II.-Теория-поля (1109679), страница 57
Текст из файла (страница 57)
) Вместо обозначерий ГА, и Гь ы иногда пользуются обозначениями соот- ветственно ( . ) и Ц. 323 1 88 КОВАРИАНТНОВ ДИФФЕРВНЦИРОВАНИЕ Отсюда имеем ввиду произвольности В'. 5Ас = ГАНАА с1хс, (85.5) чем и определяется изменение ковариантного вектора при параллельном переносе. Подставляя (85.2) и с1А' = —, сЬ в (85.1), имеем дА' дх РА' = ( —, + ГьсА") с1х~.
(85.6) Аналогично находим для ковариантного вектора: .0Ас = (," — ГьтАА) дхс. (85.7) Выражения, стоящие в скобках в (85.6), (85.7) являются тензорами, так как умноженные на вектор сСх они дают снова вектор. Очевидно, что они и являются теми тензорами, которые осуществляют искомое обобщение понятия производной от вектора на криволинейные координаты.
Эти тензоры носят название новариантных производных соответственно векторов А' и А,. Мы будем обозначать их через А',ь и А;,ы Таким образом, ВАс = А',111х~, ВАс = А,,сдх~, (85.8) а сами ковариантные производные: А',1 =, + Г~~1А", д*' дА; А;,1 =,* — ГиАы (85.9) (85.10) В галилеевых координатах Г~с — — 0 и ковариантные производные переходят в обычные. 11' Легко связать и изменение компонент ковариантного вектора при параллельном переносе с символами Кристоффеля. Для это- го заметим, что при параллельном переносе скаляры, очевидно, не меняются. В частности, не меняется при параллельном пере- носе скалярное произведение двух векторов. Пусть А, и В' — некоторый ковариантный и некоторый кон- травариантный векторы. Тогда из о(А;Вс) = 0 имеем В'оАс = — АсБВ' = Г~сВ" А,с1х~, или,меняя обзначение индексов, В'БАс = ГА1ААВс с1х~.
324 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х Легко определить также ковариантную производную от тензора. Для этого надо определить изменение тензора при бесконечно малом параллельном переносе. Рассмотрим, например, какой-нибудь контравариантный тензор, являющийся произведением двух контравариантных векторов А'ВЕ. При параллельном переносе имеем б(А'В~) = А'6В~ + В~бА' = — А'Г~~ В'йх — ВАР~ А'Г1х™. В силу линейности этого преобразования оно должно иметь место и для любого тензора А'"; бАГВ = — (А тГ ~+ А "Г' ~) СЬ'. (85.11) Подставляя это в РАгв = дАГв — 6АГв = А'". ~ дх~ нахОдим кОвариантнуЮ прОиЗвОднуЮ тЕНЗОра АГВ в видЕ 4ь +1 4 ь+Гь А'т. дх' т1 (85.12) Совершенно аналогично находим ковариантные производные смешанного и ковариантного тензоров в виде А,„,, = — '"" ,— Г,,А „— ГыА,„. (85.13) (85.14) Аналогичным образом можно определить ковариантную производную тензора любого ранга.
При этом получается следующее правило ковариантного дифференцирования: чтобы получить ковариантную производную тензора А" по х~, к обычной производной дА- /дх~ на каждый ковариантный индекс 1 (А; ) надо прибавить член — Г~~А'~, а на каждый контравариантный индекс г (А' ) надо пРибавить член +Г',чА ь.. Можно легко убедиться в том, что ковариантная производная от произведения находится по тем же правилам, что и обычная производная от произведения. При этом ковариантную производную от скаляра ~р надо понимать как обычную производную, т.е. как ковариантный вектор уь = ду/дх, в согласии с тем, что для скаляров бу = О и потому Рр = Г5д.
Например, ковариантная производная произведения А,Вь равна (А;Вь),~ = А;,~ВА+ А;Вь,ь 325 1 88 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Поднимая у ковариантных производных индекс, указывающий дифференцирование, мы получим так называемые контра- вариантные производные. Так, Выведем теперь формулы преобразования от одной системы координат к другой для символов Кристоффеля.
Эти формулы можно получить, сравнивая законы преобразования обеих частей равенств, определяющих любую из ковариантных производных, и требуя, чтобы эти законы для обеих частей были одинаковы. Простое вычисление приводит к формуле дх' дх'" дх'" д~х' дх* (85.15) ~Р дх' дх" дх' дхАдх' дх' Из этой формулы видно, что величины Г',з ведут себя как тензоры лишь по отношению к линейным преобразованиям координат (когда исчезает второй член в (85.15)).
Заметим, однако, что этот член симметричен по индексам А, 1; поэтому он выпадает при образовании разности Я„' = Г'„— Г,' . Она преобразуется, следовательно, по тензорному закону ен дх' дх'" дх'" "Р дх' ' дхА дх' ' т.е. является тензором. Его называют тензором кручения пространства. Покажем теперь, что в излагаемой теории, основанной на принципе эквивалентности, тензор кручения должен равняться нулю. Действительно, как уже говорилось, в силу этого принципа должна существовать «галилеева» система координат, в которой в данной точке обращаются в нуль величины Г~~п а следовательно и Яьг На поскольку Я~ тензор, то, будучи равным нулю в одной системе, он будет равен нулю и в любой системе координат.
Это означает, что символы Кристоффеля должны быть симметричны по нижним индексам: (85.16) Г'„, = Г,'„. Очевидно,что и Г, „,=Г,,„. (85.17) В общем случае имеется всего 40 различных величин Г~~ --для каждого из четырех значений индекса г имеется 10 различных пар значений индексов Й и 1 (считая пары, получающиеся перестановкой А и 1 одинаковыми). 326 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х = х + -(ГА1)ох х . 2 (85.18) Тогда (.'.".' .') = д х"' дх' ') дт" дх' дх' У о (85.19) и согласно (85.15) все Г'™р обращаются в нуль. Подчеркнем, что условие (85.16) здесь существенно: выражение в левой части равенства (85.19) симметрично по индексам )с, 1, поэтому должна быть симметрична и правая часть равенства.
Заметим,что для преобразования (85.18) поэтому оно не меняет значений любого тензора (в том чис- ле тензора 8гь) в заданной точке, так что обращение символов Кристоффеля в нуль может быть осуществлено одновременно с приведением 8гь к галилееву виду. 9 86. Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором Докажем, что ковариантная производная от метрического тензора 81ь равна нулю. Для этого заметим, что для вектора РА„ как и для всякого вектора, должно иметь место соотношение РА, = 81АРА". ') Можно показать также, что надлежащим выбором системы координат можно обратить в нуль все Г1~ не только в данной точке, но и вдоль заданной мировой линии (доказательство етого утверждения можно найти в книге: П.
К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, Наука, 1964, 191). Формула (85.15) при условии (85.16) позволяет доказать сделанное выше утверждение о возможности такого выбора системы координат, при котором все Г', обращаются в нуль в любой наперед заданной точке (такую систему называют локально-инерциальной или локально-геодезической, см. 9 87) ') . Действительно, пусть заданная точка выбрана в качестве начала координат и величины Гы имеют в ней первоначально (в координатах х') значения (Г~1)о.
Произведем вблизи этой точки преобразование 1 86 связь символов кгнотоххвли о мвтгичвоким твнзогом 327 С дРУгой стоРоны, А; = 8гйА", и потомУ РА, = Р(ДцАь) = 8гвРА" + А"Р8еы Сравнивая с РА; = я,.ьРА, имеем в виду произвольности век- е тора А'. Р8г„= О. Поэтому и ковариантная производная (8б.1) Таким образом, при ковариантном дифференцировании яп, надо рассматривать как постоянные. Равенством 8в,~ = О можно воспользоваться для того, чтобы выразить символы Кристоффеля Г~~ через метрический тензор 8еы Для этого напишем согласно общему определению (85.14): дв 'ь гв т де*в 8,.ь ~ =, — 8,.ьГи — янпГы = *, — 1 ь и — Г, ы = О.
дх дх' Таким образом, производные от 8еь выражаются через символы Кристоффеля ') . Напишем эти производные, переставляя индексыг, 6,1: дд,ь ', =Г„„+Г,„, ах' Взяв полусумму этих равенств, находим (помня, что Г; и = Г;йь) 1 (да,ь дао даь '~ Гйы = ~ а*' б*" бх (8б.2) Отсюда имеем для символов Г~~ — — 8'™Г ы: 1, 1д +д д 2 'х дх' дх" дх'"/ (86.3) Эти формулы и дают искомые выражения символов Кристоффеля через метрический тензор.
Выведем полезное для дальнейшего выражение для упрощенного символа Кристоффеля Г~~;. Для этого определим дифференЦиал дд опРеделителЯ д, составленного из компонент тензоРа ай, Йд можно получить, взяв дифференциал от каждой компоненты тензоРа 81ь и Умножив ее на свой коэффиЦиент в опРеделителе, ') Выбор локально-геодезической системы координат означает поэтому обращение в нуль в данной точке всех первых производных от компонент метрического тензора.
328 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х (86.4) (поскольку ясьд'~ = б,' = 4, то д™Й82ь = — 81ьй8кь). Из (86.3) имеем ' ж(да-, дх . да„~ 2 ~ де' де" де / К Меняя местами индексы т и ю в третьем и первом членах в скобках, видим, что оба эти члена взаимно сокращаются, так что Гг ~ иии дК*' 2 дх или согласно (86.4) 1 де д!п ~/ — я ~"$2а дхА дхА (86.5) Полезно заметить также выражение для величины я~~Г~г Имеем ы 2 ~ и гтп/дх А дф д~н'~ ы ивудк„,А 1дды'~ С помощью (86А) это можно преобразовать к виду (86.6) При различных вычислениях бывает полезным иметь в виду, что производные от контравариантного тензора 8" связаны с производными от я,ь соотношениями д~ 8 д. дх'А ~ь дхн (86.7) (полУчаюЩимисЯ пРи ДиффеРенЦиРовании Равенства 8ид = Б~"). Наконец, укажем, что производные от 8А" тоже могут быть выражены через величины Гьг Именно, из тождества 8 ~.~ — — 0 непосредственно следует,что д м Г*„,а™ Г,а*™, (86.8) т.
е. на соответствующий минор. С другой стороны, компоненты тензора д'", обратного тензору я,ю равны, как известно, минорам определителя из величин 82ы деленным на этот определитель. Поэтому миноры определителя я равны 88А". Таким образом, 1 86 связь символов кгистоххкля с мктгичкским ткнзогом 329 11 дА* + Г1 А1 дА* + ~~д1п~/ и дх' и дх* дх* или окончательно 1 д(~/ — к А') (86.9) — дх* Аналогичное выражение можно получить и для дивергенции антисимметричного тензора А'". Из (85,12) имеем А*.й = — + Г' А й+ Г" А* дА™ дх" тпй Но поскольку А~й = — Ай~, то 11 ~тй Г1 ~йт 0 тй йтп Подставляя выражение (86.5) для Гй й, находим, следовательно: А'.йй — — — „. (86. 10) ~l — и дх Пусть теперь А;й симметричный тензор; определим выражение А, й для его смешанных компонент.
Имеем й й дАй й 1 ~ й 1 д(А~,~ — и) ~ й дх" ' 1 ;I-а дх' Последний член здесь равен 1 (дки дим дй*й '1 1й1 2 ~дх" дх* дх' / В силу симметрии тензора А"1 два члена в скобках взаимно сокращаются, и остается Ай 1 д(/ дА ) 1дкмАы (86.11) — дх" 2 дх' дА, дАй В декартовых координатах,* — есть антисимметричный дх" дх' тензор. В криволинейных координатах этот тензор есть А;,й— — Айги Однако с помощью выражений для А;,й и ввиду того, что Гй~ — — Г~й, имеем дА; дАй А,,й — Ай,, = — „* — —. дх" дх* (86.12) С помощью полученных формул можно привести к удобному виду выражение А',, являющееся обобщением дивергенции вектора на криволинейные координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
