II.-Теория-поля (1109679), страница 68
Текст из файла (страница 68)
при отсутствии гравитационного поля, если просто воспользоваться криволинейными координатами вместо декартовых. Таким образом, во всяком случае не имеет смысла говорить об определенной локализации энергии гравитационного поля в пространстве. Если тензор Тд = О в некоторой мировой точке, то это имеет место в любой системе отсчета, так что мы можем сказать, что в этой точке нет материи или электромагнитного поля.
Напротив,из равенства нулю псевдотензора в некоторой точке в одной системе отсчета отнюдь не следует того же самого для другой системы отсчета, и поэтому не имеет смысла говорить о том, имеется ли или нет гравитационная энергия в данном месте. Это вполне соответствует тому, что подходящим выбором координат можно «уничтожить» гравитационное поле в данном элементе объема, причем, согласно сказанному выше, одновременно исчезает и псевдотензор И в этом элементе. Величины же Р' — 4-импульс поля и материи -- имеют вполне определенный смысл, оказываясь не зависящими от выбора систем отсчета как раз в такой степени, как это необходимо на основании физических соображений.
Выделим область пространства, включаюшую в себя все рассматриваемые массы. В четырехмерном пространстве-времени эта область с течением времени прорезывает «канал». Вне этого «канала» поле убывает, так что 4-пространство асимптотически приближается к плоскому. В связи с этим при вычислении энергии и импульса поля надо выбрать четырехмерную систему координат таким образом, чтобы по мере удаления от канала она переходила в галилееву систему и все И исчезали. Этим требованием система отсчета, конечно, отнюдь не определяется однозначно, -- внутри канала она может быть выбрана произвольно. В полном согласии с физическим смыслом величин Р' они оказываются, однако, совершенно не зависящими от выбора системы координат внутри «канала». Действительно, рассмотрим две системы координат, различные внутри «канала>, но переходящие вдали от него в одну и ту же галилееву систему, и сравним значения 4-импульса Р' и Р" в этих двух системах в определенные моменты «времени» х~ и хоп.
Введем третью з 96 псендОтензОР энеРГии-импульсА ГРАвитАциОннОГО пОля 383 Г льгн с дс Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по обычной поверхности с помощью (6.17): рг 1 ~ 5«Ы 1у« 2с ЗГ (96.15) Если в качестве области интегрирования в (96.11) выбирается гиперповерхность ше = сопз1, то в (96.15) поверхность интегри- рования оказывается чисто пространственной поверхностью'): Р1 1 4,)Юо1у с / (96.16) ') Строго говоря, при определении (96.11) Р* есть 4-вектор лишь но отношенню к линейным преобразованиям с равным еднннце определителем; сюда относятся н преобразования Лоренца, которые только н представляют физический интерес.
Если допускать также и преобразования с не равным единице определителем, то в определение Р' надо ввести значение 6 на бесконечности, написав в левой части (96.11) РГ-Д Р' вместо Р*. г ) Щ есть «нормальный» элемент поверхности, связанный с «тангенциальнымь элементом 6Р посредством (6.11): ЕУ7А = — е,ь~„,цГ" . На поверхно*ь 1 2 стн, охватывающей гнперповерхность, перпендикулярную к оси е, отличны от нуля только компоненты цГ~ с 1, т = 1,2,3, н следовательно, Щ имеет только компоненты с одним нз г нлв к, равным нулю. Компоненты ЕД являются не чем иным, как компонентами трехмерного элемента обычной поверхности, который мы обозначаем через 47 .
систему координат, совпадающую внутри «каналаэ в момент т с первой системой, в момент т — со второй, а вдали от «канала»вЂ” с той же галилеевой. В силу закона сохранения энергии и импульса величины Р' постоянны (Г1Р'/рте = 0). Это имеет место в третьей системе координат, как и в первых двух. Отсюда следует Р' = Р",что и требовалось доказать. Выше было отмечено, что величины Г™ являются тензором по отношению к линейным преобразованиям координат. Поэтому величины Р' образуют 4-вектор по отношению к таким преобразованиям, в частности по отношению к преобразованиям Лоренца, переводящим на бесконечности одну галилееву систему отсчета в другую') .
4-импульс Р' может быть выражен также в виде интеграла по удаленной трехмерной поверхности, охватывающей «все пространством Подставив (96.5) в (96.11), находим гл. хг 384 ХРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ 1 У г; д»ЛН"" й д'Лн-" 1 с у дх дх" дх дх" ) с/ г, дх дх" / 2с/ — -' / А(~"Нгп — Л'"и) ~ ь с/ дх Из определения величин Л легко видеть, что гыгп Лнй Лйи Ли й Поэтому оставшийся интеграл по с(Я~ равен / дй 68 1 д Лгтпйоз/г с/ дх" 2с/ Наконец, снова выбирая чисто пространственную поверхность интегрирования, получим окончательно: М'й = 1 1(хгййоо — хйЬгоо + Лгоой),(/ с (96.17) Задача Получить выражение для полного 4-нмпульса материи и гравитационного поля, воспользовавшись формулой (32.3).
Р е ш е н и е. В криволинейных координатах имеем вместо (32.1) д=) Л,г:3Л 41 и потому для получения сохраняющейся величины надо писать в (32.3) Лхгг — 3 вместо Л, так что 4-импульс имеет вид А и -/(-г~~гйгс ', ' „'„) гг . доо~ д(хгг — '3 Л) дхг д(до~О/дх") ьгеа Заметим, что, как будет показано в 3105, величины Ь убывают в стационарном случае на больших расстояниях от тел по закону 1/г2, так что интеграл (96.16) остается конечным при удалении поверхности интегрирования на бесконечность. Для вывода аналогичной формулы для момента импульса подставим (96.5) в (96.13) и представим Чйг в виде (96.2).
Проинтегрировав затем епо частям», найдем 385 СИНХРОННАЯ СИОТЕМА ОТО 4ЕТА При применении этой формулы к материи, для которой величины д~ ~ отличны от я44, можно выыести,,~ — я из-под знака производной, и подынтегральное выражение оказывается равным,l — 6Т,, где Т, — тензор энер- А 4 гин-импульса материи. Прн применении же написанной формулы к гравис тационному полю надо положить Л = — С, а величинами до~ являются 16та компоненты Е,А метрического тензора.
Полный 4-импульс поля и материи равен, следовательно, с / 16яй / [ дх' д(да~ /дх")] Воспользовавшись выражением (93.3) для С, можно преобразовать эту фор- мулу к виду Второй член в фигурных скобках определяет 4-нмпульс гравитационного поля при отсутствии материи. Подынтегральное выражение не симметрично по индексам 4, й н потому не дает возможности сформулировать закон сохранения момента импульса. 3 97. Синхронная система отсчета Как мы знаем из 384, условие, допускающее синхронизацию хода часов в различных точках пространства, заключается в ра- ВЕНСтВЕ НУЛЮ КОМПОНЕНТ део МЕТРИЧЕСКОГО тЕНЗОРа.
ЕСЛИ, КРОМЕ того, 8ОО = 1, то временная координата х = 1 представляет собой собственное время в каждой точке пространства') . Систему отсчета, удовлетворяющую условиям 800 = 1~ Кео = 94 197. 1) назовем синхронной. Элемент интервала в такой системе дается выражением ля~ = Ж~ — у 644х"г)хд, (97.2) причем компоненты тензора пространственной метрики совпадают 1с точностью до знака) с компонентами я д; 7од = 8ад- (97.3) В синхронной системе отсчета линии времени являются геодезическими линиями в 4-пространстве.
Действительно, 4-вектор и' = 44х'/41я касательной к мировой линии х, х, х = СОПВ1 ИМЕЕТ СОСтаВЛяЮщИЕ ио = О, НО = 1 И аВтОМатИЧЕСКИ ') В этом параграфе полагаем с = 1. 13 Л.Д. Ландау и В.М. Лифшиц. Том П 386 УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАПИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х1 удовлетворяет геодезическим уравнениям с~и' — +Гыи и =Гоо — — О, НА поскольку при условиях (97.1) символы Кристоффеля Г~~о, Гооо равны нулю тождественно. ,Легко также видеть, что эти линии нормальны к гиперповерхностям 1 = сопэ1. Действительно, 4-вектор нормали к такой гиперповерхности и.
= дГ/дх' имеет ковариантные составляющие и = О, по = 1. Соответствующие контравариантные компоненты при условиях (97.1) тоже равны и = О, и = 1, т.е. совпадают с компонентами 4-вектора и' касательных к линиям времени. Обратно, этими свойствами можно воспользоваться для геометрического построения синхронной системы отсчета в любом пространстве-времени. Для этого выбираем в качестве исходной какую-либо пространственноподобную гиперповерхность, т.е. гиперповерхность, нормаль к которой в каждой ее точке имеет временное направление (лежит внутри светового конуса с вершиной в этой же точке); все элементы интервала на такой гиперповерхности пространственноподобны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
