II.-Теория-поля (1109679), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Последнее означает, что радиус-вектор г определен таким образом, чтобы длина окружности с центром в начале координат была равна 2лт (элемент дуги окружности в плоскости 0 = п112 равен Ж = гс11р). Величины 6 и 1 нам будет удобно писать в экспоненциальном виде, соответственно как — е и с е, где Л и и — некоторые Л 2 функции от г и 6 Таким образом, получим для 1Ь2 следующее выражение: сЬ~ = е сссИ~ — г~(11й~ + е1п~ д п1р~) — елй 2. ') Эти условия не определяют еще выбора временной координаты однозначным образом: она может еще быть подвергнута любому преобразованию вида Ф = ДФ ), не содержащему 1. 2 100 ЦентРАльнО-симметРичнОВ ГРАВитАЦиОннОе пОле 403 Подразумевая под т~, т~, т~, ха соответственно с~, Г, д, 772, мы имееем, следовательно, для отличных от нуля компонент метрического тензора выражения яоо = е, 8ы = — е, Очевидно,что о Л л— Г>1 = — е 7 > и и-Л Гоо = — е 2 -л Г22 — — — Ге (100.3) о 1оо= 2 2 3 1 3 Г12 —— Г>3 — — —, Г23 — — с18 07 7 1 Л 1 .
2 — Л 1 10 = 1 33 = 2' Все остальные компоненты Г~~> (кроме тех, которые отличаются от написанных перестановкой индексов Й и 1) равны нулю. Для составления уравнений надо вычислить по формуле (92.7) компоненты тензора А~~. Простые вычисления приводят в результате к следующим уравнениям: 8л'Л 1 Луи' 1 > 1 — АТ, = — >-+ — 21+ —, 2 7 с Г Г 7' (100.4) 8ее 2 8е>7 3 1 Л 7' л и'2 и' — Л' и'Л'Л вЂ” — — + — + — — (+ с с 2 2 2 ( 1 7'" Л Лил + -е >1Л + — — — ), (100.5) 2 2 2 (100.6) 8 АТ> — лл ,То= — е (100.7) (остальные компоненты уравнения (95.6) тождественно обращаются в нуль).
Компоненты тензора энергии-импульса могут быть 00 — и 11 — Л 22 — 2 33 — 2 ° — 2 ил С помощью этих значений легко вычислить по формуле (86.3) величины Г~~>. Вычисление приводит к следующим выражениям (>птрих ОЗначаЕт диффЕрЕнцирОваниЕ пО т, а тОчка над буквОй дифференцирование по с1): 1 Л 0 7' 2 Г>> = —, Гю = —, Г33 = — 3>пдсов67 404 ПОЛИ ТЯГОТЕЮ1ЦИХ 'ГЕЛ Гл, хп (100.8) (100.9) Л= О (100.10) (четвертое уравнение, т.е. уравнение (100.5), можно не выписыватгч так как оно ЯвлЯетсЯ слеДствием тРех остальных УРавнений). Из (100.10) мы видиьл, что Л не зависит от времени.
Далее, складывая уравнения (100.8), (100.9), находим Л'+ ь~ = О, т.е. Л + 11 = у 11), (100.11) где 1'~~) функция только от времени. Но, выбрав интервал сЬ2 в виде (100.2), мы оставили за собой еще возможность произвольного преобразования времени вида 1 = у (1'). Такое преобразование эквивалентно прибавлению к Р произвольной функции времени, и с его помощью можно всегда обратить Я) в (100.11) в нуль. Итак, не ограничивая общности, можно считать, что Л+ +11 = О. Отметим, что центрально-симметричное гравитационное поле в пустоте автоматически оказывается статическим.
Уравнение (100.9) легко интегрируется и дает — Л и сопвс е =е =1+ т (100.12) Как и следовало, на бесконечности (т — + оо) е л = е' = 1, т.е. вдали от гравитирующих тел, метрика автоматически оказывается галилеевой. Постоянную сопэ1 легко выразить через массу тела, потребовав, чтобы на больших расстояниях, где поле слабо, имел место закон Ньютона' ) . Именно, должно быть 8ОО = 1 + 21д~1с, где потенциал 1р равен своему ньютоновскому 2 1 ) Для поля внутри сферической полости в центрально-симметричном распределении вещества должно быть сопвс = О, так как в противном случае метрика имела бы особенность при т = О. Таким образом, метрика внутри такой полости автоматически оказывается галилеевой,т.е. гравитационное поле в полости отсутствует (как и в ньютоновской теории). выражены с помощью формулы (94.9) через плотность энергии материи е, ее давление р и радиальную скорость и.
Уравнения (100.4) — (100.7) могут быть проинтегрированы до конца в очень важном случае центрально-симметричного поля в пустоте, т.е. вне создающих его масс. Полагая тензор энергии-импульса равным нулю, получим следующие уравнения: 100 ЦентРАльнО-симметРи снОВ ГРАВитАЦиОннОе пОле 405 2йт 2 с2 (100.13) Таким образом, окончательно находим пространственно-временную метрику в виде с1гз = (1 — "«1сзс11з — тз(В1пз дс1~2+ с190) — с1Г . (100.14) ) 1 — Г«(Г Это решение уравнений Эйнштейна было найдено 1Пварцшильдом (К.
Ясссшатггссс«Ы, 1916). Им полностью определяется гравитационное поле в пустоте, создаваемое любым центрально-симметричным распределением масс. Подчеркнем, что это решение справедливо не только для покоящихся, но и для движущихся масс, если только движение тоже обладает должной симметрией (скажем, центрально-симметричные пульсации). Отметим, что метрика (100.14) зависит только от полной массы гравитирующего тела, как и в аналогичной задаче ньютоновской теории. Пространственная метрика определяется выражением для элемента пространственного расстояния: д1~ = + т~(з1п Осур~+ с1о~). 1 — Г,,СГ (100.15) Геометрический смысл координаты т определяется тем, что в метрике (100.15) длина окружности с центром в центре поля равна 2ят.
Расстояние же между двумя точками тг и тз на одном и том же радиусе дается интегралом Г сст ) тз — Г'1. ,г1 — т Ст ГГ (100.16) Далее мы видим, что я00 < 1. В связи с формулой (84.1) (с1т = я~~ сЫ,Сс), определяющей истинное время, отсюда следует, что (100.17) ат < ссс. Знак равенства имеет место на бесконечности, где 1 совпадает с истинным временем. Таким образом, на конечных расстояниях от масс происходит «замедление» времени по сравнению со вре- менем на бесконечности.
выражению (99.4); ср = — Ып/т (т — - полная масса создающего поле тела). Отсюда видно, что сопз1 = — 2йт/с. Эта величина имеет размерность длины; ее называют гравитационным ра- диусом тела тг. 406 ПОЛН ТЯГОТЕЮЩИХ 'ГЕЛ ГЛ. ХП ГЬв = ПЬЮ вЂ”, (Г1г~ + с~г1~~). (100.18) Второй член представляет собой малую поправку к галилеевой метрике ПЬо. На больших расстояниях от создающих поле масс 2 всякое поле центрально-симметрично. Поэтому (100.18) определяет метрику на больших расстояниях от любой системы тел. Некоторые общие соображения можно высказать и по поводу центрально-симметричного гравитационного поля внутри гравитирующих масс.
Из уравнения (100.6) видно, что при 1. -+ — ~ 0 Л должно тоже обращаться в нуль, по крайней мере как Г2: в противном случае правая часть уравнения обратилась бы при г -э 0 в бесконечность, т.е. Тес имело бы в т = 0 особую точку. Интегрируя формально уравнение (100.6) с граничным условием Л(, е = О, получим Л вЂ” — 1п(1 — Тет Г1Г) 8ЯН Е 2 СГ / е (100.19) Поскольку в силу (94.10) ТГО = е 'Тес > О, то отсюда видно, что Л > О, т. е. е >1. (100.20) Далее, вычитая уравнение (100.6) почленно из уравнения (100.4), получим — (и~+ Л) = —,(Тее Т~т) ( +~)( " ) > 0 Г С 1 — Г/С т.
е. и'+ Л' > О. Но при т — Г ОО (вдали от масс) метрика переходит в галилееву, т.е. ь — Г О, Л -+ О. Поэтому из и'+ Л > 0 следует, что во всем пространстве (100.21) (100.22) и+Л<0. Поскольку Л > О, то отсюда следует, что и < О, т. е. е <1. Полученные неравенства показывают, что указанные вьппе свойства (100.16), (100.17) пространственной метрики и хода часов в центрально-симметричном поле в пустоте относятся в той же мере и к полю внутри гравитирующих масс. Наконец, приведем приближенное выражение для НЬ на 2 больших расстояниях от начала координат: 100 ЦентРАльнО-симметРи 1нОБ ГРАВитАЦиОннОе пОле 407 Если гравитационное поле создается сферическим телом «радиусаь а, то при т > а имеем Т00 — — О.
Для точек с т > о формула (100.19) поэтому дает Л=-1п(1- —,/ Т,т Йт). 8кя 0 2 с г 0 С другой стороны, здесь можно применить относящееся к пустоте выражение (100.14), согласно которому Л = — )п(1 — 2",'"). Сравнивая оба выражения, найдем формулу а (100.23) 0 определяюшую полную массу тела, по его тензору энергии-импульса. В частности, для статического распределения вещества в теле имеем Тоо = е, так что пз = —, ет дт. (100.24) о Обратим внимание на то, что интегрирование производится по 42стзй., между тем как элемент пространственного объема в метрике (100.2) есть се = 42ГтзелГ2Г)т, причем, согласно (100.20), ел12 > 1.
Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела. Задачи 1. Найти инварианты тензора кривизны для метрики Шварцшнльда (100.14). Р е ш е н и е. Вычисление по (92.1) с Г~1 из (100.3) (нли по формулам, полученным в задаче 2 1 92) приводит к следующим значениям отличных от нуля компонент тензора кривизны: гз' позоз гз1г гз) 0101 = з 0202 = гз ззпз д 2гз Н1212 Гз . г Я1212 . 2 Нзззз = — ггзз1п 9. зш 9 2(г — 1,) ' Для ннварнантов 11 н 12 (92.20) находим ( з) ' 12 ( з) (произведения с участием дуального тензора й.ь1 равны нулю тождественно). Теизор кривизны относится к типу,0 по Петрову (с вещественными инвариантами ЛО1 = Л1~1 = — гз)2г'). Отметим, что инварианты кривизны имеют особенность лишь в точке г = О, но не прн г = гз.
408 ГЛ. ХП ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ 2. Для той же метрики определить пространственную кривизну. Р е ш е и и е. Компоненты пространственного тензора кривизны Р р 1 могут быть выражены через компоненты тензора Р р (и тензор т е), так что достаточно вычислить только Р„р (см. задачу 1 5 92). Тензор Р„р выра- жается через Г р так же, как В«ь выражается через 91». Со значениями у р из (100.15) получим после вычислении: « „, г„„г« Р» = Ре = — ", Р„" = — — г 2»' " гз и РЕ = 0 при а ~ Д. Отметим, что Р»», Р~ > О, Р < О, а Р = Р = О. По формуле, полученной в задаче 1 292, найдем в Р в,в = (Р" + Р«) ~ 2«в = — Р„'у Гвв, в Р = — Р» у Г»ю Р»» = — Р, Гв»1„~.
Отсюда следует (см, примеч, на с. 355), что для «плоскостей», перпендику- лярных к радиусам, гауссова кривизна К= = — Р,".>О Рв в 7«в" гг (это значит, что для небольших треугольников, проведенных на участке «плоскости» вблизи ее пересечения с перпендикулярным к ней радиусом, сумма углов больше чем я ). Для «плоскостей» же, проходящих через центр, гауссова кривизна К < 0; это значиг, что сумма углов, проведенных в «плос- кости» небольших треугольников, меньше чем я (подчеркнем, однако, что последнее свойство не относится к треугольникам, охватывающим центр,— сумма углов в таком треугольнике больше чем 1). 3. Определить форму поверхности вращения, на которой геометрия была бы такой же, как на проходящей через начало координат «плоскости» в центрально-симметричном гравитационном поле в пустоте. Р е ш е н и е.
Геометрия на поверхности вращения х = х(г) (в цилин- дрических координатах) определяется элементом длины 41 =Йг +«Ь +г«4р =Йг (1+я )+с4р. Сравнивая с элементом длины (100.15) в «плоскости» В = х/2 аг» Е1 = г пэ» + 1 — г«)г находим откуда «- ) При г = г«эта функция имеет особенность — точку разветвления. Это обстоятельство связано с тем, что пространственная метрика (100.15) в противоположность пространственно-временной метрике (100.14) действительно имеет особенность при г = г«. Указанные в предыдущей задаче Общие свойства геометрии на проходящих через центр «плоскостях» можно найти также и путем рассмотрения кривизны полученной здесь наглядной модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
