II.-Теория-поля (1109679), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Зельдович, И. Д. Новиков, 1965). Будем сначала говорить о телах, отклонение которых от центральной симметрии связано с распределением вещества в них, но не с вращением тела как целого. Очевидно, что если массивное центрально-симметричное тело гравитационно неустойчиво, то эта неустойчивость сохранится и при малом нарушении симметрии, так что и такое тело будет ксллапсировать.
Рассматривая слабую асимметрию как малое возмущение, можно проследить за его развитием (в сопутствующей системе отсчета) в ходе сжатия тела. Возмущения, вообще ) Функция т(т,Ла), определяемая формулами (4), совпадает, конечно, с функцией, вычисленной по внешней метрике и даваемой интегралом (102.8). То же самое относится к функции 1(т), определяемой формулами (4) и (5),— она совпадает с даваемой интегралом (102.5). Азо Гл, хн ПОЛН ТЯГОТЕЮ1ЦИХ 'ГЕЛ говоря, возрастают по мере увеличения плотности тела. Но если возмущения были достаточно малы в начале сжатия, то они останутся еще малыми и в момент достижения телом гравитационного радиуса; в 8 103 было отмечено, что этот момент ничем не замечателен для внутренней динамики сжимающегося тела, а его плотность, разумеется, еще конечна') .
В силу малости внутренних возмущений в теле остаются малыми также и возмущения создаваемого им внешнего центрально-симметричного гравитационного поля. Это значит, что остается почти неизменной также и 1товерхность «горизонта событий»вЂ” шварцшильдова сфера, и ничто не мешает коллапсирующему телу (в сопутствующей системе отсчета) пересечь ее. О дальнейшем нарастании возмущений внутри тела к внешнему наблюдателю не поступает никаких сведений, поскольку изпод горизонта событий не выходят никакие сигналы; весь этот процесс остается «за временной бесконечностьюа удаленного наблюдателя. Отсюда, в свою очередь, следует, что по отношению к внешней системе отсчета гравитационное поле коллапсирующего тела должно стремиться к стационарности, когда тело асимптотически приближается к гравитационному радиусу.
Характерное время этого приближения очень мало ( гк7с), и по его истечении можно считать, что во внешнем пространстве остаются лишь ранее возникшие возмущения центрально-симметричного поля. Но все переменные возмущения должны с течением времени рассеяться в пространстве, как гравитационные волны, уходя на бесконечность (или проходя под горизонт). Во внешнем гравитационном поле возникающего коллапсара не могут остаться также и не зависящие от времени, статические возмущения.
Этот вывод можно извлечь из анализа постоянных возмущений, налагаемых на шварцшильдово поле в пустоте. Такой анализ показывает, что в статическом случае всякое (убывающее на бесконечности) возмущение неограниченно возрастает при приближении к шварцшильдовой сфере невозмущенной задачи'); между тем для возникновения больших воз- ') Развитие возмущений в нестационарном безграничном однородном распределении материи рассмотрено в З 115 (полученные там формулы в равной степени относятся как к случаю расширения, так и к случаю сжатия).
Неоднороность невозмущенного распределения или ограниченность тела не меняют данного утверждения. ~) См. Т. Лейде, з. А. УЪее1егО РЬув. Нет. 1957. У. 108. Р. 1063. Подчеркнем, что речь идет о возмущениях, происходящих от самого центрального тела. Поставленное условие на бесконечности исключает случаи, когда Статические возмущЕния иСхОдят От внешних истсчников: в таких Случаях малые возмущения лишь несколько искажают шварцшильдову сферу, не меняя ее качественных свойств и не создавая на ней истинной пространственно-временной особенности. 431 ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИ |ЕСКИХ ТЕЛ г 104 мущений внепп|его поля в данном случае, как уже было указано, нет никаких оснований. Отклонения от сферической симметрии в распределении плотности тела описываются квадрупольным и высшими мультипольными моментами этого распределения; каждый из них дает свой вклад во внешнее гравитационное поле.
Сделанное утверждение означает, что все такие возмущения внешнего поля затухают на конечных (с точки зрения внешнего наблюдателя) стадиях коллапса') . Установившееся гравитационное поле коллапсара оказывается снова центрально-симметричным полем Шварцшильда, определяющимся одной только полной массой тела. Вопрос о конечной судьбе тела в его коллапсе под горизонтом событий (не наблюдаемом из внешней системы отсчета) не вполне ясен.
Можно, по-видимому, утверждать, что и здесь коллапс заканчивается истинной особенностью пространственно-временной метрики, но особенностью совсем другого типа, нежели в центрально-симметричном случае. Этот вопрос, однако, в настоящее время еще не выяснен до конца. Обратимся к случаю, когда слабое нарушение сферической симметрии связано не только с распределением плотности, но и с вращением тела как целого; предполагаемая малость отклонений от сферической симметрии означает при этом достаточную медленность вращения.
Все сказанное вьппе остается в силе, за одним лишь исключением. Заранее ясно, что в силу сохранения полного момента импульса тела М поле коллапсара в этом случае не может зависеть от одной только массы. Этому как раз соответствует то обстоятельство, что среди не зависящих от времени стационарных (но пе статических) возмущений центрально-симметричного гравитационного поля есть одно, которое не растет неограниченно при г э гю Это возмущение связано именно с вращениев| тела и описывается добавкой к шварцшильдову метрическому тензору я|ь (в координатах х = 1, х~ = г, яз = д, хэ = ~р) малой недиагональной компоненты'): Коз = — з|п и 21М (104. 1) (см. задачу к 9 105).
Это выражение остается справедливым (во внешнем пространстве) при приближении тела к гравитационному радиусу, и, таким образом, гравитационное поле медленно вращающегося коллапсара будет (в первом приближении по ма- ') Закон этого затухания см.
Гг. О. Рг се)) РЬуз. Нег. В. 1972. Ч. 5. Р. 2419, 2439. Начальные статические 1-польные возмущения внешнего гравитационного поля затухают при коллапсе как 1/Г гмг ) В этом параграфе полагаем с = 1. 432 Гл, хп ПОЛН ТЯГОТЕЮ1ЦНХ 'ГЕЛ лому моменту М) центрально-симметричным шварцшильдовым полем с малой поправкой (104.1). Это поле уже не статично, а лишь стационарно. Если гравитационный коллапс допускается при малых нарушениях сферической симметрии, то коллапс такого же характера (с уходом тела под горизонт событий) должен быть возможен и в некоторой конечной области значительных отклонений от сферичности; условия, определяющие эту область, в настоящее время еще не установлены. Вне зависимости от этих условий можно, по-видимому, утверждать, что свойства возникающего в результате такого коллапса образования (вращающегося коллапсара) с точки зрения внешнего наблюдателя не зависят ни от каких характеристик первоначального тела, за исключением лишь его полных массы га и момента М') .
Если тело не вращается как целое (М = О), то внешнее гравитационное поле коллапсара есть центрально-симметричное поле Шварцшильда') . Гравитационное же поле вращающегося коллапсара дается следующей аксиально-симметричной стационарной метрикой 1Герра э) 2 2 — (г~+ а + — "', вшзд~ з(п дг6р~+ "'," з(п дс(9ггй, (104.2) 2 Р' где введены обозначения Ь = г2 — гкг+а, рй = г2+а соззд, (104.3) а гк по-прежнему равно 2тк.
Эта метрика зависит от двух посто- ') Во избежание недоразумений наломннм, что мы не рассматриваем тел, несушнх на себе нескомпенснрованный электрнческнй заряд. 1) Это утверждение существенно подкрепляется следующей теоремой Израэля; среди всех статических, галилеевых на бесконечности решений уравненнй Эйнштейна с замкнутыми односвязнымн пространственными поверхностямн кос = солей Г = сопи решение Шварцшнльда является единственным без особенностей пространствонно-временной метрики, нмеюшнм горизонт (кэс = О) (доказательство этого утверждения: см. Иг. 1эгое1)) РЬуз.
Веч. 1967. Н. 164. Р. 1776). э) Это решение уравнений Эйнштейна было открыто Керром (К. Кегг, 1963) в другом виде н приведено к форме (104.2) Боаером н Линдкеистом (Я. Н. Воуег, К. Иг. Бгпггдигэй 1967). В литературе нет конструктивного аналнтнческого вывода метрики (104.2), адекватного ее физическому смыслу, н даже прямая проверка этого решения уравнений Эйнштейна связана с громоздкнмн вычислениями. Утверждение об единственности метрики Керра как поля вращающегося коллапсара подкрепляется теоремой, аналогичной упомянутой выше теореме Израэля для поля Шварцшнльда (см. В.
СогГег)) Р1гуз. Веч. 1 ен. 1971. Н. 26. Р. 331). 4ЗЗ ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ 2 104 янных параметров, т и а, смысл которых ясен из предельного вида метрики на, больших расстояниях г. С точностью до членов 1)т имеем гг тга 800 — 1 — — ', Коз — — 'Е1п д; г г сравнение первого выражения с (100.18), а второго с (104.1) показывает, что т есть масса тела, а параметр а связан с моментом М соотношением М = та (104.4) (М = тас в обычных единицах).
При а = 0 метрика Керра переходит в шварцшильдову метрику в ее стандартном виде (100.14) ') . Обратим внимание также на то, что форма (104.2) в явном виде выявляет симметрию по отношению к обращению времени: это преобразование (г — + — 1) меняет также и направление вращения, т.е. знак момента (а — + — а), в результате чего де остается неизменным. Определитель метрического тензора из (104.2): (104.5) — и=р в)п й. Приведем также контравариантные компоненты д'~, сведя их в следующем выражении для квадрата оператора 4-градиента: 2 При т = О, в отсутствие тяготеющей массы, метрика (104.2) должна сводиться к галилеевой.
Действительно, выражение 2 дя = ГМ вЂ” 2 2дг — р гю — (г + а )е)п дйр (104.7) +а представляет собой галилееву метрику Не = ггг — Йх — г1р — с2е написанную в пространственных сплюснутых сфероидальных координатах; преобразование этих координат в декартовы осу- ') С точностью до членов первого порядка по а метрика (104.2) при а « 1 отличается от метрики Шварцшильда лишь членом (2гка!Г) В1п 0412Ж-- в согласии со сказанным выше о случае слабого отклонения от сферической симметрии. 434 Гл, хп ПОЛН ТЯГОТЕЮ1ЦИХ 'ГЕЛ ществляется формулами х = 1/т2+ а2 сйпдсов«р, у = Ъ'т + а2в)пдв1п«р, е = тсоэд; поверхности т = сопв$ представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения; 2 2 2 У +Д т +а т Метрика (104.2) имеет фиктивные особенности, подобно тому как метрика Шварцшильда (100.14) имеет фиктивную особенности пРи т = тк. 'г«о в то вРемЯ как в шваРЦшильДовом слУчае на поверхности т = тк происходит одновременное обращение яоо в нуль и 811 в бесконечность, в метрике Керра эти две поверхности разделены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
