II.-Теория-поля (1109679), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Тот факт, что переменная 1 (время по часам удаленного наблюдателя) не имеет в эргосфере временного характера, пРиводит к своеобРазной ситУации: в этой области 8оо ( О, и потому величина о 61 7 д1 Ф1 Оо = т(боои + аози ( = ПГ(8оо — + 8оз — ) Ие 1Ь) может быть отрицательной. Поскольку во внешнем пространстве, где 1 время, энергия ео не может быть отрицательной, то частица с йо ( 0 не может попасть в эргосферу извне.
Возможный источник возникновения такой частицы состоит в распаде влетающего в эргосферу тела, скажем, на две части, из которых одна захватывается на орбиту с «отрицательной энергиейьч Эта часть уже не может выйти из эргосферы и в конце концов захватывается внутрь горизонта. Вторая же часть может выйти обратно во вне1пнее пространство; поскольку йо сохраняющаяся аддитивная величина, то энергия этой части окажется при этом больше энергии первоначального тела произойдет извлечение энергии из вращающегося коллапсара (Рс.
Репгозе, 1969). Наконец, отметим, что хотя поверхность оо не является особой для пространственно-временной метрики, чисто пространственная метрика (в системе отсчета (104.2)) имеет здесь особенность. Вне Оо, где переменная 1 имеет временной характер, пространственный метрический тензор вычисляется по (84.7) и элемент пространственного расстояния имеет вид (104.15) 1 — Гт 7Р Вблизи Оо длины параллелей (д = сонэк, г = сопз1) стремятся к бесконечности по законУ 21гозш д/ У8оо. ЗДесь же стРемитсЯ 2 к бесконечности также и разность показаний часов (см. (88.5)) при их синхронизации вдоль этого замкнутого контура.
Задачи 1. Произвести разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для частицы, движущейся в поле Керра (В. Сетует, 1968). Р е ш е н и е. В уравнении Гамильтона — Якоби ,ь дд дд — — ти =О дх' дх 439 э 104 ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ о' = † + 7 Эг + Б (г) + Бе(В), сведем уравнение Гамильтона — Якоби к двум обыкновенным дифференци- альным уравнениям (ср. 1, 3 48): ( ) 4-(айовп — ) 4-а т сов В=7Г, ВВ вшВ ( ')' «ЫА 1 г г г г г — ") — — ((г +а )йо — аЦ 4-т т = — Л, аг Л (2) где К (параметр разделения) — новая произвольная постоянная. Функции ое и д, определяются отсюда простыми квадратурами. 4-импульс частицы; дх „„дд р =т — =8 рь= 8 Ыв дх Вычисляя правую часть этого равенства с помощью (1) и (2), получим следующие уравнения: 1 гвга 40 ( г г гвга г г т — = — б 4- — (Г -1- а + гйп В), Ыв Ргд д( Р „« ° гВ г г1 гГВГАг г г г т ( — ) = — ((г 4- а )4о — аЦ вЂ” — (7Г 4- т г ), Вв Р т ( — ) = — 4(㻠— а т сов В) — «(айовш — ) «(в Р Р вгн В (3) (4) (5) (6) Эти равенства — первые интегралы уравнений движения (уравнений геодезических линий).
Уравнение траектории и зависимость координат от времени вдоль траекторий могут быть найдены либо из (3) †(6),либо прямо из уравнений дд дд дд — = сопво, — = сопво, — = сопвс. дйо ' дб ' дК Для световых лучей в правых частях уравнений (3)-(6) надо положить тп = = 0 и писать ыо вместо Ао (ср. 3 101), а в левых частях вместо производных ат/Ыв надо писать производные ««7«гЛ по параметру Л, меняющемуся вдоль лучей (ср. 387). Уравнения (4) — (6) допускают чисто радиальное движение лишь вдоль оси вращения тела, как это ясно уже из соображений симметрии.
Из тех же соображений ясно, что движение в одной «плоскости» возможно, лишь если эта плоскость экваториальная. В последнем случае, положив В = х/2 и (т — масса частицы, не смешивать с массой центрального тела!) с 8™ из (104.6) время 1 и угол «е циклические переменные; поэтому они входят в действие д в виде — Ао1+ Ьу, где Ао — сохраняющаяся энергия, а буквой Ь обозначена компонента момента частицы вдоль оси симметрии поля. Оказывается, что и переменные В и г могут быть разделены. Представив д в виде 440 ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ ГЛ. ХП выразив К через йо н Ь из условия «(о,гав=О, получим уравнения движения в виде Ж тха еогг г тга Т т — = — — Ы-- — (т -та Иэ ГЬ Ь о(1о 111 Г тх Т то а гп — = — (1 — — ) + — Ао, Иэ Ь т тг), г Г«(ГТ 1 г г г г г т ( — ) = — «[(т + а )Ао — ау) — — «[(або — Ц + т т ). Г(э т т (7) (8) (9) При этом — = — [1+ (46)~1~).
т тлтг ТГ3 Обратим внимание на то, что все время остается т 1„[т,р > 1, т.е. орбита проходит вне горизонта. Тэк и должно было быть: горизонт представляет собой нулевую гиперповерхностгч в которой не могут лежать времениподобные мирОвые линии движущихСя чаСтиц. 9 105. Гравитационное поле вдали от тел Рассмотрим стационарное гравитационное поле на больших расстояниях т от создающего его тела и определим первые члены его разложения по степеням 1[т. 2.
Определить радиус ближайшей к центру устойчивой круговой орбиты частицы, движущейся в экваториальной плоскости предельного поля Керра (а — » тх[2) (Л. йипгпг, У. А. '»1Ъее1ет, 1969). Р е ш е н и е. Поступая аналогично решению задачи 1 8 102, вводим «эффективную потенциальную энергию» У(т), определенную согласно [(т + а ')77(г) — аб[ — г'.г[(аЦГ) — Ь) -т т т ] = О (при Ао = У правая часть уравнения (9) обршцается в нуль). Радиусы устойчивых орбит определяются минимумами функции (7(т), т.е. совместным решением уравнений 77(т) = йо, 17'(т) = О при По(т) > О.
Ближайшей к центру орбите отвечает равенство 77»(т 1 ) = О; при т ( т ы функция 77(г) не имеет минимумов. В результате получаются следующие значения параметров движения: а) При й ( О, т.е. при движении частицы в направлении, обратном направлению вращения коллапсара: т ы 9 Ао 5 7 11 т, 2 пг ЗТГЗ тито ЗТ73 б) При 7 > О (движение в направлении вращения коллапсара) при тг = 'г а » — радиус т ы стремится к радиусу горизонта. Положив а = — (1 + 2 2 -'т 6), получим при 6 — » О: """ = -'(1+ 26), тг 2 5 105 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ Вдали от тела поле слабое. Это значит, что метрика пространства-времени здесь почти галилеева, т. е, можно выбрать такую систему отсчета, в которой компоненты метрического тензора почти равны своим галилеевым значениям: аоо =1, ао — — О, ад — — — 5д.
~0) (О) (а) (105. 1) Соответственно этому представим е;ь в виде (105.2) где Ь,ь малые поправки, определяющие гравитационное поле. Оперируя с тензором Ь,ы условимся в дальнейшем поднимать и опускать его индексы с помощью «невозмущенной» метрики: ЬЬ = д~о)ЫЬп — п При этом необходимо отличать Ьсе от поправок в контравариантных компонентах метрического тензора д'~.
Последние определяются решением уравнений епе = (щ + Ьп)и = б,; а (О) аь так, с точностью до величин второго порядка малости находим гв Ж(0) ЬГЕ + ЬгЬИ (105.3) С той же точностью определитель метрического тензора д = д~~) (1+ 6+ — Ь вЂ” — )Г~,Ь;.), (105.4) где Ь = Ь,'. Сразу же подчеркнем, что условие малости Ьсь отнюдь не фиксирует однозначного выбора системы отсчета. Если это условие выполнено в какой-либо одной системе, то оно будет выполнено и после любого преобразования ха = ай+ с', где (' малые величины.
Согласно (94.3) тензор Ьпь переходит при этом в Ьсь Ьгь д4, д4А (105. 5) дх" дх' ' (О) ь (О) где ~, = д,, ( (ввиду постоянства д;„ковариантные производные в (94.3) сводятся в данном случае к обычным производным) ') .
В первом приближении, с точностью до членов порядка ) ~г, малые добавки к галилеевым значениям даются соответствующими членами разложения центрально-симметричной метрики ') Для стационарного поля естественно допускать лишь преобразования, не нарушающие независимости яы от времени, т. е. 4' должны быть функциями лишь от пространственных координат.
442 ПОЛЕ ТЯГОТЕЮ1ЦИХ 'ГЕЛ ГЛ. ХП ) . (105.8) ) Если же исходить из метрики Шварцшильда в изотропных пространственных координатах (см. задачу 4 з 100), мы получили бы: (105.6а) Переход от (105.6) к (105.6а) осуществляется преобразованием (105.5) с с~ =О, 2Г П1варцшильда. В соответствии с отмеченной неопределенностью в выборе (галилеевой на бесконечности) системы отсчета, конкретный вид Ь,ь зависит при этом от способа определения радиальной координаты г. Так, если шварцшильдова метрика представлена в виде (100.14), первые члены ее разложения при больших т даются выражением (100.18).
Перейдя в нем от сферических пространственных координат к декартовым (для чего надо заменить Йг = и Йхо, где и — единичный вектор в направлении г),получим следующие значения: Ьс =, Ь = П пд, Ьо =О, (105.6) где Гк — — 2йт/с2') . Среди членов второго порядка, пропорциональных 111г, име- 2 ются члены двоякого происхождения. Часть членов возникает в результате нелинейности уравнений Эйнштейна из членов первого порядка. Поскольку последние зависят только от массы (но не от каких-либо других характеристик) тела, то только от нее же зависят и эти члены второго порядка. Ясно поэтому, что и эти члены можно получить путем разложения шварцшильдовой метрики. В тех же координатах найдем "00 = О, Ь,, = — ( — ') п п6.
(105.7) Остальные члены второго порядка возникают как соответствующие решения линеаризованных уравнений поля. Имея в виду также и дальнейшие применения, произведем линеаризацию уравнений, выписывая сначала формулы в более общем виде,чем понадобится здесь, не учитывая сразу стационарности поля. При малых Ь16 величины ГЫ, выражающиеся через производные от ЬГы тоже малы. Пренебрегая степенями выше первой, мы можем оставить в тензоре кривизны (92.1) только члены в первой скобке: д25 д25 2 1,дх"дх' дх1дх 1 105 ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ или Г( ь(о) дп, + дп'; дпА дп ') Г1059) 2 Г, дх'дх дх" дх' дх*дх' дх'дх" I Выражение (105.9) можно упростить, воспользовавшись оставшимся произволом в выборе системы отсчета.
Именно, наложим на ЬГА четыре (по числу произвольных функций ~') дополнительных условия д(5," дх' 4," = Ь~ — -О,"Ь. (105.10) Тогда последние три члена в (10ОГ.9) взаимно сокращаются и остается 1~(п) д'й,А (105.11) дх'дх В интересующем нас здесь стационарном случае, когда Ь;~ не зависят от времени, выражение (105.11) сводится к В;ь = ЬЬ;ь/2, где ГА оператор Лапласа по трем пространственным координатам. Уравнения же Эйнштейна для поля в пустоте сводятся, таким образом, к уравнениям Лапласа (105.12) ЬЬ,„= О, с дополнительными условиями (105.10), принимающими вид е (Ьл — -Ьбд) = О, Ь~ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
