II.-Теория-поля (1109679), страница 87
Текст из файла (страница 87)
е. так, чтобы в каждый данный момент времени метрика во всем пространстве была одинаковой. Ввиду полной эквивалентности всех направлений, компоненты яо метрического тензора в выбранной нами системе отсчета равны нулю. Действительно, три компоненты йо„можно рассматривать как компоненты трехмерного вектора, который, будучи отличен от нуля, создавал бы неравноценность различных направлений. Таким образом, дз2 должно иметь вид дз2 = = 8ОО(11х ) — д1~. Компонента кос является здесь функцией только от хп. Поэтому можно всегда выбрать временную координату так, чтобы 8оо обРатилось в 1.
ОбозначаЯ ее чеРез с1, имеем дз2 = с2д12 —,Ц2 (112. 1) Переменная 1 является синхронным собственным временем в каждой точке пространства. Начнем с рассмотрения пространства положительной кривизны; ниже мы будем для краткости говорить о соответствующем решении уравнений Эйнштейна как о закрытой модели. Для Ж воспользуемся выражением (111.8), в котором радиус кривизны а является, вообще говоря, функцией времени. Таким образом, 484 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Х1У (112.3) Тогда ГЬ2 напишется в виде ГЬ = а (11)~411 — д,"С вЂ” яп 1С(дд +яп 0111р )) (112.4) Для составления уравнений поля надо начать с вычисления компонент тензора В;ь (координатами х, х, х, х являются Г1, т, О, 1д). С помощью значений компонент метрического тензора Юоо = а , Им = — а И22 = — а Яп Ж, ИЗЗ = — а в1п Ж в1п О 2 2 2 ° 2 2 ° 2 ° 2 вычисляем величины Гьр о а ГОО а Р Г,",, = — 'бз, Го=Гоо=О 0 О где штрих означает дифференцирование по 11 (компоненты Г~~ нет надобности вычислять в явном виде).
С помощью этих значений по общей формуле (92.7) получим Во — — —,(а — аал). Л Из тех же соображений симметрии, которые были применены выше к но,„, заранее очевидно, что компоненты Во,„= О. Для вычисления же компонент В замечаем, что если выделить в них члены, содержащие только 8 я (т.е. только Г„~ ), то эти члены должны составить компоненты трехмерного тензора — Р, значения которых заранее известны из (111.3) и (111.6): Р В'~ = — РД +... = — —,б'~ +..., где многоточие подразумевает члены, содержащие наряду с я„л также и ноо. В результате вычисления последних получим В'~ = — —,(2а2+ а'2+ аал)Ж~, и затем В = Во о+ В = — 0, (а+ ал).
ОЬ пишем в виде аз~ = с 1п~ — а~Я(11у~+яп ~(11О~+яп ОГйр~)). (112.2) Функция а(Г) определяется уравнениями Эйнштейна. Для решения этих уравнений удобно воспользоваться вместо времени величиной и, определяемой соотношением СЖ = адГ1. 485 ЗАКРЫТАЯ ИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ ~о 111 вяь То 2 с получим (112.5) Сюда входят две неизвестные функции е и а; поэтому необходимо получить еще одно уравнение. В качестве него удобно выбрать (вместо пространственных компонент уравнений Эйнштейна) уравнение Тс., — — О одно из четырех уравнений (94.7), содержащихся, как мы знаем, в уравнениях поля. Это уравнение можно вывести и непосредственно с помощью термодинамических соотношении следующим образом.
Пользуясь в уравнениях поля выражением (94.9) для тензора энергии-импульса, мы тем самым пренебрегаем всеми процессами диссипации энергии, приводящими к возрастанию энтропии. Такое пренебрежение, разумеется, здесь вполне законно, поскольку дополнительные члены, которые надо было бы прибавить к Т„'в связи с диссипацией энергии, ничтожно малы по сравнению с плотностью энергии е, включающей в себя энергию покоя материальных тел. Таким образом, при выводе уравнений поля мы можем считать полную энтропию постоянной. Воспользуемся теперь известным термодинамическим соотношением 11Ю = ТТ1О' — рЛ', где 6', О, 'Р' энергия, энтропия и объем системы, а р, Т давление и температура.
При постоянной энтропии имеем просто 11О" = = — рсй". Вводя плотность энергии е = 4'/1', без труда находим е1е = — (е+ р) —. Объем пространства Р' пропорционален, согласно (111.9), кубу радиуса кривизны а. Поэтому и"Р'/Ъ' = 311п/а = 3111пп, и мы можем написать: НŠ— — = 301па, Е -~- Р или, интегрируя, 31па = — 1 + сонэк ЙЕ Р+Е (112.б) (нижний предел в интеграле постоянен).
Поскольку в выбранной нами системе отсчета материя неподвижна, то и" = О, и = 1/а и из (94.9) имеем ТОО = е, где е— плотность энергии материи. Подставляя полученные выражения в уравнение 486 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Х1Ч Если связь между в и р (уравнение состояния материи) известна, то уравнение (112.6) определяет в как функцию от а. Тогда из (112.5) мы можем определить г) в виде 1) = ~ .
(112.7) о (еоз — 1) вг Уравнения (112.6), (112.7) решают в общем виде задачу об определении метрики в изотропной закрытой модели. Если материя распределена в пространстве в виде отдельных макроскопических тел, то при определении создаваемого ею гравитационного поля мы можем рассматривать эти тела как материальные частицы, обладающие определенными массами, не интересуясь вовсе их внутренним строением. Считая скорости тел сравнительно малыми (малыми по сравнению с с), можно положить просто в = )Ас, где )г — сумма масс тел, отнесенная к единице объема. По той же причине давление «газа», состоящего из этих тел, крайне мало по сравнению с в и им можно пренебречь (давления же внутри тел, согласно сказанному, не имеют отношения к рассматриваемому вопросу).
Что касается имеющегося в пространстве излучения, то его количество относительно мало и его энергией и давлением тоже можно пренебречь. Таким образом, для описания в терминах рассматриваемой модели современного состояния Вселенной следует пользоваться уравнением состояния «пылевиднойв материи в=ггс~, р=О. Интегрирование в (112.6) дает тогда )газ = сонная. Это равенство можно было бы написать и сразу, так как оно выражает собой просто постоянство суммы М масс тел во всем пространстве, как и должно было быть в рассматриваемом случае пылевидной материи') .
Поскольку объем пространства в замкнутой модели равен 1г = 2яваз1 то сонэк = М/2згв. Таким образом, )Аа = сопв1 = —,. в М (112.8) 2х~ Подставив (112.8) в уравнение (112.7) и произведя интегрирование,получим а = ао(1 — совг)), (112.9) ) Подчеркнем во избежание недоразумений (при сопоставлении с упомянутым в В111 равенством нулю полного 4-импульса замкнутого мира), что М есть именно сумма масс тел, взятых по отдельности, оез учета их гравитационного взаимодействия. 1 112 ЗАКРЫТАЯ НЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ где постоянная 2КМ ао = Зас Наконец, для связи между ~ и 11 находим из 1112.3) аа ~ с (112.10) 1 8 19~ д — о „,г —,г 1112.12) (числовое значение коэффициента дано для плотности в г см при 2 в секундах).
Обратим внимание на то, что в этом пределе зависимость д(1) имеет универсальный характер в том смысле, что не зависит от параметра ао. При а — 1 0 плотность д обращается в бесконечность. Но при д -+ оо давление тоже становится большим, и потому для исследования метрики в этой области надо рассмотреть противоположный случай наибольшего возможного (при данной плотности энергии е) давления, т. е. описывать материю уравнением состояния с 3 (см.
примеч на с. 127). Из формулы (112.6) получим тогда 4 Зс а 4 3 еа = сопэ$ =— 8ай 1112.13) (а1 — новая постоянная), после чего уравнения 1112.7) и 1112.3) приводят к зависимости а = а1эш11, 1 = — '(1 — соз11). с Поскольку это решение имеет смысл рассматривать только при очень больших значениях е (т.е. малых а), то положим 11 «1. Уравнения 1112.9), 1112.10) определяют в параметрическом виде зависимость а(~).
Функция а11) возрастает от нуля при ~ = 0 (О = 0) до максимального значения а = 2ао, достигаемого при ~ = лао/с (О = 2л) и затем снова убывает до нуля при 1 = 2хао/с (О = 2л). ПРи 11 «1 имеем пРиближенно а = ао11~/2, 1 = ао0~/бс, так что 9аас ЬЗ 2 З ( 9аас ) ~2/З ( 1 ) При этом плотность вещества 488 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ ГЛ. Х!Ч Тогда а — п441, 2 — а4412/2с, твк что а = х(2~цс~. (112.14) (112.15) При этом с 3 4,5 104 с 32ЛЫ~ 3 113. Открытая изотропная модель Решение, соответствующее изотропному пространству отрицательной кривизны (открытал модель), получается вполне аналогично предыдущему.
Вместо (112.2) имеем теперь 44В = с 11à — а (1)1ф~ +ВЬ Х(410 +Е1п 0611Р )) (113 1) Вводим снова вместо 1 переменную 41 согласно ссй = асЬ1; тогда получаем сЬ~ = а (41)[й41~ — 41~~ — ЯЬ~ т(410~ + гйп 0 д1р~)). (113.2) Это выражение может быть формально получено из (112.4) заменой 41, т, и соответственно на г41, гт, га. Поэтому и уравнения поля можно получить просто путем этой же замены из (112.5), (112.6). Уравнение (112.6) сохраняет при этом свой прежний вид: дс 31па = — ~ — + сонэк, С+В (113.3) а вместо (112.5) имеем 8хй 3 12 2 — е= — (а — а ). с4 В4 (113.4) (эта зависимость снова не содержит никаких параметров).
Таким образом, и здесь а — + О при 3 — + О, так что значение 1 = = О действительно является особой точкой пространственно-временной метрики изотропной модели (и то же самое относится к закрытой модели и ко второй точке, в которой а = 0). Мы видим также из (112.14), что при изменении знака 2 величина а(2) сделалась бы мнимой, а ее квадрат — отрицательным. Все четыре компоненты ясь в (112.2) стали бы при этом положительными, так же как и определитель я. Но такая метрика физически бессмысленна. Это значит, что не имеет физического смысла аналитически продолжать метрику за особую точку.
489 1 из Откгытая изОТРОпнАя мОдель Соответственно этому находим вместо (112.7) Но г) = ~ 8хгг о 4 еог + 1 зс' Для пылевидной материи получаем отсюда'): а = ао(сЬг) — 1), 1 = — '(еЬг) — г)), С (113.5) (113.6) а для зависимости а(1) находим а = агеЬг), 1 = — (сЬг) — 1), с ') Отметим,что преобразованием г = Ае" вЬх, сг = Ае" сЬх, г Аеч = 47сгтг гг 1ЬХ сг выражение (113.2) приводится к «конформно-галилееву» виду 41а~ = 7(г,гИсг 41г~ — 41г~ — г~(йВ +эгп ВНЭг~)). Конкретно, в случае (113.6) получим (положив А = оо/2): дг~ = (1 " ) 1с~дг~ Ы;1ЕВ ~ в1ПВ,Ь,~)) 24)сггг — г г (В. А. Фок, 1955). При больших значениях /сггг — гг (чему соответствуют 41 » 1) эта метрика стремится к галилеевой, что естественно было ожидать ввиду стремления радиуса кривизны к бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
