II.-Теория-поля (1109679), страница 64
Текст из файла (страница 64)
С помощью формул (86.5) — (86.8) находим, что первые два члена справа равны,,/ — 8, помноженному на = 81" (2Г',Г, — Г™ Г',„— Г',„Г™ш) = 281" (Г11Г', — Г',„Г,„). Окончательно имеем С = 81" (Г11Г1„- Г',„Г™ ). (93.3) Величинами, определяющими гравитационное поле, являются компоненты метрического тензора. Поэтому в принципе наименыпего действия для гравитационного поля варьированию подлежат именно величины игь. Здесь необходимо, однако, сделать следующую существеннуго оговорку.
Именно, мы не можем теперь утверждать, что в реально осуществляющемся поле интеграл действия имеет минимум (а не просто экстремум) 1 ) Коли положить А' = с, то масса будет измеряться в сантиметрах, причем г 1 см = 1,35 1022 г. Иногда пользуются вместо и величиной и= =1,86 10 см г 8яй 21 2 которую называют зйнштейновой гравитационной постоянной. 363 ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ Э 9З по отношению ко всем возможным вариациям щь.
Это связано с тем, что не всякое изменение й)ь соответствует изменению метрики пространства-времени, т.е. реальному изменению гравитационного поля. Компоненты й)ь меняются уже и при простом преобразовании координат, связанном липть с переходом от одной системы к другой в одном и том же пространстве-времени. Каждое такое преобразование координат представляет собой, вообще говоря, совокупность четырех (по числу координат) независимых преобразований. Для того чтобы исключить такие не связанные с изменением метрики изменения я;ы можно наложить на них четыре дополнительных условия и потребовать выполнения этих условий при варьировании.
Таким образом, в применении к гравитационному полю принцип наименьшего действия утверждает лишь, что можно наложить на я,ь такие дополнительные условия, при соблюдении которых действие имеет минимум по отношению к варьированию ягь') . Имея в виду эти замечания, покажем теперь, что гравитационная постоянная должна быть положительной. В качестве указанных четырех дополнительных условий потребуем обраще- НИЯ В НУЛЬ ТРЕХ КОМПОНЕНТ йп И ПОСтОЯНСтВа ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ~й я), составленного из компонент я я: Яоо — — О, )ф„д! = Сопэ1; в силу последнего из этих условий будем иметь Нас интересуют здесь те члены в подынтегральном выражении в действии, котоРые содеРжат НРоизводные от Ягь по хо (СР. с.
101). Простое вычисление с помощью (93.3) показывает, что такими членами в С являются 1 оо оэ чадя -, дкзз 4 дхо дхо Легко видеть, что эта величина существенно-отрицательна. Действительно, выбирая пространственную систему координат, которая была бы декартовой в данной точке пространства в данный ) Подчеркнем, однако, что все сказанное не влияет на вывод уравнений поля из принципа наименьшего действия Я 95). Эти уравнения получаются уже в результате требования экстремума действия (т.е.
исчезновения его первой вариации), а не обязательно минимума. Поэтому при их выводе можно подвергать варьированию все компоненты я,ь независимо. 364 РРАВНИНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х! момент времени (так что я„я = я"~ = — Б„д), получим 1 оо(дя В) и поскольку д~~ = 1~яоо ) О, то знак этой величины очевиден. Достаточно быстрым изменением компонент я В со временем х (в промежутке между двумя пределами интегрирования Гю нх ) можно, следовательно, сделать величину — С сколь угодно о большой.
Если бы постоянная Й была отрицательной, то действие при этом неограниченно уменьшалось бы (принимая сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения), т. е. не могло бы иметь минимума. й 94. 1ензор энергии-импульса В з 32 было получено общее правило для вычисления тензора энергии-импульса любой физической системы, действие которой представлено в виде интеграла (32.1) по 4-пространству.
В криволинейных координатах этот интеграл должен быть написан в виде (94.1) 1 (в галилеевых координатах я= — 1 и О переходит в — ) Л <Л'Ж). с Интегрирование производится по всему (трехмерному) пространству и по времени между двумя заданными моментами, т. е. по бесконечной области 4-пространства, заключенной между двумя гиперповерхностями. Как уже было указано в з 32, тензор энергии-импульса, определенный по формуле (32.5), не является, вообще говоря, симметричным, каким он должен быть. Для того чтобы сделать его симметричным, необходимо было прибавить к выражению (32.5) д надлежащим образом подобранный член вида —,ф;и, причем дх' ччы = — Ф аг Мы дадим теперь другой способ вычисления тензора энергии-импульса, обладающий тем преимуществом, что он сразу приводит к симметричному выражению.
Произведем в (94.1) преобразование от координат х' к координатам х" = х' + (', где с' — малые величины. При этом преоб- 365 г 94 тннзов эневгии-импяльсл разовании компоненты д'" преобразуются, согласно формулам ь~ л) ~ ~ ~)~*в~*'" ~ (5 + ~С*)(бь + О(") де д' гЬГ 1)+ мв С + М С дх дх' Тензор дн~ является здесь функцией от х'~, а тензор яд~ функцией прежних координат х'. Для того чтобы представить все члены в виде функций от одних и тех же переменных, разложим д""(х'+ С') по степеням ~'. Далее, пренебрегая членами высшего порядка по (, мы можем в членах, содержащих ~, написать д' вместо диь.
Таким образом, находим ~бкы „па~" .~бб; ах' а*' Ъ' Легко убедиться путем непосредственной проверки, что последние три члена справа могут быть написаны в виде суммы с"" + ~"" контравариантных производных от ('. Таким образом, находим окончательно преобразование д'" в виде ИЬ Гь 5 еь © гь ~Ой+(ь;Г (94.2) Для ковариантных компонент имеем при этом: д,'ь — — дгь+ бягы дя,ь = — (;,ь — сь,.; (94.3) (так, чтобы с точностью до величин первого порядка малости соблюдалось условие ~зйгы = о,") ') . Поскольку действие Я есть скаляр, то при преобразовании координат оно не меняется.
С другой стороны, изменение о'Я действия при преобразовании координат можно написать в следующем виде. Пусть, как и в 932, д обозначают величины, определяющие ту физическую систему, к которой относится действие Я. При преобразовании координат величины 9 меняются на бп. При вычислении бЯ можно, однако, не писать членов, связанных с изменениями и. Все эти члены все равно взаимно сокращаются в силу «уравнений движения» физической системы, поскольку эти уравнения как раз и получаются путем приравнивания нулю ) Отметим,что уравнения 4ч" +с и=О определяют те инфинитезимальные преобразования координат, которые не меняют данной метрики. В литературе нх часто называют уравнениями Киллиига, 366 гл. хэ РРАВНВНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ вариации о' по величинам д.
Поэтому достаточно писать толь- ко члены, связанные с изменением я,ь. Воспользовавшись, как обычно, теоремой Гаусса и полагая на границах интегрирова- ния дд'~ = О, находим оо' в виде') г 1 ~о,:~ло,„а,г:~л о~™~ „ с/ ( дйм —,„, + ддм дх' ) дх г 1("=-.л б "=.л, '.,К с,/ ~ аль а*' бй*ь ах' Введем теперь обозначение а,г:~л о а,г:~л 2 а™ д*ь д' да*э К * оя дх' (94.4) тогда бо примет вид') оо = — / ТэьбД~~/:дггП = — — / Т'~бщ' ъl:айй (94 5) 2с / 2с ) (замечаем, что 6э~дщ, = — 6)Ада'~ и потому Т'~бай = — Тьбд™).
Подставляя сюда для д~'~ выражение (94.2), имеем, воспользовавшись симметрией тензора Тгв Ю = г / Тгй (~ч " + ~"") чУ вЂ” и И = ~ ~ Т;„Г™' à — ~ И. 2с ) с / Далее преобразуем это выражение следующим образом; бЯ = — ) (Т; Г'),ь,/ — нйй — / -Т,".ь~'чУ вЂ” джей. (94.6) с / с ) Необходимо подчеркнуть, что введенное здесь обозначение производных по компонентам симметричного тензора я,ь имеет, н некотором смысле, символический характер. Именно, производные дГ/дй,ь(à — некоторая функция от и,.ь) имеют, по существу, смысл лишь как выражающие тот факт, что с2Г = (дГ/дй,ь)ЩА. Но в сумму (дГ,1дй,ь)дд,э члены с дифференциалами ~2К,А каждой из компонент с г ~ й входят дважды. Поэтому при дифференцировании конкретного выражения Г по какой-либо определенной компоненте ям с э ~ й мы получили бы величину, вдвое болыпую, чем то, что мы обозначаем через дГ!дй,ь.
Это замечание необходимо иметь в виду, если придавать определенные значения индексам г, Й в формулах, в которые входят производные по я,ь. э) В рассматриваемом случае десять величин бЬЧА не независимы, так как являются результатом преобразования координат, которых имеется всего четыре. Поэтому из равенства оо нулю отнюдь не следует, что Т,ь = 01 367 ~ 94 ТВНЗСР ЭНЕРГИИ-ИМНГЛЬСА Первый интеграл с помощью (86.9) может быть написан в виде — 6,У: Т,'б1)аа бд = — — Т,".ьб1~/ — и Г1П = О. Ввиду произвольности (' отсюда следует, что Т,.„= О.
(94.7) Сравнивая это уравнение с уравнением (32.4) дТь(дхь = О, имевшим место в галилеевых координатах, мы видим, что тензор ТГь, определяемый формулой (94.4), должен быть отождествлен с тензором энергии-импульса, по крайней мере с точностью до постоянного множителя. Что этот множитель равен единице, легко проверить, производя, например, вычисление по формуле (94.4) для случая электромагнитного поля, когда л= — — г;„г = — — г;„г, аа гй 1 Н йгл 16гг 16л Таким образом, формула (94.4) дает возможность вычислить тензор энергии-импульса путем дифференцирования Л по компонентам метрического тензора (и их производным). При этом тензор Тгь получается сразу в явно симметричном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
