II.-Теория-поля (1109679), страница 85
Текст из файла (страница 85)
7) 2 тсд = 12с . Подставляя это в (110.6) и вводя время 1 = х~/с, ем (110.4) в виде переписыва- — — ~рхх дК 2е д 2 а Н ОР А,о до (110.8) где о — р Тт' — асстояние от начала координат, расположенного гденибудь внутри системы; индекс ~ — Во/с в подынтегральных выражениях мы будем ниже для краткости опускать. Для вычисления этих интегралов воспользуемся уравнениями (110.2). Опуская индексы у те и выделяя пространственные и временные компоненты, пишем (110.2) в виде 0 д д 0 (110. 5) дх~ дхо ' дх~ дхо Умножив первое уравнение на х", проинтегрируем по всему пространству д(т хо) Поскольку на бесконечности таь = О, то первыи интеграл правой части, будучи преобразован по теореме Гаусса, исчезает.
Полусумма оставшегося равенства и его же с переставленными индексами дает: Г т д<Л = — — — (т ох + теох ) ГЛТ. 2дхо ( Далее умножим второе из уравнений (110.5) на хат и тоже проинтегрируем по всему пространству. Аналогичное преобразование приводит к равенству — тсех хд ГЛГ = — (т Ох + тнех ) оЛ'. д,о Сравнивая оба полученных результата, находим ƒ .,а =,-'(,~,) 1'о, 'аа. Н1оо) Таким образом, интегралы от всех т л оказываются выраженными через интегралы, содержащие только компоненту тоо.
Но эта последняя, как указано выше, совпадает с соответствующей компонентой Тоо тензора энергии-импульса, и с достаточной точностью 1см. (99.1)) имеем 1 по ИЗЛУ 4ЕНИЕ ГРАВИ'ГАЦИОННЫХ ВОЛН На больших расстояниях от тел можно рассматривать волну 1в неболыпих участках пространства) как плоскую. Поэтому можно вычислить поток энергии, излучаемой системой, скажем, в направлении оси х1, воспользовавшись формулой 1107.12). В эту формулу входят только компоненты 7423 = 4Р23 и 7422— — )433 = 4)'22 — Мзз. Из 1110.8) находим для них выражения') й23 4 Р23~ й22 йЗЗ 4 1Р22 Р~ЗЗ) 1110 9) 2к 214 Зс'йе ' Зс'Во 1точка означает дифференцирование по времени), где введен тензор квадрупольного момента масс 199.8) Р ~ = )4(8х хл — гт6„3) дК (110.10) В результате находим плотность потока энергии в направлении оси х в виде Поток энергии в элемент телесного угла в данном направлении получится отсюда умножением на 140 с)о.
2 Два члена в этом выражении отвечают излучению волн двух независимых поляризаций. Для записи их в инвариантном 1не зависящем от выбора направления излучения) виде, введем трехмерный единичный тензор поляризации плоской гравитационной волны е д, определяющий, какие именно из компонент й д отличны от нуля (в калибровке Ьбю в которой )40 = )400 = 6 = 0). Тензор поляризации симметричен и удовлетворяет условиям е„„=О, е лир=О, е дед=1, 1110.12) где п единичный вектор в направлении распространения волны; первые два условия выражают тензорность и поперечность волны. С помощью этого тензора интенсивность излучения заданной поляризации в телесный угол 41о запишется в виде И = „,1Р,~е д) 41о.
72яса (110.13) 1б Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том П ) Тензор (110.8) не удовлетворяет тем условиям, при которых была выведена формула (107.12). Однако преобразование системы отсчета, приводящее Ь,а к требуемой калибровке,не затрагивает значений используемых здесь компонент 1110.9). 474 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. Хп! Это выражение зависит от направления и неявным образом— через условие поперечности е дпл = О. Суммарное угловое распределение излучения всех поляризаций получается суммированием (110.13) по поляризациям или, что то же, усреднением по поляризациям и умножением результата на 2 (число независимых поляризаций).
Усреднение осуществляется формулой Полное излучение по всем направлениям, т. е, потерю энергии систен!ой в единицу времени ( — с1е /Ж), можно найти, усреднив с1! /1!о по направлениям и и умножив результат на 42г. Усреднение легко производится с помощью формул, приведенных в примеч. на с. 255, и приводит к выражению (А. Эйннттпейп, 1918) сЫ 12 — —,Р (110.16) Отметим, что излучение гравитационных волн оказывается эффектом пятого порядка по 1/с. Это обстоятельство, вместе с малостью гравитационной постоянной )с, приводит, вообще говоря, к чрезвычайной малости эффекта.
Задачи 1. Два тела, притягивающиеся по закону Ньютона, движутся по круговым орбитам (вокруг их общего центра инерции). Определить среднюю (по периоду обращения) интенсивность излучения гравитационных волн н его распределение по поляризациям и направлениям. Р е ш е н и е. Выбрав начало координат в центре инерции, имеем для радиус-векторов двух тел: т2 !П1 Г1 = г, гг=— Г! Г = Г1 — Г2. тг+ т2 тг+ !Вг Компоненты тензора Р„Е 1плоскость тд совпадает с плоскостью движения): Р, = дг (Зсов 2)! — Ц, Рг„— — дг (3гбп 222 — Ц, Р „= Здг сов!)!В1пу2, Р„= — дг, 2 2 1 с~де.„б = — 1п пзптпб+ (п~п1убтб+ ~.,пбб~р)— 4 — (поп„364+ пбп.,5,„4+ поп45!! + пбпббо,)— — Б,У5.,4 + (5„.,564 + 56.,5 4)) (110.14) (выражение справа тензор, составленный из единичного тензора и компонент вектора и, обладающий требуемой симметрией по своим индексам, дающий единину при упрощении по парам индексов сг, у и )2, д, и обращающийся в нуль при скалярном умножении на и).
В результате находим !12' = „, ~-(РодпопЕ) + -Р„д — РобРотпбп.,1 1!о. (110.15) 36!гсе ~4 2 био ИЗЛУ ГЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН где д = тгтгДтг -Р тг), гл' — полярный угол вектора г в плоскости ау. При Ю - ° = "" 4=" '" "%4 )-= Направление и задаем сферическими углами (полярным углом У и азимутом 42) с полярной остью г, перпеццикулярной к плоскости движения. Рассматриваем две поляризации, дбя которых: 1) ез„= 1,1ч'2, 2) езз = — е = 1/ъ 2. Проецируя тензор В з на направления сферических ортов ез и еч, вычисляя по формуле (110.13) и усрсдняя по времени, получаем в результате для этих двух случаев и для суммы 1 = 14 + 12: а14 йр гг г 26 Й12 йд ы Г,1 2 а)2 4 сОз (1+ В 4о 24гсз до 2хсз 41 йдг 'Г4 — (1+ 6 сов 6+ соб 6), 4о 2хсз и после интегрирования по направлениям: ~Ы 32й14~азг~ 32йзтгтг(тг+тг) 14 5 Ж 5сз 5сзт 1г 7 (для вычисления одной лишь полной интенсивности 1 следовало бы, конечно, воспользоваться (110.16)).
Потеря энергии излучающей системой приводит к постепенному (как говорят, вековому) сближению обоих тел. Поскольку 4' = — Атгтг/2Г, то скорость сближения 2Г 44' 64Е тгтг(тг -~- тг) Йтгтг аз 5сзгз 2. Найти среднюю (по периоду обращения) энергию, излучаемую в виде гравитационных воли системой двух тел, движущихся по эллиптическим орбитам (Р.
С. Ребегз, 1. МаМемз 4) ). Р е ш е н и е. В отличие от случая кругового движения, расстояние Г и угловая скорость меняются вдоль орбиты по законам а(1 — е ) = 1+ есозгу, — = — Ятг+ тг)а(1 — е )) ачг 1 2 422 т Ж где е — эксцентриситет, а а — большая полуось орбиты (см. 1, 3 15). Довольно длинное вычисление по (110.16) дает 3ь4 Ж 15а с (1 — ег) При усреднении по периоду обращения интегрирование по Ж заменяется интегрированием по 44)ги приводит к результату; 44' 32А~т~гтг(тг -~- тг) 1 Г 73 г 37 4Т )1-~ е -~- е ).
аз бс'а' (1 — ег)212 24 96 Обратим внимание на быстрое возрастание интенсивности излучения с увеличением эксцентриситета орбиты. 3. Определить среднюю (по времени) скорость потери момента импульса системой стационарно движущихся тел, испускающей гравитационные волны. ') Угловое,поляризационное и спектральное распределения этого излучения — см. РЬуз. Кеч. 1963. Ч. 131. Р. 435. Гб4 476 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. ХП1 — 1ч 44' (1) 46 (индекс, нумерующий частицы, не выписываем). Гогда средняя скорость потери момента вычисляется как 61М Ж (г1'),„= ~6 е Э.,хЭЯ„ (2) (ср. вывод формулы(75.7)). Для определения 1 пишем 44 й - -.
й 6 11 В 6 В 6 41 45сэ 45се (использовано равенстао нулю средних значений от полных производных по времени). Подставив сюда О В = 2 т(Зх«еэ + Зхээ« — 2гчб В) и сравнив с (1), найдем 2е — 677 6 тхе. 15сэ Подстановка этого выражения в (2) приводит к результату; 4М 2Е 1ч1 2/« 611 45 с эт«-~66 П~6 = 6с 6 б66«516. 45сэ (3) 4. Для системы двух тел, движущихся по эллиптическим орбитам, найти средний теряемый ею в единицу времени момент импульса.
Р е ш е н и е. Вычисление по формуле (3) из предыдущей задачи, аналогичное произведенному в задаче 2,приводит к результату: дМ, 32Е~1«тз«тэз~т~ + тэ 1 6 7 61 (1+ — е 11. 41 бс а~~~ (1 — е ) 8 При круговом движении (е = 0) значения 4' и М находятся, как и следовало, в соотношении 4' = М66. Р е ш е н и е. Для удобства записи формул будем временно рассматривать тела как состоящие из дискретных частиц. Представим среднюю скорость потери энергии системой как работу действующих на частицы «сил тренияь П Г Л А В А Х1Ъ' РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ 'й' 111.
Изотропное пространство Общая теория относительности открывает новые пути подхода к реп|ению вопросов, связанных со свойствами мира, рассматриваемого в космических масштабах. Возникающие здесь новые замечательные возможности (впервые указанные Эйнштейном в 1917 г.) связаны с негалилеевостью пространства-времени. Эти возможности тем более существенны, что ньютоновская механика приводит здесь к противоречиям, которые не могут быть обойдены в достаточно общем виде в пределах нерелятивистской теории.
Так, применяя ньютоновскую формулу для гравитационного потенциала к плоскому (каким оно является в ньютоновской механике) бесконечному пространству, заполненному веществом с произвольно распределенной нигде не исчезающей средней плотностью, мы найдем, что потенциал обращается в каждой точке в бесконечность. Это привело бы к бесконечным силам, действующим на вещество, т. е.
к абсурду. 11режде чем приступить к систематическому построению релятивистских космологических моделей, сделаем следующее замечание по поводу основных исходных уравнений поля. Требования, поставленные в 293 в качестве условий для определения действия гравитационного поля, будут по-прежнему удовлетворены, если к скаляру С добавить постоянный член, т. е. если положить ок — — — (С + 2Л) чг — в. сй1, где Л вЂ” новая постоянная (с размерностью см"2). Такое изменение приведет к появлению в уравнениях Эйнштейна дополнительного члена Лщь: 1 8кь Лхь ~Ыгь 4 Чьь + Л~зь. 2 с Если приписать «космологической постоянной» Л очень малое значение, то наличие этого члена не будет сказываться существенным образом на гравитационных полях в не слишком больших областях пространства-времени, но приведет к появлению 478 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ.
Х!Ч новых типов «космологических решений>, которые могли бы описывать мир в целом') . В настоящее время, однако, нет никаких настоятельных и убедительных оснований — как наблюдательных, так и теоретических для такого видоизменения основных уравнений теории. Подчеркнем, что речь шла бы об изменении, имеющем глубокий физический смысл: введение в плотность лагранжевой функции постоянного члена, вообще не зависящего от состояния поля, означало бы приписывание пространству-времени принципиально неустранимой кривизны, не связанной ни с материей, ни с гравитационными волнами.
Все дальнейшее изложение в этой главе основано поэтому на уравнениях Эйнштейна в их «классическом» виде, без космологической постоянной. Как известно, звезды распределены по пространству весьма неравномерным образом они сконцентрированы в отдельных звездных системах (галактиках). Но при исследовании Вселенной «в болыпих маспттабах» следует отвлекаться от «местных» неоднородностей, вызванных скоплением вещества в звезды и звездные системы. Так, под плотностью масс должна подразумеваться плотность, усредненная по областям пространства, размеры которых велики по сравнению с расстояниями между галактиками. Рассматриваемые ниже (в ~ 111 — 114) решения уравнений Эйнштейна так называемая изотропная космологическая модель (впервые открытая А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
