II.-Теория-поля (1109679), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Р е ш е н и е. Для нужных нам компонент ГА~ находим следующие выражения: 1'оо = -Ь', Гол = -(8;Π— 8В") — -8ЛЬ'", 2 2 ' 2 (1) Ге, = л37+-!8а(8", -827)+ятей," — 8Л))+ '8В878" 2 2 В этих выражениях все тензорные действия (ковариантные дифференцирования, подъем н опускание индексов) производятся в трехмерном пРостРанстве с метРикой 7 Л наД тРехмеРным вектоРом 8 и тРехмеРным скалярам 72 (88.11); ЛВ есть трехмерный символ Кристоффеля, составленный из компонент тензора 7„Л так, как ГА, составляется из компонент 8,2; при вычислении использованы формулы (8479) — (84.12). Подставив (1) в уравнение движения с7и „о2 од Е 4о = — Гоо(и ) — 2Гови и — Гв и и 7 и используя выражения (88.14) для компонент 4-скорости, после простых преобразований получим Я(8 — 8 ")и' Л" Ф ' 4~ ,о71 — ~~ 7сз 26(1 — 27~ 7Р) с(1 ~~,7~Р) с2(1 ~~,7Р) йо = пзс 89;ис = Гнс )2(и — 8 и ) и после подстановки (88.14) приобретает вид (88.9).
В предельном случае слабого гравитационного поля и малых скоростей, подставляя ноо = 1+ 2(о77с2 в (88.9), получим прибли- женно З41 э 88 ПОСТОЯННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ) В трехмерных криволинейных координатах единичный антисимметричный тензор определяется как Ъд = Г~е д„«Ф = — е д7 д7 ,ду где ешз = е = 1, а при перестановке двух индексов меняют знак 122 (ср. (83.13), (83.14)). Соответственно этому вектор с = (аЬ), определенный как вектор, дуальный антисимметричному тензору сд = адЬ вЂ” а«Ьд, имеет компоненты 1 с = — »/фе дчс =.«~уе дта Ь, д7 д 7 2 с = е 7с = — е 7оЬ Обратно с«д = узе„д«с, с = — е с, д д7 ~/7 В частности, гоФ а надо понимать в этом же смысле как вектор, дуальный дад да тензоРУ ад « — осе д = —, так что его контРаваРиантные компоненты д*" д*' 1 „д7(да7 дад) 2 у дтд дет Упомянем также в этой связи, что трехмерная дивергенция вектора 1 д 617а = — „(»гала ) у д*" (ср.
(86.9)). Во избежание недоразумений при сравнении с формулами, часто применяемыми для трехмерных векторных операций в ортогональных криволинейных координатах (см., например, «Электродинамика сплошных сред», приложение), укажем, что в этих формулах под компонентами вектора подРазУмеваютсЯ величины»1811А'(= ъ АФА'), 1822А~, »2822А~. Действующая на частицу сила 1 есть производная от ее имвульса р по (синхронизованному) собственному времени, определенная с помощью трехмерного ковариантного дифференциала: сз «Фд )~ сз 112 Я вЂ” езЯ 7,ГФ с«)сз 1 Из (2) имеем поэтому (для удобства опускаем индекс и) или в обычных трехмерных векторных обозначениях ) 1 Ь= Р (-«-«»«» ° «»)-' «)). (3) о, „, ь ( вый член в (3)) имеет потенциал.
При малых скоростях движения второй член в (3) имеет вид тс Нч гоФф, аналогичный силе Кориолиса, которая возникла бы (при отсутствии поля) в системе координат, вращающейся с 342 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х угловой скоростью й = — чгйгооя. г 2. Вывести принцип Ферма для распространения лучей в постоянном гравитационном поле. Р е ш е н и е. Принцип Ферма (см. З 53) гласит; б/й Ых" =О, где интеграл берется вдоль луча, а подынтегральное выражение должно быть выражено через постоянную вдоль луча частоту мо и дифференциалы координат. Замечая, что йо = — д~й/дх~ = ша!с, пишем — = йо = Коей = ооой + Ко й = й(й — В„й ). с Подставляя это В соотношение й,й' = яоьй'й = О, написанное в виде э й(й — л й ) — той йе=О, получим -'( — ') -т„„й й'=О. й с Учитывая также, что вектор й должен иметь направление вектора дх, находим отсюда о/о бх сЮ<а' где Ж (84.6) есть элемент пространственного расстояния вдаль луча.
Чтобы получить выражениЕ для й„, пишем й = К *й. = 6 йо + И йс = — а — — 7 йо, с откуда й.=,,(йе~ о;) = ('-~ '*'~,.). с с ч'й Ж Наконец, умножая на бх", пшоучим принцип Ферма в виде (постоянный множитель юа/с опускаем) б / ( — -~- яобх ) = О. В статическом поле имеем просто '1,г Обращаем внимание на то, что В гравитационном поле луч распространяется не по кратчайшей линии В пространстве, так как последняя определялась бы уравнением б ) Ж = О. й 89.
Вращение Особым случаем стационарных гравитационных полей является поле, возникающее при переходе к равномерно вращающейся системе отсчета. 1 89 ВРАЩЕНИЕ Для определения интервала да произведем преобразование от неподвижной (инерциальной) системы к равномерно вращающейся. В неподвижной системе координат г', у', г', 1 (мы пользуемся цилиндрическими пространственными координатами) интервал имеет вид ,189 = сзснз — с1г'9 — т'з~р'9 — с~Р (89.1) сЬ~ = (с — Й~г~)(Ю~ — 2Йг гйр Ж вЂ” йе' — г~г1~Р— йгт. (89.2) Необходимо отметить, что вращающейся системой отсчета можно пользоваться только до расстояний, равных с/Й. Действительно, из (89.2) видно, что при г ) с/Й величина 899 становится отрицательной, что недопустимо. Неприменимость вращающейся системы отсчета на болыпих расстояниях связана с тем, что скорость вращения сделалась бы на них большей скорости света, и потому такая система не может быть осуществлена реальными телами.
Как и во всяком стационарном поле, на вращающемся теле часы не могут быть однозначно синхронизованы во всех точках. Производя синхронизацию вдоль некоторой замкнутой линии, мы получим, возвратясь в исходную точку, время, отличающееся от первоначального на величину (см. (88.5)) или, предполагая, что Йг/с «1 (т. е.
скорость вращения мала по сравнению со скоростью света), ~Й= — 1 г <ад=~ — я, й ! 9 2й с с~ (89.3) где Я вЂ” площадь проекции контура на плоскость, перпендикулярную к оси вращения (знак + или — имеет место соответственно при обходе контура по или против направления вращения). Предположим, что по некоторому замкнутому контуру распространяется луч света. Вычислим с точностью до членов порядка п/с время 1,которое проходит между отправлением луча света и возвращением его в исходную точку. Скорость света, по определению, всегда равна с, если время синхронизуется вдоль Во вращающейся системе цилиндрические координаты пусть будут г, р, е. Если ось вращения совпадает с осями е и е', то имеем г = г, е' = е, у' = у + Йг, где Й -- угловая скорость вращения. Подставляя в (89.1), находим искомое выражение для интервала во вращающейся системе отсчета: 344 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ.
Х с с где 1 — -длина контура. Соответственно этому скорость света, измеренная как отношение 1 /с, оказывается равной (89.4) Эту формулу, как и формулу для первого приближения эффекта Доплера, можно легко вывести и чисто классическим путем. Задача Определить элемент пространственного расстояния во вращающейся системе координат. Р е ш е н и е.
С помощью (84.6), (84.7) находим 2 ~ 2 Ж' = с)Г7 -~- 422 -~ 1 — 22 Г /с чем определяется пространственная геометрия во вращающейся системе отсчета. Отметим, что отношение длины окружности в плоскости 2 = сопвг (с центром на оси вращения) к ее радиусу Г равно 2я > 2я. 8 90. 'Уравнения электродинамики при наличии гравитационного поля Уравнения электромагнитного поля специальной теории относительности легко обобщить так, чтобы они были применимы в любой четырехмерной криволинейной системе координат, т. е.
в случае наличия гравитационного поля. Тензор электромагнитного поля в специальной теории отно- дАА дА; сительности определялся как Г;ь =, — А. Очевидно, что дх' дх теперь он должен быть соответственно определен как Е,ь = Аь,; — А;, ы Но в силу (88.12) дАА дА2 г)ь = Аь; ' — А';ь = —; — —, дх2 дх" ' (90.1) данной замкнутой линии и в каждой точке мы пользуемся собственным временем. Поскольку разница между собственным и мировым временем — порядка п /с-, то при вычислении искомого 2 2 промежутка времени 1 с точностью до величин порядка и/с этой разницей можно пренебречь.
Поэтому имеем ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 345 так что связь У',ы с потенциалом А;, не меняется. Вследствие этого первая пара уравнений Максвелла (26.5) — + — „*+ —, =0 дГм дГИ дГА~ (90.2) дх' дх" дх' тоже сохраняет свой вид') . Для того чтобы написать вторую пару уравнений Максвелла, надо предварительно определить в криволинейных координатах 4-вектор тока. Это мы сделаем аналогично тому, как мы поступали в 228.
Пространственный элемент объема, построенного на элементах пространственных координат ггх, дх, дх, есть /~сЛ/, где / — определитель пространственного метрического тензора (84/7), а гЛ/ = дх1дг2йхз (см. примеч. На с. 314). Введем плотность зарядов р согласно определению гге = р /~сЛ', где де — заряд, находящийся в элементе объема /з гЛ".
Умножив обе части этого равенства на г2х', имеем 1 ~ з ~ з — з 1з 21 э Р А/КЕЕ д о (мы использовали формулу — я = /доо (84.10)). Произведение А/:я НП есть инвариантный элемент 4-объема, так что 4-вектор тока определяется выражением (90.3) ,/кво дх' (величины дх'/нх скорости изменения координат со ввременем» х — сами не составляют 4-вектора!). Компонента у 4-веко о тора тока, умноженная на /8~/с, есть пространственная плотность зарядов.
Для точечных зарядов плотность р выражается суммой б-функций аналогично формуле (28.1). При этом, однако, надо уточнить определение этих функций в случае криволинейных координат. Мы будем понимать б(г) по-прежнему как произведение б(х')6(т2)о(хз) вне зависимости от геометрического смысла координат х, х, х; тогда равен единице интеграл по Л' (а не по /~Л/): 1'о(г)гЛ/ = 1. С таким определением б-функций плотность зарядов р = ~> — 'о(г — г ), ') Легко видеть, что зто уравнение может быть записано также и в виде Г;А, ~ + Гн; А ъ Гы;; = О, откуда очевидна его ковариантность. 346 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
