II.-Теория-поля (1109679), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Единственным случаем, когда расстояние может быть определено и в конечных областях пространства, являются такие системы отсчета, в которых я,.ь не зависят от времени,и потому интеграл ) Ж вдоль пространственной кривой имеет определенный смысл. Полезно заметить, что тензор — 7 я является тензором, обратным контравариантному трехмерному тензору я 0. Действительно, Расписав в компонентах Равенство 8" Яы=д~, имеем 319 0 84 РАсстОяния и НРОмежутки ВРемени д~ = у~з8)з.
С помощью (84.9) и второго из равенств (84.8) легко видеть,что К =7 КР= К (84. 12) Отметим также формулу, следующую из третьего из равенств (84.8): 800 (84.13) о+, о о+ ~~с) о(г)+,) оП)) 2 Подставляя сюда (84.5), находим разность значений «време- ни» хо для двух одновременных событий, происходящих в бес- конечно близких точках,в виде ~ О 80-4Е 800 (84.14) Это соотношение дает возможность синхронизовать часы в любом бесконечно малом объеме пространства.
Продолжая подобную синхронизацию из точки А дальше, можно синхронизовать часы, т.е, определить одновременность событий вдоль любой незамкнутой линии ') . Синхронизация же часов вдоль замкнутого контура оказывается, вообще говоря, невозможной. Действительно, обойдя вдоль контура и вернувшись в исходную точку, мы получили бы для Ьто отличное от нуля значение. Тем более оказывается ) Умножив равенство (84.14) на яее и перенеся оба члена в одну сторону, можно представить условие синхронизации в виде «Ь0 = 80,«Ь« = О; должен быть равен нулю «ковариантный дифференциал» Мхе между двумя бесконечно близкими одновременными событиями.
Перейдем теперь к определению понятия одновременности в общей теории относительности. Другими словами, выясним вопрос о возможности синхронизации часов, находящихся в разных точках пространства, т. е. приведения в соответствие друг с другом показаний этих часов. Такая синхронизация должна быть, очевидно, осуществлена с помощью обмена световыми сигналами между обеими точками. Рассмотрим снова процесс распространения сигналов между двумя бесконечно близкими точками А и В, изображенный на рис. 18. Одновременным с моментом то в точке А следует считать показание часов в точке В, лежащее посередине между моментами отправления и обратного прибытия сигнала в эту точку, т.
е. момент 320 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х невозможной однозначная синхронизация часов во всем пространстве. Исключение составляют лишь такие системы отсчета, в которых все компоненты яс равны нулю'). Следует подчеркнуть, что невозможность синхронизации всех часов является свойством именно произвольной системы отсчета, а не пространства-времени как такового. В любом гравитационном поле всегда можно выбрать (и даже бесчисленным числом способов) систему отсчета таким образом, чтобы обратить три величины яс тождественно в нуль и, тем самым, сделать возможной полную синхронизацию часов (см.
397). Уже в специальной теории относительности течение истинного времени различно для движущихся друг относительно друга часов. В общей же теории относительности истинное время течет различным образом и в разных точках пространства в одной и той же системе отсчета. Это значит, что интервал собственного времени между двумя событиями, происходящими в некоторой точке пространства, и интервал времени между одновременными с ними событиями в другой точке пространства, вообще говоря, отличны друг от друга.
й 85. Ковариантное дифференцирование В галилеевых координатах ') дифференциалы с~А; вектора А; образуют вектор, а производные дА,/дхь от компонент вектора по координатам образуют тензор. В криволинейных же координатах это не имеет места; дА; не есть вектор, а дА,/дль не есть тензор. Это связано с тем,что 4А; есть разносгь векторов, находящихся в разных (бесконечно близких) точках пространства; в разных же точках пространства векторы преобразуются различно, так как коэффициенты в формулах преобразования (83.2), (83.4) являются функциями координат. В сказанном легко убедиться и непосредственно.
Для этого выведем формулы преобразования дифференциалов АА; в криволинейных координатах. Ковариантный вектор преобразуется согласно формулам ат'ь А,= '.А~а, дх2 ') Сюда же следует причислить случаи, когда яо могут быть обращены в нуль простым преобразованием временной координаты, не затрагивающим выбора системы объектов, служащих для определения пространственных координат.
2 ) Вообще всегда, когда величины я,ь постоянны. 321 1 85 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ поэтому д 'А д' " аА1 = 11А' + А'11, =, 11А' + А', г1х1. дх* " " дх' дх* " "дх'дх' Таким образом, 11А; преобразуется вовсе не как вектор (то же относится, конечно, и к дифференциалам контравариантных векторов). Только в случае, если вторые производные дзх'"/дх'дх1 = О, т. е. если х'ь являются линейными функциями от х~, формулы преобразования имеют вид 11А, =, 11Аы дх* т.е.
11А, преобразуется как вектор. Мы займемся теперь определением тензора,который играет в криволинейных координатах роль тензора дА,/дх в галилеей вых координатах. Другими словами, мы должны преобразовать дА;/дхь от галилеевых координат к криволинейным. Для того чтобы получить в криволинейных координатах дифференциал вектора, являющийся вектором, надо, чтобы оба вычитаемых один из другого вектора находились в одной точке пространства. Другими словами, надо каким-то образом «перенестиа один из двух бесконечно близких векторов в точку, где находится второй, после чего определить разность обоих векторов, относящихся теперь к одной и той же точке пространства. Сама операщгя переноса должна быть при этом определена таким образом, чтобы в галилеевых координатах указанная разность совпадала с обычным диффере1щиалом 11АО Поскольку 11А1 есть просто разность компонент двух бесконечно близких векторов, то это значит, что в результате операции переноса при пользовании галилеевыми координатами компоненты вектора не должны изменяться.
Но такой перенос есть не что иное, как перенос вектора параллельно самому себе. При параллельном переносе вектора его компоненты в галилеевых координатах не меняются; если же пользоваться криволинейными координатами, то при таком переносе компоненты вектора, вообще говоря, изменятся. Поэтому в криволинейных координатах разность компонент обоих векторов после перенесения одного из них в точку, где находится второй, не будет совпадать с их разностью до переноса (т.е. с дифференциалом ЦА1). Таким образом, при сравнении двух бесконечно близких векторов мы должны один из них подвергнуть параллельному переносу в точку, где находится второй.
Рассмотрим какой-нибудь 11 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том П 322 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х контравариантный вектор; если его значение в точке с координатами х' есть А', то в соседней точке х' + дх' он равен А' + + дА'. Вектор А' подвергнем бесконечно малому параллельному переносу в точку х' + дх', его изменение при этом обозначим через БА'. Тогда разность РА' между обоими векторами, находящимися теперь в одной точке, равна (85. Ц .РА' = ИА' — БА'. Изменение 5А' компонент вектора при бесконечно малом параллельном переносе зависит от величины самих компонент, причем эта зависимость должна, очевидно, быть линейной. Это следует непосредственно из того, что сумма двух векторов должна преобразовываться по тому же закону, что и каждый из них.
Таким образом, дА' имеет вид дА' = — ГА~Аьйх', (85.2) где Г~~ некоторые функции координат, вид которых зависит, конечно, от выбора системы координат; в галилеевой системе все Г'„, = О. Уже отсюда видно, что величины Г~~ не образуют тензора, так как тензор, равный нулю в одной системе координат, равен нулю и во всякой другой. В искривленном пространстве нельзя никаким выбором координат обратить все Г'„ везде в нуль. Принцип эквивалентности требует, однако, чтобы надлежащим выбором системы координат можно было исключить гравитационное поле в данном бесконечно малом участке пространства, т.
е. обратить в нем в нуль величины Гьп играющие, как мы увидим ниже в З 87, роль напряженностей этого поля') . Величины Г~~ называют козффициеигаами свлзносгпи или символами Кристоффеля. Мы будем ниже пользоваться также и величинами Г, ы'), определяемыми следующим образом: Г,,„, =8; ГЦ. (85.3) Обратно: (85.4) ~) Именно такую систему координат надо иметь в виду во всех рассуждениях, где мы для краткости говорим просто о галилеевой системе; тем самым все доказательства становятся относящимися не только к плоскому,но и к кривому 4-пространству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
