II.-Теория-поля (1109679), страница 59
Текст из файла (страница 59)
При должном выборе начала отсчета времени во всех точках пространства, интервал огз в этом случае не должен менЯтьсЯ пРи изменении знака х, а потомУ все компоненты Коо о метрического тензора должны быть тождественно равными нулю. Такие постоянные гравитационные поля мы будем называть статическими. Неподвижность тела, однако, не является обязательным условием постоянства создаваемого им поля. Так, будет постоянным также и поле равномерно вращающегося вокруг своей оси аксиально-симметричного тела.
Но в этом случае оба направления времени уже отнюдь не равноценны--при изменении знака времени меняется знак угловой скорости вращения. Поэтому в таких постоянных гравитационных полях (которые мы будем называть стационарными) компоненты Ке метрического тензора, вообще говоря, отличны от нуля.
Смысл мирового времени в постоянном гравитационном поле заключается в том, что его промежуток между двумя событиями в некоторой точке пространства совпадает с его промежутком между любыми другими двумя событиями в любой другой точке простра.яства, соответственно одновременными (в выясненном в ') Легко видеть,что при этом преобразовании пространственная метрика, как и следовало,не меняется. Действительно,прн замене х «х + У(х,х,х ) с произвольной функцией У«х,х~,х ) компоненты к,ь заменяются согласно К р — «К.р+КооУрУр — Ко Ур — КорУ,, Ко — «Ко — КооУЯН Коо — «Коо, где У,„= дУУдх .
При этом, очевидно, трехмерный гензор (84.7) не меняет- ся. 336 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х 384 смысле) с первой парой событий. Но одинаковым промежуткам мирового времени х соответствуют в разных точках пространства различные промежутки собственного времени т. Связь (84.1) между ними можно написать теперь в виде т = -АЯоол, 1 о с (88 1) (88.2) Таким образом, собственное время течет тем медленнее, чем меныпе гравитационный потенциал в данной точке пространства, т.е.
чем больше его абсолютная величина (ниже, в 399 будет показано, что потенциал у отрицателен). Если из двух одинаковых часов одни находились некоторое время в гравитационном поле, то после этого часы, бывшие в поле, окажутся отставшими. Как уже было указано, в статическом гравитационном поле компоненты яо метрического тензора равны нулю. Согласно результатам 3 84 это значит, что в таком поле возможна синхронизация часов во всем пространстве. Заметим также, что для элемента пространственного расстояния в статическом поле имеем просто (88.3) В стационарном поле яо отличны от нуля и синхронизация часов во всем пространстве невозможна. Поскольку 81А не зависят от хо, то формулу (84.14) для разности значений мирового времени двух одновременных событий, происходящих в разных точках пространства, можно написать в виде о яо 1*" АЬХ яоо (88.4) применимом для любых двух точек на линии, вдоль которой производится синхронизация часов.
При синхронизации же вдоль замкнутого контура разность значений мирового времени, которая обнаружилась бы по возвращении в исходную точку, применимом к любым конечным промежуткам. В слабом гравитационном поле можно воспользоваться приближеиным выражением (87.12); при этом (88.1) дает, с той же точностью: ЗЗ7 з 88 ПОСТОЯННОЕ ГРАВИТАЦНОННОЕ ПОЛЕ равна интегралу л О яяеох ~ЪХ 800 (88.5) ду дф дх дй с дт дх дт дх" уяее имеем ыо (88.6) АЯОО В слабом гравитационном поле получаем приближенно: (88.
7) Мы видим, что частота света возрастает с увеличением абсолютной величины потенциала гравитационного поля, т.е. при приближении к создающим поле телам; наоборот, при удалении луча от этих тел частота света уменьшается. Если луч света, испущенный в точке, где гравитационный потенциал равен у1, имеет (в этой точке) частоту ю, то, придя в точку с потенциалом ьоз, он будет иметь частоту (измеренную в собственном времени в этой точке), равную Линейчатый спектр, испускаемый какими-либо атомами, находящимися, например, на Солнце, выглядит там точно так же, как выглядит на Земле спектр, испускаемый находящимися на ') Интеграл (88.8) тождественно равен нулю, если сумма и е дх" Яее является полным дифференциалом какой-либо функции пространственных координат.
'Хакой случай, однако, означал бы просто,что мы имеем в действительности дело со статическим полем и преобразованием вида х — ~ х + о е + ~(х ) все 8 е могут быть обращены в нуль. взятому по этому замкнутому контуру') . Рассмотрим распространение лучей света в постоянном гравитационном поле. Мы видели в 853, что частота света равна производной от эйконала гд по времени (с обратным знаком). Частота, измеренная в мировом времени х~/с, поэтому равна юо = = — с дф/дхо.
Поскольку уравнение эйконала (87.9) в постоянном поле не содержит х явно, то частота юо остается постоянной при распространении луча света. Частота же, измеренная в собственном времени, равна ы = — д$(дт; она различна в разных точках пространства. В силу соотношения 338 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х ней такими же атомами. Если же на Земле наблюдается спектр, испускаемый атомами, находящимися на Солнце, то, как следует из вышеизложенного, его линии окажутся смещенными по сравнению с линиями такого же спектра, испускаемого на Земле. Именно, каждая линия с частотой ы будет смещена на интервал слсо, определяемый из формулы (88.8) е где ср1 и ~рз потенциалы гравитационного поля соответственно в месте испускания и в месте наблюдения спектра.
Если на Земле наблюдается спектр, испускаемый на Солнце или звездах, то ~~рс( ) ~~рз~ и из (88.8) следует, что Ьы ( О, т. е. смещение происходит в сторону меньших частот. Описанное явление называют красным смещением. Происхождение этого явления можно уяснить себе непосредственно на основании сказанного выше о мировом времени. В силу постоянства поля промежуток мирового времени, в течение которого некоторое колебание в световой волне распространится из одной заданной точки пространства в другую, не зависит от х . Поэтому число колебаний, происходяо щих в единицу мирового времени, будет одинаковым во всех точках вдоль луча.
Но один и тот же промежуток мирового времени соответствует тем большему промежутку собственного времени, чем дальше мы находимся от создающих поле тел. Следовательно, частота, т.е. число колебаний в единицу собственного времени, будет падать при удалении света от этих масс. При движении частицы в постоянном поле сохраняется ее энергия, определяемая как производная ( — сдд/дх ) от действия по мировому времени; это следует, например, из того, что х о не входит явно в уравнение Гамильтона-Якоби. Определенная таким образом энергия есть временная компонента ковариантного 4-вектоРа импУльса Рс = тсиь = тс8ыис.
В статическом поле сЬ~ = доо(с~х )з — суз, и мы имеем для энергии, которую обозначим здесь через Оо: Введем скорость частицы: 339 ПОСТОЯННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ измеренную в собственном времени, т. е. наблюдателем, находя- щимся в данном месте. Тогда мы получим для энергии пзс Ч'йо ео = '1: 'Тд' (88.
9) Это есть та величина, которая остается постоянной при движении частицы. Легко показать, что выражение (88.9) для энергии остается в силе и в стационарном поле, если только скорость н измерять в собственном времени, определенном по часам, синхронизованным вдоль траектории частицы. Если частица выходит из точки А в момент мирового времени хе и приходит в бесконечно близкую точку В в момент хе+Мхе, то для определения скорости надо взять теперь не промежуток времени (х + огх ) — х = сох, а разность между х + о1х и моментом х — — пха, который кое одновременен в точке В моменту хо в точке А: (х +с)х ) — (х — — йх ) = Йх + ~' 4х .
йоа / нас Умножив его на У8ео/с, полУчим соответствУющий интеРвал собственного времени,так что скорость а с йе" З чгл 'гота — я пт ) (88.10) где мы ввели обозначения ка 8а=- —, П=Юоо ьоо (88. 11) для трехмерного вектора я (упоминавшегося уже в 384) и для трехмерного скаляра яоо. Ковариантные компоненты скорости ч как трехмерного вектора в пространстве с метрикой у з и соот- ветственно квадрат этого вектора надо понимать как ') На = 'Уаоп (88.12) ') В дальнейшем мы неоднократно будем вводить в рассмотрение, наряду с 4-векторами и 4-тензорами, также и трехмерные векторы и тензоры, определенные в пространстве с метрикой З„ж таковыми являются, в частности, введенные уже векторы и и ч.
В то время как в первом случае тензорные операции (в том числе поднятие и опускание индексов) производятся с помощью метрического тензора яоы во втором случае — с помощью тензора ч„е. Во избежание могущих возникнуть в связи с этим недоразумений мы будем обозначать трехмерные величины с помощью символов, не используемых для обозначения четырехмерных величин. 840 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х Заметим, что при таком определении интервал с(з выражается через скорость формулой, аналогичной обычной формуле сь2 = а (71хо)2 + 280 дхо71ха + К„ддхас(хе = 27 Ы()хо я с(х )2 — 7Д2 = 6(71хо 8.
Ы )2(1 " ) (88 13) й = Йх')Йз равны 1 8 6" л,'~ *7 * ° 1 *7 *' Компоненты 4-скорости а и и Энергия же и о (88.14) 2 6$ = тс + +27ИР, (88.15) где т777 — потенциальная энергия частицы в гравитационном поле, что находится в соответствии с функцией Лагранжа (87.10). Задачи 1. Определить силу, действующую на частицу в постоянном гравитационном поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
