах Ах = ейг.
Мы сохраним в дальнейшем прежнее 2 2 2 обозначение Л' для произведения дифференциалов трех пространственных координат;надо, однако,помнитгн что элемент геометрического пространственного объема дается в криволинейных координатах не самим оГ, а произведением 2т Л', где т — определитель пространственного метрического тензора (который будет найден в следующем параграфе). 315 1 84 РАсстОяния и ИРОмежутки ВРемени различных интегралов друг в друга остаются тогда теми же самыми, поскольку их вывод имеет формальный характер, не связанный с тензорными свойствами соответствующих величин.
Из них нам в особенности понадобится правило преобразования интеграла по гиперповерхности в интеграл по 4-объему (теорема Гаусса), осуществляющегося заменой сБ; — Р Нй —, (83.17) дх' й 84. Расстояния и промежутки времени Мы уже говорили, что в общей теории относительности выбор системы отсчета ничем не ограничен; тремя пространственными координатами х~, х~, хз могут являться любые величины, определяющие расположение тел в пространстве, а временная координата х может определяться произвольно идущими часами. Возникает вопрос о том, каким образом по значениям величин х, х, х, хз можно определить истинные расстояния и промежутки времени. Определим сначала связь истинного времени, которое мы будем ниже обозначать буквой т, с координатой хо.
Для этого рассмотрим два бесконечно близких события, происходящих в одной и той же точке пространства. Тогда интеграл НЕ~ между этими двумя событиями есть не что иное, как сг1т, где дт — промежуток времени 1истинного) между обоими событиями. Полагая дх = 41х = дхз = О в общем выражении «Ь~ = д,ьг1х'г1х", находим, следовательно, де = с г1т = 8оо(дх ), откуда г1т = -Лоо4х~, (84.1) с или для времени между любыми двумя событиями в одной и той же точке пространства (84.2) Эти соотношения и определяют промежутки истинного времени (или, как говорят, собсптеенного времени для данной точки пространства) по изменению координаты хо.
Заметим также, что величина нос, как видно из приведенных формул, положительна: (84.3) 8оо > О. 316 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х Необходимо подчеркнуть разницу между смыслом условия (84.3) и смыслом условия об определенной сигнатуре (знаках главных значений) тензора 8,ь Я 82). Тензор 8,ы не удовлетворяющий второму из этих условий, вообще не может соответствовать какому бы то ни было реальному гравитационному полю, т. е.
метрике реального пространства-времени. Невыполнение же условия (84.3) означало бы лишь, что соответствующая система отсчета не может быть осуществлена реальными телами; если условие о главных значениях при этом выполняется, то надлежащим преобразованием координат можно добиться того, что 8оо станет положительным (ПРимеР подобной системы представляет собой вращающаяся система координат — см, з 89). Определим теперь элемент Ж пространственного расстояния. В специальной теории относительности можно определять Ж как интервал между двумя бесконечно близкими событиями, происходящими в один и тот же момент времени. В общей теории относительности этого, вообще говоря, уже нельзя сделать, т.е.
нельзя определить Ж, просто положив «т~ = 0 в «ю Это связано с тем, что в гравитационном поле собственное время в разных точках пространства различным образом связано с координатой хо. Для определения «1 поступим теперь следующим образом. Пусть из некоторой точки В пространства 1с координатами т" +«тО) отправляется световой сигнал в бесконечно близкую к ней точку А (с координатами т"), а затем сразу обратно по тому же пути. Необходимое для этого время (отсчитываемое в одной и той же точке В), умноженное на с, есть, очевидно, удвоенное расстояние между обеими точками.
Напишем интервал, выделив пространственные и временную координаты: «В =8~З«х «хР+28о «х «х +8оо(«х ), (84.4) где, как обычно, по дважды повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3. Интервал между событиями, являющимися уходом и приходом сигнала из одной точки в другую, равен нулю. Решая уравнение «е~ = О относительно «х~,найдем два корня: «т ~ ) = — ( — 8о «т — (Юо 8од — 8 З8оо)«т «тд), (84.5) «т~~ ) = — ( — ао*«л + (аа.код — и даоо)«т «тд), Коо отвечающих распространению сигнала в двух направлениях между А и В. Если то есть момент прибытия сигнала в А, то моменты его отправления из В и обратного возвращения в В 817 Э 84 РАсстояния и пгомежутки ВРемени будут соответственно хо + сзхазП и то + + с)хо~8).
На схематическом рис. 18 сплошные прямые мировые линии, соответствующие заданным координатам хо и хо+ + дно, а штриховые — мировые линии сигналов'). Ясно, что полный промежуток «времени» между отправлением и возвращением сигнала в ту же точку равен о 4 8 о(г> ЕО ео „,1 ОГО А В Рис. 18 дх ~ ) — дх ~ ) =— Коо Соответствующий промежуток истинного времени получается отсюда согласно (84.1) умножением на уКООО/с, а расстояние Ж между обеими точками —. еще умножением на с/2.
В результате находим ,Ц2 — ( о + Ко Кол)Г)ХЧ Д Коа Это и есть искомое выражение, определяющее расстояние через элементы пространственных координат. Перепишем его в виде й~ = у~,~сЬ О1Е8, (84.6) где 'Уод = Код + (84.7) Коо есть трехмерный метрический тензор, определяющий метрику, т. е. геометрические свойства пространства. Соотношениями (84.7) устанавливается связь между метрикой реального пространства и метрикой четырехмерного пространства-времени') .
Коо Коз Коз Кза Кн Кш >О, 8 <О. Кзо Кю Км КОО Каз < О Кзо Кзз ) На рис. 18 предположено, что 01хж~~ > О, Кх~п~ < О, что, однако, необязательно: Надо~ и Кхин могут оказаться и одного знака. Тот факт, что в таком случае значение х~(А) в момент прихода сигнала в А могло бы оказаться меньшим значения е~ (В) в момент его выхода из В, не заключает в себе никакого противоречия, поскольку ход часов в различных точках пространства не предполагается каким-либо способом синхроиизованным. ) Квадратичная форма (84.8) должна быть существенно положительной. Для этого ее коэффициенты должны, как известно, удовлетворять условиям Чы тзг Чзз чы > О, > О, ззз Эгз эзз > О, Тзз /зз тзз Тзз Чзз Выражая ч,ь через К,з легко найдем, что эти условия принимают вид 318 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ.
Х 7' К 8Р0+К 800 = О, 8"800 + а 800 = 1. (84.8) Определив 8ао из второго равенства и подставив в первое, получим ад а — К ~07=07 что и требовалось доказать. Этот результат можно сформулировать иначе, сказав, что величины — даб составляют контравариантный трехмерный метрический тензор, отвечающий метрике (84.6) аа .(ц3 (84.9) Укажем также, .что определители я и у, составленные соответственно из величин я,ь и 7 я, связаны друг с другом простым соотношением: К = 800'У. (84.10) В ряде дальнейших применений нам будет удобно вводить трехмерный вектор и, ковариантные компоненты которого опе еляются как Р д (84.11) Кое Рассматривая я как вектор в пространстве с метрикой (84.6), мы должны определить его контравариантные компоненты как Этим условиям вместе с условием (84.3) должны удовлетворять компонен- ты метрического тенаора во всякой системе отсчета, которая может быть осуществлена с помощью реальных тел. Необходимо, однако, помнить, что 8еь зависят, вообще говоря, от то, так что и пространственная метрика (84.6) меняется со временем.
По этой причине не имеет смысла интегрировать Ж-- такой интеграл зависел бы от того, по какой мировой линии между двумя заданными пространственными точками он брался. Таким образом, в общей теории относительности теряет, вообще говоря, смысл понятие об определенном расстоянии между телами, остающееся в силе лишь в бесконечно малом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
