II.-Теория-поля (1109679), страница 82
Текст из файла (страница 82)
На больших расстояниях от системы его решение может быть написано непосредственно по аналогии с решением (44.3) уравнения (43.4): (где М = 1' (г ря) а"г' = 1 ш (г ч ) — момент импульса системы), в соответствии с формулой (106.19). 2 100 гговнкния движкния сиоткмы ткл во втогом пгивлижкнии 455 и затем, после простого вычисления, окончательно получаем и х т 50а = о,7 70аа + (ттаиа)наа~~ 2со (г — г ( а (106.15) где и единичный вектор в направлении вектора г — га. Выражения (106.1), (106.13), (106.15) достаточны для вычисления искомой функции Лагранжа с точностью до членов второго порядка.
Функция Лагранжа одного тела в гравитационном поле, создаваемом другими телами и рассматриваемом как заданное: 2' „В 11(2 Ьа = Птао = тнао ~1 + ПОО+ 2ПОа ~ + Бал а ) ой с с с Раскладывая радикал и опустив несущественную постоянную — пт с, переписываем это выражение с требуемой точностью 2 как г 4 т,о, ~п,с 2 аса птас ~ + ЬОа + г 11агпа па + г па /' (106'16) 2/лоо са 1 а Я лоо аоо 21 (дифференцирование производится по бегущим координатам г точки наблюдения в выражениях для й,ь). После этого легко составить такую общую функцию Ь, из которой все те же силы Г, получаются взятием частных производных дЬ/дг,. Не останавливаясь на простых промежуточных вычислениях, приведем сразу окончательный результат для функции Значения всех Ь,ь здесь берутся в точке г; при этом снова должны быть опущены обращающиеся в бесконечность члены, что сводится к «перенормировке» массы та, стоящей в виде коэффициента в Ь,.
Дальнейший ход вычислений состоит в следующем. Полная функция Лагранжа Ь системы, разумеется, не равна сумме функций Ь для отдельных тел, но она должна бьггь составлена так, чтобы приводить к правильным значениям сил Г„действующих на каждое из тел при заданном движении остальных. Для этого вычисляем силы га путем дифференцирования функции Лагранжа ба: 456 ГЛ.
ХП ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ Лагранжа '): щ ег ~ ~1 3ьщ гпьсг ~ ~— ~ щ сь ~-~ ~1 /дщ пьь 2 2с г ь 8с 2г ь а ь а ь 2 (7(згатгь) + (ьганаь) (ЕЬПа6)) а Ь (106 17) а 6 с где 1 ь = )г, — гь/, и 6 — единичный вектор в направлении г, — гь, а штрих у знака суммы означает, что должен быть опущен член с Ь = а или с = а. Задачи 1. Определить действие для гравитационного поля в ньютоновском приближении. Р е ш е н и е. С помощью 8,6 из (106.3) по формуле (93.3) находим О = = 2(1гу)~41с~, так что действие для поля — ( ~(Уьр)'дР да Полное действие для поля вместе с массами, распределенными в пространстве с плотностью рл ,/д [ 2 8к)4 (1) Легко убедиться в том, что варьирование Е по и приводит, как и следовало, к уравнению Пуассона (99.2).
Плотность энергии находится из плотности функции Лагранжа Л (подынтегральное выражение в (1)) согласно общей формуле (32.6), что сводится в данном случае (в силу отсутствия в Л производных от 1р по времени) к изменению знака второго и третьего членов. Интегрируя плотность энергии по пространству, подставив при этом во втором члене рьь = рЛуД4пй) и интегрируя его по частям, получим окончательно полную энергию поля и материи в виде / [ — (1742)~~ д1г. Следовательно, плотность энергии гравитационного поля в ньютоновской теория есть Иг = — (~162)~Д8пк) ) . ) Уравнения движения, соответствующие этой функции Лагранжа, были впервые получены Эйпттаейнам, Иефельдам и Гоффманам (А.
Еьпгьеьп, Ь. 1п)еЫ, В. НоЦтап, 1938) и Эддингтаном и Кларком (А. Еддьнйьоп, О. С1ага., 1938). 2 ) Для устранения возможных недоразумений укажем, что это выражение не совпадает с компонентой ( — 8)ьее псевдотензоРа энеРгии-импУльса (вычисленной с 8,6 из (106.3И; вклад в Иг возникает также и из ( — 8)Т;ь. ~ 106 УРАВнениЯ ДВиькениЯ Оиотемы тел ВО ВтОРОм НРивлиькении 457 2.
Определить координаты центра инерции системы гравитирувэших тел во втором приближении. Р е ш е н и е. Ввиду полной формальной аналогии между законом Ньютона для гравитационного взаимодействия и законом Кулона для электростатического взаиъгодействия координаты центра инерции даются формулой ( 2+ Р кш ~ 'п~ь) аналогичной формуле, полученной в задаче 1 8 65. 3. Определить вековое смещение перигелия орбиты двух гравитируюших тел сравнимой массы 10. 11оэегьэоп, 1938). Р е ш е н и е.
Функция Лагранжа системы двух тел 2 2 7 = + + ьп1Р1 Ш202 14ш1шэ 1 4 4 + — 2ЬВ21С1 + П12С2)+ 2 2 т 8с Переходя к функции Гамильтона и исключая из нее движение центра инерции 1ср, задачу 2 8 65), получим р (1 1) йтьтэ р (1 1) 2 ги1 т2 г 8с тэ~ ьп24 — еэ ~Зр2 ('— "2 -1 — "'1) + 7рэ+ ьрп)2) + 7 шь™21ш1 + ™2) (1) 2с г т1 тэ 2сэгэ где р импульс относительного движения. Определим радиальную составляющую импульса р, как функцию переменной г и параметров М 1момент импульса) и 8 1энергия).
Эта функция определяется из уравнения Ж = 8' (при этом в членах второго порядка надо заменить р его выражением из нулевого приближения): 2 2 1В1 Ш2 1' т й 2 кэтьти21т1 + т2) г р + 2сгг 2сгь' Дальнейший ход вычислений аналогичен произведенным в з 101. Определив из написанного алгебраического уравнения р„,производим в интеграле 8.= ~ .6. преобразование переменной г так, чтобы привести член, содержащий М , к виду М~/г~.
Произведя затем в подкоренном выражении разложение по 458 ГЛ. ХП ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ малым релятивистским поправкам, получим (ср. (101.6)), где А, В постоянные коэффициенты, в явном вычислении которых нет необходимости. В результате для смещения перигелия орбиты относительного движения получим 6хезт11тэ э6хй(ш1-~- тэ) сМ са(1 — е) Сравнивая с (101.7), мы видим, что при заданных размерах и форме орбиты смещение перигелия такое же, каким оно было бы при движении одного тела в поле неподвижного центра с массой т1 + тю 4.
Определить частоту прецессии шарового волчка, совершающего орбитальное движение в гравитационном поле вращающегося вокруг своей оси центрального тела. Р е ш е н и е. В первом приближении искомый эффект представляется суммой двух независимых частей, одна из которых связана с неньютоновостью центрально-симметричного поля (Н. 'Гг'еу1, 1923), а другая с вращением центрального тела (б. Яс11111, 1960).
Первая часть описывается дополнительным членом в функции Лагранжа волчка, соответствующим второму члену в (106.17). Представим скорость огдельных элементов волчка (с массами нт) в виде е = ъ'+ [ьгг), где ч— скорость его орбитального движения,ы — угловая скорость, г — радиус-вектор элемента е1т относительно центра инерции волчка (так что интеграл по объему волчка ) г 11т = О).
Опустив члены, не зависящие от ы, а также пренебрегая квадратичными по ы членами, имеем 00 Зйт' ~ 2(\/[юг[) 2с ./ В где т масса центрального тела, Л = [Кс -~- г[ расстояние от центра поля до элемента Г(ти, Кэ — радиус-вектор центра инерции волчка. При разложении 1/В 1/Ве — пг/В~ (где и = Кэ/Ле) интеграл от первого члена обращается в нуль, а во втором интегрирование производится с помощью формулы 1 х ЕЕИш= — 73 Э, 2 где 1 — момент инерции волчка. В результате получим Зй б017 = (М[уоп[), 2 В2 где М = 1ы — вращательный момент волчка.
Дополнительный член в функции Лагранжа, обязанный вращению центрального тела, можно было бы также найти из (106.17), но еще проще вычислить его с помощью формулы (1) из задачи 2 к 3 106: 00 2й У М'[[ [К) 1/ 71з где М' -- момент центрального тела. Разложив К и 1 — — + — (г — Зп(пг)) Лз Лэз Лз 106 угавнвння движвння сноткмы твл во итогом пгнвлнжвнни 459 и произведя интегрирование, получим 61 1Ь вЂ” (ММ вЂ” З(пМ)(пМ )). с по Таким образом, полная добавка к функции Лагранжа Зй И = — Мй, й = (пио]+ . (Зп(пМ') — М'). 2сзйез сз воз Этой функции отвечает уравнение движения = (йМ) н1 (ср, уравнение (2) из задачи 2 к 6 106).
Это значит, что момент волчка М прецессирует с угловой скоростью Й, оставаясь постоянным но своей величине. ГЛАВА ХП1 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ я 107. Слабые гравитационные волны Конечность скорости распространения взаимодействий приводит в релятивистской теории тяготения, как и в электродинамике, к возможности существования не связанного с телами свободного гравитационного поля гравитационных волн. Рассмотрим слабое свободное гравитационное поле в пустоте. Как и в ~ 105, введем тензор Ь,й, описывающий слабое возмущение галилеевой метрики: (107.1) При этом с точностью до величин первого порядка по Ь;й контравариантный метрический тензор: зй вй(о) Ьзй (107. 2) а определитель тензора я;й. а = а~ )(1+ 6), (107.3) Воспользовавшись этим произволом в калибровке (как говорят в этой связи) тензора Ь,й, налагаем на него дополнительное условие ~4', 0 после чего тензор Риччи принимает простой вид (105.11): 1 Рий — ~-» Ьгй 2 (107.
5) (107.6) где 6 = 6,'; все операции поднимания и опускания тензорных (о) индексов производятся по невозмущенной метрике я;й Как было уже указано в ~ 105, условие малости 6;й оставляет возможность произвольных преобразований системы отсчета вида х" = х' + (' с малыми (', при этом Ьй — — 6;й— дб д4й (107.4) дх" дх' 461 1 107 СЛАБЫВ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ где ~~ обозначает оператор д'Аламбера1 Условия (107.5) все еще не фиксируют однозначного выбора системы отсчета: если некоторые Й;ь удовлетворяют этим условиям, то им же будут удовлетворять и Ь,ь (107.4), если только Г' являются решениями уравнения (107. 7) Приравняв выражение (107.б) нулю, найдем, таким образом, уравнения гравитационного поля в пустоте в виде ~~6," = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
