II.-Теория-поля (1109679), страница 62
Текст из файла (страница 62)
дг~ Во втором члене снова используем (1),а в первом меняем порядок ковариантных дифференцирований с помощью (91.7) и находим г О Е * ~ Ь п г А = (и*ни),ье +и 'Л ыи е. 4г Первый член равен нулю, поскольку вдоль геодезических линий н', .~п = О. Введя постоянный множитель ес, находим окончательно уравнение: 17г г Лм,и ич'" (1) Л г (его называют уравнением геодезического отклонения). 2. Записать уравнения Максвелла в пустоте для 4-потеициала в лоренцевой калибровке. Р е ю е н и е.
Ковариантное обобщение условия (46.9) имеет вид А'и = О. (1) Уравнения Максвелла можно, используя формулу (91.7), записать как РЬ' = АЬ вЂ” А, Ь' = АА'Ь,, +АтЛг, — Асг*" = О с Л,г из (92.6). Тогда в силу (1) Ачь'" — ЛРАА" = О. (2) 9 92. Свойства тензора кривизны Тензор кривизны обладает свойствами симметрии, для полного выявления которых следует перейти от смешанных компонент Лгмт к ковариантным: "РЫт егпЛ Ыт Простыми преобразованиями легко получить для них следующее выражение: 1)' д'6, д'кьг 2 ~дх"дх' дх'дх д'; дг „ дт" дя дх'дх' / + ю„,(г„",гре - гь гр11). (92.1) Из этого выражения очевидны следующие свойства симметрии: (92.2) (92.3) Лгыт = — Льгьп = — Л;ьпг1, вагит Лгтгя ~ т. е. тензор антисимметричен по каждой из пар индексов зк и 1т и симметричен по отношению к перестановке этих двух пар друг 353 СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ с другом.
В частности, все компоненты В;ыт, диагональные по паре индексов ггс или 1т, равны нулю. Далее легко проверить, что равна нулю циклическая сумма из компонент Л,ы, образованная по любым трем из их индексов, например: Км +Бг и+Бгз В=О (92.4) (остальные соотношения такого рода получаются из (92.4) автоматически в силу свойств (92.2), (92.3)).
Наконец, докажем следующее тождество Бианки: гм; т + гь ппь; 1 + гь гтт; й = О. (92.5) Его удобно проверить, воспользовавшись локально-геодезической системой координат. В силу тензорного характера соотношение (92.5) будет тем самым справедливым и в любой другой системе. Дифференцируя выражение (91.4) и полагая затем в нем Г~~ — — О, находим в рассматриваемой точке дгч дг1. дг~ дхпо дхшдх" дх дх' Вгь=Ю Кг ь=Бгзь. Ьп Согласно (91.4) имеем (92.6) гож + ГгйГг~ Гн Гй~. дГ',ь дГ,', дх' дх" (92.7) Этот тензор, очевидно, симметричен: Б'ь = тсьг. (92. 8) Наконец, упрощая ттгрп получим инвариант ггь Н ьт тт = 8' гсгл = К К вагит (92.9) ) В литературе используется также и другое определение тензора В,а-- с упрощением В,м по первому и последнему индексам. Такое определение отличается знаком от принятого нами определения. 12 Л.Д.
Ландау и Е.М. Лифшиц. Том П С помощью этого выражения легко убедиться в том, что (92.5) действительно имеет место. Из тензора кривизны можно путем упрощения построить тензор второго ранга. Такое упрощение можно произвести только одним способом: упрощение тензора Л;ы по индексам г и к или 1 и т дает нуль в силу антисимметричности по ним, а упрощение по любым другим парам дает, с точностью до знака, одинаковый результат. Мы определим тензор ггтггь (его называют тензором Риччи)как') 354 РРАВнвния ГРАВитАциОннОГО НОля ГЛ. Х! называемый сна лрной кривизной пространства. Компоненты тензора Л,ь удовлетворяют дифференциальному тождеству, получающемуся упрощением тождества Бианки (92.5) по парам индексов г!с и !ки! 1 1дй (92.10) В силу соотношений (92.2) — (92.4) не все компоненты тензора кривизны независимы.
Определим число независимых компонент. Определение тензора кривизны, даваемое написанными выше формулами, относится к пространству любого числа измерений. Рассмотрим сначала случай пространства двух измерений, т.е. обычную поверхность; обозначим в этом случае (в отличие от четырехмерных величин) тензор кривизны через Р ь„1, а метрический тензор через у Ы где индексы а, ЬГ .. пробегают значения 1, 2. Поскольку в каждой из пар аЬ и сс( два индекса должны иметь различные значения, то очевидно, что все отличные от нуля компоненты тензора кривизны либо совпадают друг с другом, либо отличаются знаком.
Таким образом, в этом случае имеется лишь одна независимая компонента, например РН212. Легко найти, что скалярная кривизна при этом равна Р = "", 1 — = ~'уод) = 'уп"~22 — ( угй) (92.11) !' Величина Р(2 совпадает с так называемой гнуссовой кривизной поверхности Л: — =К= (92.12) 2 р!Рз где р1, р2 — главные радиусы кривизны поверхности в данной ее точке (напомним, что р1 и р2 считаются имеющими одинаковые знаки, если соответствующие им центры кривизны расположены по одну сторону от поверхности, и имеющими разные знаки, если центры кривизны лежат по разные стороны от поверхности; в первом случае 1т ) О, а во втором К ( О) ') .
Перейдем к тензору кривизны трехмерного пространства; обозначим его через Р е й, а метрический тензор через уел, где ') Формулу (92.12) легко получить, написав уравнение поверхности вблизи заданной точки (х = у = 0) в виде х = х~,!(2Р!) + у~!!(2рз). 'Гогда квадрат элемента длины на ней: ейз = (1+ — з)!1хз+ (1+ — )!19 + 2 сЬ|19. Р! Рз Р!Рз Вычисление Р! з!з в точке х = у = 0 по формуле (92.Ц (в которой нужны лишь члены со вторыми производными от з в) приводят к (92.12). 355 сВойстВА тензОРА кРиВизны индексы сг, )3, ...пробегают значения 1, 2, 3.
Пары индексов сг)1 и уб пробегают всего три существенно различных набора значений: 23, 31, 12 (перестановка индексов в паре меняет лишь знак компоненты тензора). Поскольку тензор Р 3 3 симметричен по отношению к перестановке этих пар, то имеется всего 3 2/2 = = 3 независимых компоненты с различными парами индексов, а также 3 компоненты с одинаковыми парами. Тождество (92.4) не прибавляет ничего нового к этим ограничениям. Таким образом, в трехмерном пространстве тензор кривизны имеет шесть независимых компонент. Столько же компонент имеет симметричный тензор Р д. Поэтому из линейных соотноптений Р д = = 6~~Р 33 все компоненты тензора Р 3 3 могут быть выражены через Р„з и метрический тензор у д (см. задачу 1). Если выбрать систему координат, декартову в данной точке, то надлежащим ее поворотом можно привести тензор Р 3 к главным осям') .
Таким образом, кривизна трехмерного пространства в каждой точке определяется тремя величинами') . Наконец, перейдем к четырехмерному пространству. Пары индексов 2й и 1т пробегают в этом случае 6 различных наборов значений: 01, 02, 03, 23, 31, 12. Поэтому имеется 6 компонент Рмы с одинаковыми и 6 5/2 = 15 компонент с различными парами индексов. Последние, однако, еще не все независимы друг от друга: три компоненты, у которых все четыре индекса различны, связаны в силу (92.4) одним тождеством: 1«о123 + Л0312 + 2«о231 = О. (92.13) Таким образом, в 4-пространстве тензор кривизны имеет всего 20 независимых компонент.
Выбирая систему координат, галилееву в данной точке, и рассматривая преобразования, поворачивающие эту систему (так что значения йгь в данной точке не меняются), можно добиться обращения в нуль шести компонент тензора кривизны (шесть ') Для фактического вычисления главных значений тензора Р Л нет необходимости производить преобразование к системе координат, декартовой в данной точке.
Эти значения можно определить как корни Л уравнения ~Р., — ЛЗ.В~ = О, 2 ) Знание тензора Р В 2 позволяет определить гауссову кривизну Хг любой поверхности в пространстве. Укажем здесь лишь, что если т, х, т— ортогональная система координат,то Р1 2 1 2 ~11322 1 ~12) есть гауссова кривизна для «плоскости», перпендикулярной (в данной ее точке) к оси х~; под «плоскостью» понимается поверхность, образованная геодезическими линиями. 12* 356 РРАВНВНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ.
Х1 1 1 С1мт — Впй1«п )В«1 Впгп + В«гпЬ«1 + 2 2 1 1 1 + — ВА1Дьпъ — — ВйюЯН + — В)611ЯЬуп — ДгюДЬ1). (92.14) 2 2 ™ м 6 Легко видеть, что этот тензор обладает всеми свойствами симметрии тензора Взыю, а при свертывании по паре индексов (11 или Йт) дает нуль. Покажем, каким образом строится классификация возможных типов канонической формы тензора кривизны при Щь = 0 (А. 3. Петров, 1950).
Будем считать, что метрика в данной точке 4-пространства приведена к галилеевому виду. Совокупность 20 независимых компонент тензор В,ььп представим как совокупность трех трехмерных тензоров, определенных следующим образом: 1 В~В = еоч4ВОДТ4 2 1 С., = -е.,АВВА,Втк~„ 4 А*,з = Во*о,з, (92.15) ') Мы увидим ниже Я 96), что этим свойством обладает тензор кривизны для гравитационного поля в пустоте. з) Это громоздкое выражение можно записать более компактно в виде 1 С*»1 = В ы — В1кя»1 + В ва»р+ — Вхц ВА~ 3 где квадратные скобки означают антисимметризацию по заключенным в них индексам: 1 АЩ = — (А,А — АА,). 2 Тензор (92.14) называют тенвором Веблл. есть число независимых поворотов 4-системы координат).
Таким образом, в общем случае кривизна 4-пространства определяется в каждой точке 14 величинами. Если В;ь = 0'), то в произвольной системе координат тензор кривизны имеет всего 10 независимых компонент. Надлежащим преобразованием координат можно тогда привести тензор Вгь1 (в заданной точке 4-пространства) к «каноническому» виду, в котором его компоненты выражаются в общем случае через 4 независимые величины; в особых случаях зто число может оказаться даже меньшим. Если же В,ь ф О, то все то же самое будет относиться к тензору кривизны после выделения из него определенной части, выражающейся через компоненты Взы Именно, составим тензор з) 357 СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ (еар,„— единичный антисимметричный тензор; поскольку трехмерная метрика декартова, нет необходимости делать при суммировании различие между верхними и нижними индексами). Тензоры А В и С„в по определению симметричны; тензор В в, вообще говоря, несимметричен, а его след равен нулю в силу (92.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
