II.-Теория-поля (1109679), страница 74
Текст из файла (страница 74)
й 102. Гравитационный коллапс сферического тела В шварцшильдовой метрике (100.14) яоо обращается в нуль, а йы — в бесконечность при г = гк (на шварцшильдовой сфере). Это обстоятельство могло бы дать основания к заключению о на- ') Для луча, проходящего мимо края Солнца, 4~о = ц75". 415 ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПО С'»ЕРИЧЕОКОГО ТЕЛА 1Ю2 личин особенности пространственно-временной метрики и затем к заключению о невозможности существования тел с «радиусом» (ггри заданной массе), меньшим гравитационного радиуса. В действительности, однако, такие заключения были бы неправильными.
На это указывает уже то обстоятельство, что определитель я = — т~ яп2 д никакой особенности при т = тк не имеет, так что условие д < 0 (82.3) не нарушается. Мы увидим, что фактически мы имеем дело лишь с невозможностью осуществления при т < < т жесткой системы отсчета. ля выяснения истинного характера пространственно-временной метрики в этой области произведем преобразование координат вида") В = с1+ . (102.1) / 11 — те(т)11т) Тогда йл2 = "гг" (с2йт2 — 22йЛ~) — т2(йд~ + вш2 д йр2). уг Мы устраним особенность при т = тю выбрав Дт) так, чтобы было 1(тк) = 1.
Если положить уЯ =,,/г 7т, то новая система кооРдинат бУдет также и синхРонной (Вт, = 1). ВыбРав сначала для определенности верхние знаки в (102.1), будем иметь Л вЂ” ст — — — йт —— 2/3 т= ~ — (Л вЂ” ст) 1т~ (102.2) (постоянную интегрирования, зависяшую от начала отсчета времени т, полагаем равной нулю). Элемент интервала: сИ~ 3 йл — с йт — — — ( — ст) т ~ (йд +яп дс6р ). ~ — (Я вЂ” ст)~ 2те (102.3) В этих координатах особенность на шварцшильдовой сфере 3 (которой соответствует здесь равенство -(1г' — ст) = тк) отсут- 2 ствует. Координата гь' является везде пространственной, а т— ) Физический смысл шварцшильдовой особенности был впервые выяснен Финкелыитейном (О. г тке1»1егий 1958) с помощью другого преобразования.
Метрика (102.3) была ранее найдена Леметром (О. Хетагтте, 1938). 416 ГЛ. ХП ПОЛН ТЯГОТЕЮ1ЦИХ 'ГЕЛ временной. Метрика (102.3) нестационарна. Как во всякой синхронной системе отсчета, линии времени в ней являются геодезическими линиями. Другими словами, покоящиеся относительно системы отсчета «пробные» частицы это частицы, свободно движущиеся в данном поле. Заданным значениям г отвечают мировые линии Л вЂ” ст = = сопз1 1наклонные прямые линии на диаграмме рис. 20). Мировые же линии частиц, покоящихся относительно системы отсчета, на этой диаграмме изображаются вертикальными прямыми; передвигаясь вдоль них, частицы за конечный интервал собственного времени «падают» в центр поля (т = 0), представляющий собой точку истинной особенности метрики.
Рассмотрим распространение радиальных световых сигналов. Уравнение Йэ~ = 0 (при 41,4)» = сопзФ) дает для производной Йт~ЙЯ вдоль луча: — =«[ — (Л вЂ” )) =«)) — ', )141.4) два знака отвечают двум границам светового «конуса» с вершиной в заданной мировой точке. При т ) гк (точка а на рис. 20) наклон этих границ ~)сйт(ЙЛ) < 1, так что прямая т = сопв» (вдоль которой сйт(ЙР«=1) попадает внутрь конуса. В области же г < гк (точка ГГ') имеем ~)сйт(ЙЩ > 1, так что прямая г = сопз$ — мировая линия с« « „«неподвижнои (относительно центра поля) частицы — лежит вне конуса. Обе границы конуса на конечном расстоянии пересекают линию г = О, .л-,а подходя к ней вертикально.
Поскольку никакие причинно связанные события не могут лежать на мировой линии вне светового конуса, отсюда следует, что в области г < гк никакие частицы не могут быть неподвижными. Все взаимодействия и сигналы распространяются здесь по направлению к центру, достигая его за конечный промежуток времени т. Аналогичным образом, выбрав в преобразовании (102.1) нижние знаки, мы получили бы «расширяющуюся» систему отсчета с метрикой, отличающейся от (102.3) изменением ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПО ОФЕРИЧЕОКОГО ТЕЛА знака перед т. Она отвечает пространству-времени, в котором 1в области т ( тд) по-прежнему невозможен покой, но распространение всех сйгналов происходит в направлении от центра. Изложенные результаты можно применить к вопросу о поведении массивных тел в общей теории относительности. Исследование релятивистских условий равновесия сферического тела показывает, что для тела достаточно большой массы равновесного статического состояния может не существовать 1см.
«Статистическая физика», ч. 1, 9 109). Очевидно, что такое тело должно неограниченно сжиматься 1так называемый гравитационный коллапс) ') . В не связанной с телом галилеевой на бесконечности системе отсчета 1метрика 1100.14)) радиус центрального тела не может быть меньше тю Это значит, что по часам 1 удаленного наблюдателя радиус сжимающегося тела лишь асимптотически при 1 — + ОО стремится к гравитационному радиусу. Легко выяснить предельный закон этого приближения. Частица на поверхности сжимающегося тела находится все время в поле тяготения постоянной массы т — полной массы тела. При т — + тк силы тяготения становятся очень большими; плотность же тела 1а с нею и давление) остается конечной. Пренебрегая на этом основании силами давления, мы сведем определение зависимости радиуса тела от времени к рассмотрению свободного падения пробной частицы в поле массы т.
Зависимость т1Г) для падения в шварщпильдовом поле дается интегралом 1101.4), причем для чисто радиального движения момент М = О. Так, если падение начинается на «расстоянии» то от центра с нулевой скоростью в некоторый момент времени 19, * н г = "у( †',( ° н н - (н жения ею «расстояния» т имеем Го с(1 — ~о) = 1 — — ' / . (102.5) '»('- ((и( — ( Этот интеграл расходится при т — » т как — тк 1п 1т — тк). Отсюда асимптотический закон приближения т к т,: т — тк — — сопз1 ° е ' ("и.
1102.б) Таким образом, конечная стадия приближения коллапсирующего тела к гравитационному радиусу происходит по экспоненциальному закону с очень малым характерным временем тг(с. ) Основные свойства этого явления были впервые выяснены Оппенгеймером и Спайдером (,У.Н. Орреп1(е1«пег, Н. Бпуйет, 1939). 14 Л.Д. Ландау и В.М. Лифшиц. Том П 418 ГЛ. ХП ПОЛЕ ТЯГОТЕЮ1ЦИХ 'ГЕЛ Хотя скорость наблюдаемого извне сжатия асимптотически стремится к нулю, скорость в падающих частиц, измеренная в их собственном времени, напротив, возрастает, стремясь к скорости света. Действительно, согласно определению (88.10): (4 — а 4ГХ~З ,ф-.;.ч Взяв 8ы и яоо из (100.14), а Г1г(М из (102.5), найдем (102.7) 1 ГЕ!ГО Приближение к гравитационному радиусу, требующее бесконечного времени по часам удаленного наблюдателя, занимает лишь конечный интервал собственного времени (время в сопутствующей системе отсчета).
Это ясно уже из изложенного выше общего анализа, но в этом можно убедиться и непосредственным вычислением собственного времени т как инвариантного интеграла Г Г Ни' 1172 ст = 11е = / [с 8оо — + 8ГГ~ ГГГ. Взяв Г1г(й из (102.5), находим для собственного времени падения из точки го в г: Г11 (102.8) Этот итеграл сходится при à — Г гд. Достигнув (по собственному времени) гравитационного радиуса, тело будет продолжать сжиматься, причем все его частицы достигнут центра за конечное собственное время; момент падения каждой порции вещества в центр представляет собой истинную особенность пространственно-временной метрики.
Весь процесс сжатия тела под шварцшильдовой сферой, однако, не наблюдаем из внешней системы отсчета. Моменту прохождения поверхностью тела этой сферы отвечает время 1 = Оо; можно сказать, что весь процесс коллапса под шварцшильдовой сферой происходит как бы «за временной бесконечностью> удаленного наблюдателя крайний пример относительности хода времени. Никаких логических противоречий в этой картине, разумеется, нет. В полном соответствии с ней находится указанное выше свойство сжимающейся системы отсчета: в этой системе из-под шварцшильдовой сферы не выходят никакие сигналы.
Частицы или лучи света могут пересекать эту сферу (в сопутствующей 419 ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПО СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА 1Ю2 о дг ГΠ— Го с,2,1= / = го — г+гк1п 1 — т (Г т — Г. Г (102.9) расходящимся (как и интеграл (102.5)) при г — + гю Интервалы собственного времени на поверхности тела сокращены по отношению к интервалам времени 1 бесконечно удаленного наблюдателя в отношении Лоо= 1 — — ' при г -+ гд, следовательно, все процессы на теле по отношению ко внешнему наблюдателю «застывают». Частота спектральной линии, испускаемой на теле и воспринимаемой удаленным наблюдателем, уменьшается, однако не только этим эффектом гравитационного красного смещения, но и эффектом Доплера от движения источника, падающего к центру вместе с поверхностью шара.
Когда радиус шара уже близок к гк (так что скорость падения уже близка к скорости света), этот эффект уменьшает частоту в Т: *7 * 1+ о,1с 2 ~1 с раз. Под влиянием обоих эффектов наблюдаемая частота обра- щается, следовательно, в нуль при г -+ гк по закону ы = сопв$ (1 — — '). (102.10) Таким образом, с точки зрения удаленного наблюдателя гравитационный коллапс приводит к возникновению «застывшего» тела, которое не посылает в окружающее пространство никаких сигналов и взаимодействует с внешним миром только своим статическим гравитационным полем. Такое образование называют черной дырой или коллансаром. системе отсчета) лишь в одном направлении — - внутрь, и, раз пройдя туда, уже никогда обратно выйти не могут.
Такую поверхность «одностороннего клапана» называют горизонтом собыший. По отношению ко внешнему наблюдателю сжатие к гравитационному радиусу сопровождается «самозамыканием» тела. Время распространения посылаемых с тела сигналов стремится к бесконечности. Действительно, для световых сигналов д»2 = 0 и в шварцшильдовой системе имеем сао = Г1г((1 — гк(г);время распространения от г до некоторого го ) г дается интегралом 420 Гл, хп ПОЛН ТЯГОТЕЮ1ЦИХ 'ГЕЛ В заключение сделаем еще одно замечание методического характера.
Мы видели, что для центрального поля в пустоте инерциальная на бесконечности «система внешнего наблюдателя» не полна: в ней нет места для мировых линий частиц, движущихся внутри шварцптильдовой сферы. Метрика же (102.3) применима также и внутри шварцшильдовой сферы, однако и эта система отсчета в известном смысле не полна. Действительно, рассмотрим в этой системе частицу, совершающую радиальное движение по направлению от центра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
