II.-Теория-поля (1109679), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Х а 4-вектор тока У„= — ' — ',(,Г-ае) = 0 (90.5) ~/ — К дх' (использована формула (86.9)). Аналогичным образом обобщается вторая пара уравнений Максвелла (30.2); заменяя в них обычные производные ковариантными, находим гв 1 д 1Ь 4з Ч гв = — — (ъ~ — Кг ) = — — 3 ~/ — К дх с (использована формула (86.10)).
Наконец, уравнения движения заряженной частицы в гравитационном и электромагнитном полях получаются заменой в (23.4) 4-ускорения г(и'7'ГЬ на 1ги'/01з: тс — = тс( — + рыи и ) = -г' иь. Ви' /дй 1 ь 11 е (90.7) Ке 1,~Ь с (90.6) Задача Написать уравнения Максвелла в заданном гравитационном поле в трехмерной форме (в трехмерном пространстве с метрикой т е), введя 3-векторы Е, Р и антисимметричные 3-тензоры В Е и Н е, согласно определениям В =го, В„= Р (1) В = — ГйюГ", Н"е = %~В е. Р е ш е н и е. Введенные указанным образом величины не независимы.
Раскрывая равенства е ~ е Ео =80~8 ° Р, Е =К К г) введя при этом трехмерный метрический тензор чае = — Кае + 88 Ке (К и о — из (88.11)) и воспользовавшись формулами (84.9) и (84.12), получим Н е Введем векторы В, Н, дуальные тензорам Вал и Е1ае, согласно определению (3) 2/ч 2 (ср. примеч, на с. 341; знак минус введен для того, чтобы в галилеевых координатах векторы Н и В совпадали с обычной напряженностью магнитного поля). Тогда (2) можно записать в виде 1э = — + (НК), В = — + (КЕ). Е Н % ',% (4) (2) о(г — г ) —,.
(90.4) а Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности, которое отличается от (29.4) лишь заменой обычных производных ковариантными: 190 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ Вводя определения (и в (90.2), получим уравнения дВ в дВтэ дВЕ., дВ~В дЕ дх' две дх ' дад дхе или, перейдя к дуальным величинам (3) дев дт 6!РВ = 0, ТОСЕ = — — (АГТВ) 1 д с '7д8 (5) (х = с1; определение операций тот и 61г в примеч. на с. 341). Аналогичным образом из (90.6) находим уравнения 1 д — (ьг71! ) = 4кр, /ф дт 1 д е 1 д дт~ е(ъг7эт )+ е(ч'7АА ) = — 4хР '7 две — де,!о' или в трехмерных векторных обозначениях: 1 д 4х 6!РВ = 4яр, го!Н = — (АЯ~В) -!- — а, (6) стг7 д! с где а — вектор с компонентами э = рпх /Ж.
Вынишем для полноты также и уравнение непрерывности (90.5) в трехмерной форме — — (АУчр) 4- г)!и э = О. 1 д (7) lф д! Обратим внимание на аналогию (конечно, чисто формальную) уравнений (5), (6) с уравнениями Максвелла для электромагнитного поля в материальных средах.
В частности, в статическом гравитационном поле в членах с производными по времени выпадает А/7, а связь (4) сводится к О = = Е/Ауй, В = Н/зуб. Можно сказать, что в отношении своего воздействия на электромагнитное поле статическое гравитационное поле играет роль среды с электрической и магнитной проницаемостями е = д = 1/ъ~Х ГЛАВА Х1 ЪгРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ й 91.Тензор кривизны Вернемся снова к понятию о параллельном переносе вектора. Как было указано в ~ 85, в общем случае кривого 4-пространства бесконечно малый параллельный перенос вектора определяется как перенос, при котором компоненты вектора не меняются в системе координат, галилеевой в данном бесконечно малом элементе объема. Если х' = х'(э) есть параметрическое уравнение некоторой кривой (э длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки), то вектор и' = дх'/дэ есть единичный вектор, касательный к кривой.
Если рассматриваемая кривая является геодезической, то вдоль нее Ри' = О. Это значит, что если вектор и' подвергнуть параллельному переносу из точки х' на геодезической линии в точку х' + дх' на той же линии, то он совпадает с вектором и' + + ди', касательным к линии в точке х'+ сЬ'. Таким образом, при передвижении вдоль геодезической линии вектор касательной переносится параллельно самому себе.
С другой стороны, при параллельном переносе двух векторов «угол» между ними остается, очевидно, неизменным. Поэтому мы можем сказать, что при параллельном переносе любого вектора вдоль какой-либо геодезической линии угол между этим вектором и касательной к линии остается неизменным. Другими словами, при параллельном переносе вектора его составляюшие по геодезическим линиям во всех точках пути должны быть неизменными. Весьма существенно, что в кривом пространстве параллельный перенос вектора из одной заданной точки в другую дает разные результаты, если он совершается по разным путям. В частности, отсюда следует, что если переносить вектор параллельно самому себе по некоторому замкнутому контуру, то он, возвратившись в первоначальную точку, не совпадет с самим собой. Для того чтобы уяснить это, рассмотрим двухмерное искривленное пространство, т.
е. какую-нибудь кривую поверхность. На рис. 19 изображен фрагмент такой поверхности, ограниченный 349 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ тремя геодезическими линиями. Подвергнем вектор 1 параллельному переносу вдоль контура, образованного этими линиями. При передвижении вдоль линии АВ вектор 1, сохраняя все время одинаковый угол с этой линией, перейдет в вектор 2. При передвижении вдоль ВС он таким же образом перейдет в 3. Наконец, з при движении из С в А вдоль кривой СА, сохраняя постоянный угол с 2 этой кривой, рассматриваемый вектор перейдет в 1', не совпадающий .' в с вектором 1.
Выведем общую формулу, определяюшую изменение вектора при параллельном переносе вдоль беско- РВС. 19 печно малого замкнутого контура. Это изменение ЬАь можно записать в виде ф 6Аь, где интеграл берется по данному контуру. Подставляя вместо бАь выражение (85.5), имеем ЬАь = Гь~А; с~х~; (91.1) стоящий под интегралом вектор А; меняется по мере его переноса вдоль контура. Для дальнейшего преобразования этого интеграла необходимо заметить следующее. Значения вектора А, в точках внутри контура неоднозначны они зависят от пути, по которому мы приходим в данную точку. Мы увидим, однако, из получаемого ниже результата,что эта неоднозначность второго порядка малости.
Поэтому с достаточной для преобразования точностью до величин первого порядка можно считать компоненты вектора А; в точках внутри бесконечно малого контура однозначно определяющимися их значениями на самом контуре по формулам БА1 = Г11~А„с~х1, т. е. по производным (91.2) Применяя теперь к интегралу 191.1) теорему Стокса (б.19) и учитывая, что площадь огибаемой рассматриваемым контуром поверхности есть бесконечно малая величина Ь~', получим А — 1)'д(Г1 А ) — д(Г~~А )1 | ь=-[ 2 ). дх' дх'" 1 ~дГ„,„А дГН 1 + Г1 дА, Г1 дА'1~1~ЬВ 21 дх' дх ~дх' дх ) 350 РРАВНВНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ.
Х! Подставляя сюда значения производных из (91.2), находим окончательно ЬАь = -Л'ы А;Ь~~ (91.3) где Л'и — тензор 4-го ранга: Л*„, = ~~А; — ~",ь„' + Г'„,Г„" — Г'„Г"„. (91.4) Х Х Тензорный характер Л'ы виден из того, что в (91.3) слева стоит вектор разность ЬАА значений вектора в одной и той же точке. Тензор Л'и называется теизором кривизны, или тензором Римана. Легко получить аналогичную формулу для контравариантного вектора А". Для этого заметим, что поскольку при параллельном переносе скаляры не меняются, то Ь(ААВь) = О, где Вь— любой ковариантный вектор. С помощью (91.3) имеем отсюда: ИААВА) = ААЬВА + ВАЛА~ = -ААВ'Лги Ь~~ + ВАЬАА = 2 = В„(иА'+ -'А*Л"и ЛУ'-) = Ю, или, ввиду произвольности вектора Вь: А ~ь 1~в 11А) ьв (91.5) 2 Если дважды ковариантно продифференцировать вектор А; по т" и по т~, то результат зависит, вообще говоря, от порядка дифференпирования, в противоположность тому, что имеет место для обычных производных.
Оказывается, что разность Аиь,~ — А;,йь определяется тем же тензором кривизны, который мы ввели выше. Именно, имеет место формула А;,ь,~ — Аийь = А Л;и, (91.6) которую легко проверить непосредственным вычислением в локально-геодезической системе координат. Аналогично, для контравариантного вектора') А';ь;~ — А';йь = — А Л' ы. (91.7) Наконец, легко получить аналогичные формулы для вторых производных от тензоров (это проще всего сделать, рассматривая, например, тензор вида А1Вь и пользуясь при этом формулами (91.6), (91.7); полученные таким образом формулы в силу ) Формулу (91.7) можно получить непосредственно из (91.6) путем поднятия индекса 1 и использования свойств симметрии тензора Л;и Я 92).
твнзОР кРивизны 351 их линейности имеют место для любого тензора А,ь). Так, Агь ь — Аьь ~ = А,вйпм,„+ АиьЛил . (91.8) Очевидно, что в плоском 4-пространстве тензор кривизны равен нулю. Действительно, в плоском пространстве можно выбрать координаты, в которых везде все Г~~ — — О, а потому и А'и = О. В силу тензорного характера гь'ы эти величины равны тогда нулю и в любой другой системе координат. Это соответствует тому, что в плоском пространстве параллельный перенос вектора из одной точки в другую есть однозначная операция, а при обходе замкнутого контура вектор не меняется. Имеет место и обратная теорема: если В'ы = О, то 4-пространство плоское. Действительно, во всяком пространстве можно выбрать систему координат, галилееву в данном бесконечно малом участке. При А'ы = О параллельный перенос есть однозначная операция, и, перенося таким образом галилееву систему из данного малого участка во все остальные, можно построить галилееву систему во всем пространстве, чем и доказывается сделанное утверждение.
Таким образом, равенство или неравенство нулю тензора кривизны является критерием, позволяющим определить, является ли 4-пространство плоским или искривленным. Заметим,что хотя в кривом пространстве и можно выбрать локально-геодезическую (для данной точки) систему координат, но при этом тензор кривизны в этой точке не обращается в нуль (так как производные от Г~~ не обращаются в нуль вместе с самими Г~~~ ) . Задачи 1.
Определить относительаое 4-ускорение двух частиц, движущихся по бесконечно близким геодезическим мировым линиям. Р е ш е н и е. Рассмотрим семейство геодезических линий, отличаемых значениями некоторого параметра и; другими словами, координаты мировой точки выражаЮтся в виде функций х' = х'(в,и), таких, чте при каждОм и = сопвс зто есть уравнение геодезической (причем в — длина интервала, отсчитываемого вдоль линии от ее точки пересечения с некоторой заданной гиперповерхностью).
Введем 4-вектор дх' и' = — бе = и'би, ди соединяющий на бесконечно близких геодезических линиях, отвечающих значениям параметра и и и + Си, точки с одинаковыми значениями в. Из определения ковариантной производной и равенства ди'/ди = де*/дв (где и' = дх*/дв) следует, что ь ь и',.ьи = и',.ьи . 352 ИРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х! Рассмотрим вторую производную: 1г~е' = (е',ьи )ии = (и*, ге ),ги = и',.А,.~с и + и',.Ае ,.ги .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
